Soutien n°10 Lois de probabilités (1)

Soutien n°10 – Mathématiques – TS 1
Exercice n°1
Soit 𝑎 un réel strictement positif.
Soit 𝑓 la fonction définie sur [0; 𝑎] par 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −𝑥 .
Déterminer la valeur de 𝑎 pour que 𝑓 soit une fonction de densité de probabilité sur [0; 𝑎].
Exercice n°2
1
1
1) Soit 𝑓 la fonction définie sur [1; 7] par 𝑓 𝑥 = 18 𝑥 − 18 .
Démontrer que 𝑓 est une densité de probabilité sur 1; 7 .
2) Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque serpent d’un zoo, associe sa taille, en mètres. On admet que 𝑋
suit sur [1; 7] la loi continue dont la fonction de densité est la fonction 𝑓 définie la question 1).
a) On choisit au hasard un serpent. Calculer la probabilité qu’il mesure entre 2 et 3 mètres.
b) Calculer la taille moyenne des serpents du zoo.
Exercice n°3
Un étang de pèche est très régulièrement empoissonné. Lorsqu’un pécheur met sa ligne à l’eau, le temps d’attente 𝑇
en minutes avant la première touche suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 60].
1) Définir la fonction de densité de probabilité 𝑓 de 𝑇.
2) Quelle est la probabilité pour que ce temps d’attente soit inférieur à 40 minutes ?
3) Quelle est la probabilité pour que ce temps d’attente soit supérieur à 15 minutes ?
4) Quel est le temps d’attente moyen ?
Exercice n°4
Soit 𝑇 une variable aléatoire qui, à chaque passage en caisse d’un cinéma, associe le temps d’attente d’un spectateur,
en minutes. 𝑇 suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆. On sait que la probabilité pour qu’un spectateur choisi au
hasard attende moins de cinq minutes est égale à 0,3.
1) Montrer que 𝜆 ≈ 0,071. On prendra par la suite cette valeur pour 𝜆.
2) Calculer 𝑝(𝑇 ≤ 2) et interpréter le résultat trouvé.
3) Quelle est la probabilité que le spectateur attende :
a) Plus de cinq minutes et trente secondes ?
b) Entre deux et trois minutes ?
4) Sachant que le spectateur attend au moins deux minutes, quelles est la probabilité qu’il attende au moins cinq
minutes au total ?
5) Quel est le temps moyen d’attente en caisse ? Arrondir à la minute la plus proche.
Exercice n°5
La durée de vie exprimée en heures, d’un certain type d’ampoules est modélisée par une variable aléatoire 𝑇 qui suit
la loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 8 × 10−4 .
1) Quelle est la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce type ?
2) Quelle est la probabilité qu’une ampoule choisie au hasard ait une durée de vie supérieure à 1 000 heures ?
3) Déterminer la valeur de 𝑎 arrondie à l’entier le plus proche telle que 𝑝 𝑇 ≤ 𝑎 = 0,5.