Module : Dichotomie et balayage Seconde

Module : Dichotomie et balayage Seconde
On considère la fonction fdéfinie sur [−2 ; 3] par :
f(x) = x3+ 2x−2
1. Étude graphique
(a) Faire afficher la courbe représentative de cette fonction sur l’écran de votre calculatrice, dans un
repère adapté.
(b) Combien de solutions l’équation f(x)=0a-t-elle ?
Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
(c) Combien de solutions l’équation f(x)=5a-t-elle ?
Donner un encadrement de cette (ou ces) solution(s) par deux entiers consécutifs.
2. Un algorithme de dichotomie
On se propose, grâce à un algorithme, de donner une valeur approchée aussi précise que possible de la
solution de l’équation f(x)=0.
On considère l’algorithme du tableau 1 :
Algorithme Commentaires
Variables
a,b: nombres réels
f: fonction
k : entier naturel
N : entier naturel
m: nombre réel
Bornes de l’intervalle d’étude
Fonction étudiée
Compteur pour la boucle
Nombre de fois où la boucle sera parcourue
Valeur approchée de la solution
Entrée
Saisir a,b,f, N
Traitement
Pour k variant de 1 à N
m prend la valeur a+b
2On se place au milieu de l’intervalle [a;b]
Si f(m)et f(a)sont de même signe alors Si f(m)et f(a)sont de même signe, alors la solution de
l’équation f(x)=0est située dans l’intervalle [m;b]
aprend la valeur mOn se place sur [m;b]
sinon sinon
bprend la valeur mOn se place sur [a;m]
Fin pour
Sortie
Afficher a,bOn affiche un encadrement de la solution de f(x)=0.
Tab. 1 – Un algorithme de dichotomie
(a) On applique à la main cet algorithme à la fonction fdonnée dans le texte.
Prendre N= 4 et compléter le tableau suivant :
k 1 2 3 4
m0,5
a0
b1
(b) Quel est le rôle de cet algorithme ? Expliquer en particulier la fonction de la variable N.
(c) Traduire cet algorithme dans le langage de programmation de votre calculatrice en utilisant la fiche
« Programmation des calculatrices » et en tenant compte des remarques suivantes :
– pour utiliser une fonction dans un programme, on doit la rentrer dans Y1 dans le menu Graph (ou
Y= sur T.I.) et affecter une valeur à Xpour calculer l’image par cette fonction.
– pour savoir si deux nombres sont de même signe, il suffit de regarder le signe du produit...
(d) Tester ce programme pour N=4, puis 10, 15 et 25.
Que constatez-vous ?
3. Améliorations de l’algorithme de dichotomie
(a) Comment modifier l’algorithme du tableau 1 pour trouver un encadrement de la solution de l’équation
f(x)=5?
Appliquer les modifications nécessaires puis tester le programme pour pour N=4, puis 10, 15 et 25.

(b) Le problème de cet algorithme est que l’on ne sait pas à priori quelle sera la précision du résultat. On
peut l’améliorer en remplaçant la boucle « Pour... » par une boucle « Tant que... » (voir tableau 2).
Algorithme Commentaires
Variables
a,b: nombres réels
f: fonction
e: nombre réel
m: nombre réel
Bornes de l’intervalle d’étude
Fonction étudiée
Précision désirée
Valeur approchée de la solution
Entrée
Saisir a,b,f,e
Traitement
Tant que b−a>efaire :
m prend la valeur a+b
2On se place au milieu de l’intervalle [a;b]
Si f(m)et f(a)sont de même signe alors Si f(m)et f(a)sont de même signe, alors la solution de
l’équation f(x)=0est située dans l’intervalle [m;b]
aprend la valeur mOn se place sur [m;b]
sinon sinon
bprend la valeur mOn se place sur [a;m]
Fin tant que
Sortie
Afficher a,bOn affiche un encadrement de la solution de f(x)=0.
Tab. 2 – Un autre algorithme de dichotomie
Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et le tester avec une précision de 10−5.
4. Encadrement par balayage
Cette dernière méthode est basée sur une utilisation astucieuse des tableaux de valeurs de la calculatrice
pour donner une valeur approchée de la solution de f(x)=0.
(a) À l’aide de la calculatrice, donner un tableau de valeurs de la fonction fsur l’intervalle [0 ; 1] avec
un pas de 0,1.
En déduire un encadrement à 10−1près de la solution de l’équation f(x)=0.
(b) Avec cet encadrement, donner un nouveau tableau de valeurs de la fonction favec un pas de 0,01.
En déduire un encadrement à 10−2près de la solution de l’équation f(x)=0.
(c) En réitérant ce procédé, trouver un encadrement à 10−5près de la solution de l’équation f(x)=0.
Comparer avec celui obtenu au 3b.
(d) Adapter cette nouvelle méthode pour déterminer un encadrement à 10−5près de la solution de
l’équation f(x)=5.