Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Terminologie (Vocabulaire du calcul algébrique)
Pour tous nombres a,b,cet d:
•aet bsont les termes de la somme a+bet de la différence a−bet sont les facteurs du produit a×b.
•Si b6= 0 alors le nombre a÷best appelé quotient de apar b. Celui-ci s’écrit également a
bet, sous cette
forme, aet bsont respectivement nommés numérateur et dénominateur de la fraction a
b.
•Le nombre (−a)est nommé opposé de a. Si a6= 0 alors le nombre 1
aest nommé inverse de a.
Propositions (Règles de calcul avec des produits)
Pour tous nombres a,bet c:
•Signes « −» : a×(−b) = (−a)×b=−(a×b) = −ab
•Distributivité : a×(b+c) = a×b+a×cet a×(b−c) = a×b−a×c
•Règle du produit nul : a×b= 0 si, et seulement si, a= 0 ou b= 0.
Un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas.
•Simplification : Si a6= 0 alors a×b=a×csi, et seulement si, b=c.
•Identités remarquables :
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a−b)2=a2−2ab +b2(a−b)(a+b) = a2−b2
Exercice 1
Sachant que a,bet csont trois nombres vérifiant a×b= 0,a+b= 4 et b×c= 12, que vaut c?
Exercice 2
a,b,cet dsont quatre nombres vérifiant a×b= 8,b×c= 0 et a+b+c+d= 15. Que vaut [(a+d)3−b2]×c?
Exercice 3
Est-il possible de trouver quatre nombres a,b,cet dtels que abcd = 0 et ad
bc = 2 ?
Exercice 4
a,b,cet dsont quatre nombres tels que (a−b)(b−c)(c−d)(d−a) = 2 ×(a−c).
Sachant que deux - et seulement deux - de ces quatre nombres sont égaux, retrouver de quels nombres il
s’agit puis justifier que a > c.
Exercice 5
Déterminer a,b,cet dsachant que (a2+c2)(b2−d2) = 36,(d2−a2)(c+b) = 18 et c2+d2
a2−b2= 0.
Exercice 6
Déterminer tous les couples (x;y)de nombres vérifiant y=x2+x−4et (y+ 4)(y−x) = 0.
Exercice 7
Déterminer tous les couples (x;y)de nombres vérifiant x2−y2
x+y= 0 et (y−4)(x−3) = 12.
Exercice 8
Déterminer tous les couples (x;y)de nombres vérifiant (y+ 3)(y−1) = 0 et (y2−y)(4 −x) = 12.
Exercice 9
Donner une équation admettant exactement quatre solutions, 0,1,2et (−5).
Exercice 10
a,b,cet dsont quatre nombres vérifiant (d+ 2)(a−6)=12,(a+d)(b−c)=0,(a2+ 1)(d−2)=0 et bc =a.
Que vaut la somme (a+b+c+d)?
Exercice 11
a,b,cet ddésignent quatre nombres vérifiant (a2+d2)(b−c) = 0,bc =a,ad = 18 et abcd = 162.
Que vaut la somme (a+b+c+d)?
Exercice 12
1. Montrer que si deux nombres aet bont leurs carrés égaux alors ils sont égaux ou opposés.
2. Soient x,yet ztrois nombres vérifiant x2=y2=z2. Que vaut (x−y)(y−z)(z−x)?

Exercice 13
Est-il possible de trouver deux nombres non nuls tels que le produit du premier par le carré du second soit
égal au produit du second par le carré du premier et tels que la somme du triple du premier et du cube
du second soit nulle ?
Exercice 14
xet ysont deux nombres tels que si je soustrais leur somme à leur produit, j’obtiens (−1).
Développer le produit (x−1)(y−1). Que peut-on en déduire concernant xet y?
Exercice 15
Soient aet bdeux nombres strictement positifs tels que a
1 + b=b 1 + a.
Que peut-on en déduire concernant les deux nombres aet b?
Exercice 16
On considère le programme de calcul suivant :
•Choisir un nombre et lui ajouter 3.
•Élever le tout au carré.
•Soustraire 9au résultat obtenu.
Est-il possible d’obtenir un résultat égal à 0? Si oui, quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ ?
Exercice 17
aet bsont deux nombres non nuls tels que :
•si j’ajoute bau numérateur et au dénominateur de la fraction a
b, j’obtiens une fraction égale à son
inverse ;
•si je retire 2au dénominateur de la fraction a
b, j’obtiens l’opposé de la fraction initiale.
Que valent aet b?
Exercice 18
Dans cet exercice, l’unité de longueur est le centimètre.
Sur la figure ci-dessous, OBAC est un carré de côté 3,Mun point mobile sur la demi-droite [Bu)et
distinct de B, et Nle point d’intersection des droites (AM )et (OC).
y
x
3
3
A
B
C
u
O
M
N
1. On pose OM =xet ON =y. Montrer que y=3x
x−3.
2. Est-il possible que le triangle OM N soit isocèle ?
Si oui, préciser dans quel(s) cas.
Exercice 19
Existe-t-il des nombres pour lesquels le carré de la différence de ce nombre et de 4est égal au double de
la somme de ce nombre et de 8? Si oui, les déterminer tous.
Exercice 20
Soit fla fonction définie par f(x) = Çx−1
2åÇx−1 3åÇx−1 4å...Çx−1 2016å.
1. Combien d’antécédents par fle réel 0admet-il ?
2. Calculer l’image de 1par f.
3. Sans calculer sa valeur exacte, donner le signe de fÇ2
5å.