9. Équations du 1er degré 1) Équations Définitions : → Une

9. Équations du 1er degré
1) Équations
Définitions :
→ Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu
représenté par une lettre.
→ La solution d’une équation est la valeur de l’inconnue qui rend
l’égalité vraie.
→ Résoudre une équation, c’est trouver sa solution
Exemples :
2x+8=18 est une équation.
1 n’est pas solution de cette équation car lorsque l’on remplace x
par 1, l’égalité est fausse.
2×1+8=10 et non 18.
5 est solution de cette équation car 2×5+8=18 .
Remarque :
Résoudre une équation, c’est trouver la valeur du nombre x qui
rend l’égalité vraie.
On peut parfois trouver la solution d'une équation par
« tâtonnement » à l'aide de la calculatrice ou du tableur. Mais cette
méthode est souvent longue et pénible.
Il existe une méthode algébrique (c'est à dire par le calcul)
permettant de trouver rapidement la solution d'une équation.
Cette méthode nécessite de maîtriser certaines règles que nous
allons étudier dans la partie suivante.
2) Transformation d'égalités
a) À l’aide des opérations « classiques » :
Propriété :
• Soient a, b et c trois nombres relatifs et k un nombre relatif non
nul
Si a = b alors
a+c=b+c
a–c=b-c
axk=bxk
a b
=
k k
Exemples :
Si x = -5 alors
Si x = 8 alors
Si x = 3 alors
x + 4 = -5 + 4
x - 10 = 8 - 10
x x (-2) = 3 x (-2)
x 30
=
5 5
Si x = 30 alors
b) A l’aide de l'égalité des produits en croix (rappel) :
Propriété :
Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs
(avec b≠0 et d ≠0 ).
→ Si a = c
b d
alors a×d =b×c .
Exemple:
Si
x 16
=
alors
2 4
x×4=16×2
3) Résoudre une équation.
Dans cette partie, nous allons expliquer sur un exemple la
méthode permettant de résoudre une équation.
Essayons de résoudre l'équation 5x-7 = 3x+1
Pour cela, il faut suivre les 2 étapes suivantes :
→ mettre tous les termes « en x » à gauche du signe « = »
→ mettre tous les termes constants à droite du signe « = ».
Nous effectuerons ces transformations à l'aide des règles du
paragraphe 2).
Étape 1 : nous voulons mettre tous les termes « en x » à gauche du
signe « = ». Le terme «3x» doit donc être éliminé.
5x-7 -3x= 3x+1- 3x
on réduit les deux membres et on obtient :
2x-7 = 1
Étape 2 : nous voulons mettre tous les termes constants à droite du
signe « = ». Le terme « -7 » doit donc être éliminé.
2x-7 +7= +1+7
on réduit les deux membres et on obtient :
2x= 8
Nous avons presque trouvé la valeur de l'inconnue x. On conclut
en divisant les deux membres de l'équation par 2
2x 8
=
2 2
x=4
La solution de cette équation est donc 4.
4) Résoudre un problème
On résout un problème comportant un nombre inconnu à l’aide
des 4 étapes suivantes :
1) Choix de l’inconnue
2) Mise en équation
3) Résolution de l’équation
4) Conclusion
Application :
Dans 6 ans, l'âge de Peter sera égal au triple de l'âge qu'il avait il y
a 8 ans.
Déterminer l'âge actuel de Peter.
1) Choix de l’inconnue :
On appelle x l'âge actuel de Peter.
2) Mise en équation :
On peut s'aider en traduisant l'énoncé.
→ âge actuel de Peter : x
→ âge de Peter dans 6 ans : x+6
→ âge de Peter il y a 8 ans : x-8
On a :
âge de Peter dans 6 ans = triple de âge de Peter il y a 8 ans
Soit
âge de Peter dans 6 ans = 3 x âge de Peter il y a 8 ans
c'est à dire :
x+6 = 3 x (x-8)
Et, en développant et simplifiant le membre de droite, on obtient
l'équation :
x+6 = 3x-24
3) Résolution de l’équation :
x+6 - 3x = 3x-24- 3x
- 2x + 6
= -24
- 2x + 6 - 6 = -24 – 6
- 2x
= -30
−2 x −30
=
−2
−2
x = 15
4) Conclusion :
Peter a 15 ans.
Vérification :
Dans 6 ans, Peter aura 21 ans.
Il y a 8 ans, Peter avait 7 ans.
21 est bien le triple de 7.
La valeur trouvée est donc juste.