Module : Dichotomie et balayage Seconde

Module : Dichotomie et balayage
Seconde
On considère la fonction f définie sur [−2 ; 3] par :
f (x) = x3 + 2x − 2
1. Étude graphique
(a) Faire afficher la courbe représentative de cette fonction sur l’écran de votre calculatrice, dans un
repère adapté.
(b) Combien de solutions l’équation f (x) = 0 a-t-elle ?
Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
(c) Combien de solutions l’équation f (x) = 5 a-t-elle ?
Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
2. Un algorithme de dichotomie
On se propose, grâce à un algorithme, de donner une valeur approchée aussi précise que possible de la
solution de l’équation f (x) = 0.
On considère l’algorithme du tableau 1 :
Algorithme
Variables
a, b : nombres réels
f : fonction
k : entier naturel
N : entier naturel
m : nombre réel
Entrée
Saisir a, b, f , N
Traitement
Pour k variant de 1 à N
m prend la valeur a+b
2
Si f (m) et f (a) sont de même signe alors
a prend la valeur m
sinon
b prend la valeur m
Fin pour
Sortie
Afficher a, b
Commentaires
Bornes de l’intervalle d’étude
Fonction étudiée
Compteur pour la boucle
Nombre de fois où la boucle sera parcourue
Valeur approchée de la solution
On se place au milieu de l’intervalle [a ; b]
Si f (m) et f (a) sont de même signe, alors la solution de
l’équation f (x) = 0 est située dans l’intervalle [m ; b]
On se place sur [m ; b]
sinon
On se place sur [a ; m]
On affiche un encadrement de la solution de f (x) = 0.
Tab. 1 – Un algorithme de dichotomie
(a) On applique à la main cet algorithme à la fonction f donnée dans le texte.
Prendre N = 4 et compléter le tableau suivant :
k
1
2
3
m
0,5
a
0
b
1
4
(b) Quel est le rôle de cet algorithme ? Expliquer en particulier la fonction de la variable N.
(c) Traduire cet algorithme dans le langage de programmation de votre calculatrice en utilisant la fiche
« Programmation des calculatrices » et en tenant compte des remarques suivantes :
– pour utiliser une fonction dans un programme, on doit la rentrer dans Y1 dans le menu Graph (ou
Y= sur T.I.) et affecter une valeur à X pour calculer l’image par cette fonction.
– pour savoir si deux nombres sont de même signe, il suffit de regarder le signe du produit...
(d) Tester ce programme pour N=4, puis 10, 15 et 25.
Que constatez-vous ?
3. Améliorations de l’algorithme de dichotomie
(a) Comment modifier l’algorithme du tableau 1 pour trouver un encadrement de la solution de l’équation
f (x) = 5 ?
Appliquer les modifications nécessaires puis tester le programme pour pour N=4, puis 10, 15 et 25.
(b) Le problème de cet algorithme est que l’on ne sait pas à priori quelle sera la précision du résultat. On
peut l’améliorer en remplaçant la boucle « Pour... » par une boucle « Tant que... » (voir tableau 2).
Algorithme
Variables
a, b : nombres réels
f : fonction
e : nombre réel
m : nombre réel
Entrée
Saisir a, b, f , e
Traitement
Tant que b − a > e faire :
m prend la valeur a+b
2
Si f (m) et f (a) sont de même signe alors
a prend la valeur m
sinon
b prend la valeur m
Fin tant que
Sortie
Afficher a, b
Commentaires
Bornes de l’intervalle d’étude
Fonction étudiée
Précision désirée
Valeur approchée de la solution
On se place au milieu de l’intervalle [a ; b]
Si f (m) et f (a) sont de même signe, alors la solution de
l’équation f (x) = 0 est située dans l’intervalle [m ; b]
On se place sur [m ; b]
sinon
On se place sur [a ; m]
On affiche un encadrement de la solution de f (x) = 0.
Tab. 2 – Un autre algorithme de dichotomie
Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et le tester avec une précision de 10−5 .
4. Encadrement par balayage
Cette dernière méthode est basée sur une utilisation astucieuse des tableaux de valeurs de la calculatrice
pour donner une valeur approchée de la solution de f (x) = 0.
(a) À l’aide de la calculatrice, donner un tableau de valeurs de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] avec
un pas de 0, 1.
En déduire un encadrement à 10−1 près de la solution de l’équation f (x) = 0.
(b) Avec cet encadrement, donner un nouveau tableau de valeurs de la fonction f avec un pas de 0,01.
En déduire un encadrement à 10−2 près de la solution de l’équation f (x) = 0.
(c) En réitérant ce procédé, trouver un encadrement à 10−5 près de la solution de l’équation f (x) = 0.
Comparer avec celui obtenu au 3b.
(d) Adapter cette nouvelle méthode pour déterminer un encadrement à 10−5 près de la solution de
l’équation f (x) = 5.