Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Terminologie (Vocabulaire du calcul algébrique)
Pour tous nombres a, b, c et d :
• a et b sont les termes de la somme a + b et de la différence a − b et sont les facteurs du produit a × b.
a
• Si b 6= 0 alors le nombre a ÷ b est appelé quotient de a par b. Celui-ci s’écrit également et, sous cette
b
a
forme, a et b sont respectivement nommés numérateur et dénominateur de la fraction .
b
1
• Le nombre (−a) est nommé opposé de a. Si a 6= 0 alors le nombre est nommé inverse de a.
a
Propositions (Règles de calcul avec des produits)
Pour tous nombres a, b et c :
• Signes « − » : a × (−b) = (−a) × b = −(a × b) = −ab
• Distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c et a × (b − c) = a × b − a × c
• Règle du produit nul : a × b = 0 si, et seulement si, a = 0 ou b = 0.
Un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas.
• Simplification : Si a 6= 0 alors a × b = a × c si, et seulement si, b = c.
• Identités remarquables :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Exercice 1
Sachant que a, b et c sont trois nombres vérifiant a × b = 0, a + b = 4 et b × c = 12, que vaut c ?
Exercice 2
a, b, c et d sont quatre nombres vérifiant a×b = 8, b×c = 0 et a+b+c+d = 15. Que vaut [(a+d)3 −b2 ]×c ?
Exercice 3
ad
= 2?
Est-il possible de trouver quatre nombres a, b, c et d tels que abcd = 0 et
bc
Exercice 4
a, b, c et d sont quatre nombres tels que (a − b)(b − c)(c − d)(d − a) = 2 × (a − c).
Sachant que deux - et seulement deux - de ces quatre nombres sont égaux, retrouver de quels nombres il
s’agit puis justifier que a > c.
Exercice 5
c2 + d2
Déterminer a, b, c et d sachant que (a + c )(b − d ) = 36, (d − a )(c + b) = 18 et 2
= 0.
a − b2
2
2
2
2
2
2
Exercice 6
Déterminer tous les couples (x; y) de nombres vérifiant y = x2 + x − 4 et (y + 4)(y − x) = 0.
Exercice 7
x2 − y 2
= 0 et (y − 4)(x − 3) = 12.
Déterminer tous les couples (x; y) de nombres vérifiant
x+y
Exercice 8
Déterminer tous les couples (x; y) de nombres vérifiant (y + 3)(y − 1) = 0 et (y 2 − y)(4 − x) = 12.
Exercice 9
Donner une équation admettant exactement quatre solutions, 0, 1, 2 et (−5).
Exercice 10
a, b, c et d sont quatre nombres vérifiant (d + 2)(a − 6) = 12, (a + d)(b − c) = 0, (a + 1)(d − 2) = 0 et bc = a.
Que vaut la somme (a + b + c + d) ?
2
Exercice 11
a, b, c et d désignent quatre nombres vérifiant (a2 + d2 )(b − c) = 0, bc = a, ad = 18 et abcd = 162.
Que vaut la somme (a + b + c + d) ?
Exercice 12
1. Montrer que si deux nombres a et b ont leurs carrés égaux alors ils sont égaux ou opposés.
2. Soient x, y et z trois nombres vérifiant x2 = y 2 = z 2 . Que vaut (x − y)(y − z)(z − x) ?
Exercice 13
Est-il possible de trouver deux nombres non nuls tels que le produit du premier par le carré du second soit
égal au produit du second par le carré du premier et tels que la somme du triple du premier et du cube
du second soit nulle ?
Exercice 14
x et y sont deux nombres tels que si je soustrais leur somme à leur produit, j’obtiens (−1).
Développer le produit (x − 1)(y − 1). Que peut-on en déduire concernant x et y ?
Exercice 15
a
b
Soient a et b deux nombres strictement positifs tels que
=
.
1+b
1+a
Que peut-on en déduire concernant les deux nombres a et b ?
Exercice 16
On considère le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre et lui ajouter 3.
• Élever le tout au carré.
• Soustraire 9 au résultat obtenu.
Est-il possible d’obtenir un résultat égal à 0 ? Si oui, quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ ?
Exercice 17
a et b sont deux nombres non nuls tels que :
a
• si j’ajoute b au numérateur et au dénominateur de la fraction , j’obtiens une fraction égale à son
b
inverse ;
a
• si je retire 2 au dénominateur de la fraction , j’obtiens l’opposé de la fraction initiale.
b
Que valent a et b ?
Exercice 18
Dans cet exercice, l’unité de longueur est le centimètre.
Sur la figure ci-dessous, OBAC est un carré de côté 3, M un point mobile sur la demi-droite [Bu) et
distinct de B, et N le point d’intersection des droites (AM ) et (OC).
N
C
A
y
3
u
M
O
B
3
x
3x
.
x−3
2. Est-il possible que le triangle OM N soit isocèle ?
Si oui, préciser dans quel(s) cas.
1. On pose OM = x et ON = y. Montrer que y =
Exercice 19
Existe-t-il des nombres pour lesquels le carré de la différence de ce nombre et de 4 est égal au double de
la somme de ce nombre et de 8 ? Si oui, les déterminer tous.
Exercice 20
1
1
1
1
Soit f la fonction définie par f (x) = x −
x−
x−
... x −
.
2
3
4
2016
1. Combien d’antécédents par f le réel 0 admet-il ?
2. Calculer l’image de 1 par f .
Ç å
2
3. Sans calculer sa valeur exacte, donner le signe de f
.
5
Ç
åÇ
åÇ
å
Ç
å