M1 – TD - CPGE Brizeux

PCSI Physique
TD. M1
Lycée Brizeux 2016-2017
Cinématique.
Exercice 1.
Calcul d’accélération.
Exercice 2.
Trajectoires et manège *.
Exercice 3.
Mouvement hélicoïdal **.
Une voiture roule à 50km.h() . Elle freine brusquement jusqu’à arrêt total sur une distance de 𝑑 = 15m.
En supposant l’accélération uniforme, donner sa valeur 𝑎 et la comparer à l’accélération de la pesanteur
𝑔~10m.s (1 .
Un enfant se déplace sur un manège en rotation. Vue de haut, sa position est donnée par les
coordonnées polaires 𝑟 𝑡 = 𝑣5 𝑡; 𝜃 𝑡 = 𝜔5 𝑡 où 𝑣5 et 𝜔5 sont des constantes.
a. Donner les unités de 𝑣5 et de 𝜔5 dans le système international.
b. Quelle est l’allure de la trajectoire.
c. Evaluer la vitesse de l’enfant en coordonnées polaires.
d. Evaluer l’accélération de l’enfant en coordonnées polaires.
e. Quelle est la trajectoire de l’enfant dans le référentiel du manège si celui-ci tourne à vitesse
angulaire 𝜔5 ?
Réponses détaillées :
a. D’après les relations données, la vitesse 𝑣5 s’exprime en m.s () et la vitesse angulaire 𝜔5
s’exprime en rad.s () .
b. La distance au centre 𝑂 augmente linéairement avec le temps, ainsi que l’angle 𝜃.
Qualitativement, il suffit de tourner autour de 𝑂 en s’en éloignant ce qui donne l’allure d’une
trajectoire spirale.
c. En coordonnées polaires :
𝑣 = 𝑟𝑢> + 𝑟𝜃𝑢@ = 𝑣5 𝑢> + 𝑟𝜔5 𝑢@
d. Ensuite,
𝑎 = 𝑟 − 𝑟𝜃 1 𝑢> + 2𝑟𝜃 + 𝑟𝜃 𝑢@ = −𝑣5 𝜔5 1 𝑡𝑢> + 2𝑣5 𝜔5 𝑢@
e. La vitesse orthoradiale de l’enfant est 𝑣5 𝜔5 𝑡 = 𝑟𝜔5 . Celle-ci est donc entièrement due à la
rotation du manège. On déduit que l’enfant marche en ligne droite du centre du manège vers
un point de la périphérie dans le référentiel du manège.
Dans un référentiel ℛ matérialisé par 𝑂𝑥𝑦𝑧 , un point 𝑀 décrit un mouvement de telle sorte que le
mouvement de 𝑃, son projeté dans le plan 𝑂𝑥𝑦 , est circulaire uniforme et celui de 𝐻 son projeté sur
l’axe 𝑂𝑧 est rectiligne uniforme.
a. Exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération de ce mouvement, en coordonnées
cylindriques et en coordonnées cartésiennes.
b. En étudiant les propriétés cinématiques, décrire le mouvement de 𝑀. Montrer en particulier qu’il
est uniforme.
Exercice 4.
Mouvement cycloïdal ***.
On repère un point 𝑀 sur une roue de rayon 𝑅. Initialement, ce point 𝑀
coïncide avec 𝑂, origine du repère. Ensuite, au cours du mouvement, on
appelle 𝜃 𝑡 l’angle entre 𝐶𝑀 et la verticale descendante. La roue roule
sans glisser sur le sol de telle manière que l’abscisse 𝑥L du point de
contact 𝐼 de la roue avec le sol soit égale à l’arc de cercle 𝐼𝑀. La vitesse
du centre 𝐶 de la roue est 𝑣N = 𝑣5 𝑢O où 𝑣5 est une constante positive.
a. Trouver les coordonnées cartésiennes 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 du point 𝑀.
b. Etablir les expressions des vecteurs cinématiques du mouvement de 𝑀 dans le référentiel
terrestre. Caractériser le mouvement.
Réponses courtes :
a. Equations horaires :
𝑣5 𝑡
𝑣5 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑣5 𝑡 − 𝑅 sin
; 𝑦 𝑡 = 𝑅 1 − cos
𝑅
𝑅
b. Vecteurs cinématiques : mouvement non uniforme, norme de 𝑎 constante mais pas sa
direction.
𝑣5 𝑡
𝑣5 𝑡
𝑂𝑀 = 𝑥𝑢O + 𝑦𝑢U ;𝑣 = 𝑣5 1 − cos
𝑢O + 𝑣5 sin
𝑢U
𝑅
𝑅
1
1
𝑣5
𝑣5 𝑡
𝑣5
𝑣5 𝑡
𝑎=
sin
𝑢O +
cos
𝑢U
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅