Les modules projectifs sur les anneaux de polynômes

Les modules projectifs sur les anneaux de
polynômes
Mohammad Hadi Hedayatzadeh
15 juin 2004
École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Dans cet article on va montrer que tout module projectif sur un anneau de polynômes à
coefficients dans un anneau principal est libre. Avant cela, on doit définir quelques notions
et montrer ou citer certains résultats d’algèbre commutative. On note que tous les anneaux
dans ce traité sont commutatifs avec l’unité. On note encore que selon la simplicité on
utilise les notations suivantes pour la localisé d’un A-module M, à l’ensemble multiplicatif
U⊂A:
U−1M,M[U−1]et MU
et si f∈Aest un élément non-nul, on note par Mfla localisé de Mà l’ensemble multipli-
catif {f, f2, f3, . . .}.
Définition 1. Deux éléments f, g d’un anneau Asont dits comaximaux si l’idéal engen-
dré par eux est l’anneau Aou de manière équivalente il existe a, b ∈Atels que af +bg = 1.
Définition 2. Soit Cune catégorie et soient A, B, C trois objets de Cun pull-back du
diagramme
A
f
Bg
//C.
est un objet Dde Cavec deux morphismes ˆg:D→A, ˆ f:D→Btels que le diagramme
suivant commute
Dˆg
//
ˆ
f
A
f
Bg
//C.
et tels qu’ils sont uniques à isomorphisme près c-à-d que pour tout objet D0de Cet toute
paire de morphismes g0:D0→A, f0:D0→Bqui ont la même propriété que D, ˆ f, ˆg, il
existe un unique morphisme θ:D0→Dtel que le diagramme suivant est commutatif :
1

D0
θ
A
A
A
A
A
A
A
Ag0
((
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
f0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Dˆg
//
ˆ
f
A
f
Bg
//C.
Remarque 3. Parfois par l’abus de notation on dit que le deuxième diagramme de la
définition précédente est un pull-back.
Remarque 4. Il existe des catégories qui ne possèdent pas tous les pull-backs. Toutefois
la catégorie des A-modules pour tout anneau Apossède toutes les colimites et limites et en
particulier tous les pull-backs. On donne une construction d’un pull-back dans la catégorie
des A-modules. Supposons donc que l’on a un diagramme :
M
f
Ng
//P
où M, N, P sont des A-modules. On peut facilement verifier que le sous-A-module Q:=
{(m, n)∈M⊕N|f(m) = g(n)}de M⊕Navec f:Q−→ Net g:Q−→ Mles projections
naturelles, est un pull-back pour le diagramme donnée.
Soient Mun A-module et fun élément de A,M−→ Mfdésigne l’application canonique
qui envoie msur m
1∈Mf.
Proposition 5. Soit Mun A-module, et soient f, g deux éléments comaximaux dans A.
Alors le diagramme suivant est un pull-back dans la catégorie de A-modules :
M
//Mg
Mf//Mfg
Preuve.On remarque d’abord que l’anneau Afg est canoniquement isomorphe à Af,g '
(Af)g'(Ag)f, de même le Afg-module Mf g est canoniquement isomorphe à (Af,g-module
Mf,g '(Mf)g'(Mg)f. On remarque également que fn, gmsont aussi comaximaux pour
tout n, m ≥0, en effet f, g sont comaximal, implique qu’il existe a, b ∈Atels que af +bg =
1, alors 1 = (af +bg)n+m+1 =a0fn+b0gm. On pose S={fn|n≥0}et T={gn|n≥}, et de
2

ce que l’on vient de remarquer toute paire (s, t)∈S×Test comaximale. Soit maintenant N
un A-module avec deux morphismes φ:N−→ Mget ψ:N−→ Mftels que le diagramme
suivant commute :
N
φ
ψ//Mg
Mf//Mfg.
Soit nun élément de Nalors ψ(n) = m
s∈Mf=MS,φ(n) = n t∈Mg=MTpour certains
s∈S, t ∈T, n, m ∈M, et on a φ(n) = ψ(n)dans Mfg. On peut supposer que sn =tm,
en effet on a (s0t0)(tm −sn)=0pour certains s0∈S, t0∈T, alors (tt0)(s0m)=(ss0)(t0n)
et donc on peut remplacer m
spar s0m s0s, et n tpar t0n t0t.s, t sont comaximaux, on peut écrire
xs +yt = 1 avec x, y ∈Aet on pose q=xm +yn. Alors
sq = (xs)m+y(sn) = (xs)m+ (yt)m=m
et de façon similaire, tq =n, on en tire alors que q=m
s∈MSet q=n t∈MT. Ce qest
unique, car si q=q0dans MTet MSalors il existe s∈S, t ∈Ttels que s(q−q0) = 0 et
t(q−q0) = 0,s, t sont comaximaux, il existe a, b ∈Aavec as +bt = 1, alors
q−q0= 1.(q−q0) = (as +bt)(q−q0) = as(q−q0) + bt(q−q0) = 0 + 0 = 0.
On définit l’application θ:N−→ Mqui associe à n∈N q ∈Mdéfini en haut. Il est
facile à voir que cette application soit en fait un A-homomorphisme et qu’elle soi t unique.
Donc Mest bien le pull-back du diagramme.
Définition 6. Soient Aun anneau et Mun A-module. On dit que Mest un module plat
si pout toute suite exacte courte
0−→ K−→ N−→ Q−→ 0
de A-module la suite
0−→ K⊗AM−→ N⊗AM−→ Q⊗AM−→ 0
est courte.
Proposition 7. Soient Aun anneau et U⊂Aun ensemble multiplicatif. Alors le A-
module A[U−1]est plat.
Proposition 8 (Lemme de cinq). Soient Run anneau et Ai, Bi, Ci, Di, Fi,i= 1,2
des R-modules. Supposons que l’on a un diagramme commutatif à lignes exactes :
3

A1//
φ1
B1//
φ2
C1//
φ3
D1//
φ4
E1
φ5
A2//B2//C2//D2//E.
Si φi,i= 1,2,4,5sont des isomorphismes, alors φ3l’est aussi.
Proposition 9. Soient Aun anneau, et Sun A-module plat. Soit encore {Mi}i∈Iune
famille de A-module. Alors il existe un isomorphisme canonique
S⊗A(⊕i∈IMi)' ⊕i∈I(S⊗AMi).
Proposition 10. Soient Aun anneau et Nun A-module et {Mi}i∈Iune famille de
A-module. Alors il existe un isomorphisme canonique
HomA(⊕i∈IMi, N)'Y
i∈I
HomA(Mi, N).
En particulier si l’ensemble d’indices Iest fini on a un isomorphisme canonique
HomA(⊕i∈IMi, N)' ⊕i∈IHomA(Mi, N).
Proposition 11. Le foncteur Hom(−, N )est un foncteur contravariant exact à gauche.
Proposition 12. Soient Aun anneau et Bun A-algèbre. Si Met Nsont des A-modules,
alors il y a un unique homomorphisme de B-modules
αM:B⊗AHomA(M, N)−→ HomB(B⊗AM, B ⊗AN)
qui envoie l’élément 1⊗φ∈B⊗AHomA(M, N)sur le B-homomorphisme id ⊗Aφ:
B⊗AM−→ B⊗ANdans HomB(B⊗AM, B ⊗AN). Si Best plat sur Aet Mest de
présentation finie, alors αMest un isomorphisme. En particulier, si Mest de présentation
finie, alors HomA(M, N)localise dans le sens que l’application αfournit un isomorphisme
naturel
HomA[U−1](M[U−1], N[U−1]) 'HomA(M, N)[U−1]
pour tout ensemble multiplicatif U⊂A.
Preuve.Par la Proposition 7 la dernière assertion est un cas particulier des premières.
Il est facile de voir que l’application ensembliste
α0:HomA(M, N)−→ HomB(B⊗AM, B ⊗AN)
qui envoie un homomorphisme φsur l’homomorphisme id ⊗φsoit un homomorphisme
de A-module. Puisque le but est un B-module, α0s’étend à un unique homomorphisme
α=αMde B-modules avec la propriété voulue.
4

Supposons maintenant que Bsoit plat et Msoit de présentation finie et montrons que αM
est un isomorphisme. Supposons d’abord que M=A. On peut identifier HomA(A, N)avec
Nen envoyant un homomorphisme φsur l’élément φ(1). On a également B⊗AA=B, et
la même remarque montre que HomB(B⊗AA, B ⊗AN) = B⊗AN. Il est facile de voir
que l’application αA:B⊗AN−→ B⊗ANaprès ces identifications soit l’identité.
On suppose ensuite que M=⊕m
1Asoit un module libre de rang fini. Un calcul direct
montre que le diagramme suivant commute :
B⊗AHomA(⊕m
1A, N)
α⊕m
1A//
'
HomB(B⊗A⊕m
1A, B ⊗AN)
'
⊕m
1B⊗AHomA(A, N)⊕m
1αA
//⊕m
1HomB(B⊗AA, B ⊗AN)
où les isomorphismes verticals indiqués proviennent des Propositions 9,10.
Enfin, supposons que Msoit de présentation finie et choisissons une présentation finie
libre :
F−→ G−→ M−→ 0.
Puisque Best plat sur A, et F, G et par conséquent B⊗AF, B ⊗AGsont libres,en ten-
sorisant cette présentation finie de Mon trouve une présentation finie de B-modules pour
B⊗AM.
Pour simplifier la notation, on note M0pour le B-module B⊗AM,de même pour les autres
modules et applications. En appliquant le foncteur Hom(−, N)sur la présentation finie de
Met Hom(−, N0)sur celle de M0et en utilisant la Proposition 11, on obtient les suites
exactes
0−→ HomA(M, N)−→ HomA(G, N)−→ HomA(F, N)
et
0−→ HomA(M0, N 0)−→ HomA(G0, N0)−→ HomA(F0, N0).
Puisque Best plat sur A, on peut tensoriser la première suite par Bet avoir encore une
suite exacte
0−→ HomA(M, N)0−→ HomA(G, N)0−→ HomA(F, N)0.
L’application que l’on a définie dans la proposition est, avec cette notation, une application
αM:HomA(M, N)0−→ HomB(M0, N0), on veut montrer que αMest un isomorphisme.
Par les arguments faits en haut, αFet αGsont des isomorphismes. Si on met tout ceci
ensemble on trouve le diagramme commutatif suivant :
5