fiche 2 - ambition

LFA/TerminaleS
Spécialitémaths
MmeMAINGUY
PGCD – théorèmes fondamentaux de l’arithmétique
Fiche d’exercices n°2
Exercice 1
(
)
1) Déterminer pgcd n + 4 ; 3n + 7 .
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)
2) Endéduire pgcd n2 + 4n ; 3n2 + 7n .
Exercice 2º extrait BAC
Danstoutl’exercice, x et y désignentdesentiersnaturelsnonnulsvérifiant x < y .
S estl’ensembledescouples ( x ; y ) telsque pgcd ( x ; y ) = y − x .
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)
1) a/Calculer pgcd 363 ; 484 .
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)
b/Lecouple 363 ; 484 appartient-ilà S ?
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)
2) Soit n unentiernaturelnonnul;lecouple n ; n + 1 appartient-ilà S ?Justifier.
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)
3) a/Montrerque x ; y appartientà S sietseulementsi,ilexisteunentiernaturel k nonnultelque:
(
)
(
)(
)
x = k y − x et y = k + 1 y − x .
Exercice 3
Pourtoutentiernaturel n supérieurouégalà5,onconsidèrelesnombres: a = n3 − n2 − 12n et b = 2n2 − 7n − 4 .
3) Montrer,aprèsfactorisation,que a et b sontdesentiersnaturelsdivisiblespar n − 4 .
(
)
4) Onpose α = 2n + 1 , β = n + 3 et D = pgcd α ; β .
a/Établirunerelationentre α et β indépendantede n .
b/Démontrerque D estundiviseurde5.
c/Démontrerquelesnombres α et β sontmultiplesde5sietseulementsi n − 2 estmultiplede5.
5) Montrerque 2n + 1 et n sontpremiersentreeux.
6) a/Déterminer,suivantlesvaleursde n etenfonctionde n ,lepgcdde a etde b .
b/Vérifierlesrésultatsdanslescas n = 11 et n = 12 .
Exercice 4
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)
ºCalculerparl’algorithmed’Euclide: pgcd 18 480 ; 9 828 .Endéduireuneécriturede84commecombinaison
linéairede 18 480 et 9 828 .
ºTrouverdeuxentiersrelatifs u et v telsque: 543u + 17v = 8 .
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Spécialitémaths
MmeMAINGUY
PGCD – théorèmes fondamentaux de l’arithmétique
Exercice 5º extrait BAC
LespartiesAetBpeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
Partie A
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Pourdeuxentiersnaturelsnonnuls a et b ,onnote r a ; b lerestedansladivisioneuclidiennede a par b .
Onconsidèrel’algorithmesuivant:
4) Fairefonctionnercetalgorithmeavec a = 26 et b = 9 enindiquantlesvaleursde a , b et c àchaqueétape.
5) CetalgorithmedonneensortielePGCDdesentiersnaturelsnonnuls a et b .
Lemodifierpourqu’ilindiquesideuxentiersnaturelsnonnuls a et b sontpremiersentreeuxounon.
Partie B
Àchaquelettredel’alphabet,onassociegrâceautableauci-dessousunnombreentiercomprisentre0et25.
Ondéfinitunprocédédecodagedelafaçonsuivante:
Étape1:onchoisitdeuxentiersnaturels p et q comprisentre0et25.
Étape2:àlalettrequel’onveutcoder,onassociel’entier x correspondantdansletableauci-dessus.
Étape3:oncalculel’entier x ′ définiparlesrelations: x ′ ≡ px + q ⎡⎣ 26 ⎤⎦ et 0 ≤ x ′ ≤ 25 Étape4:àl’entier x ′ ,onassocielalettrecorrespondantedansletableau.
1) Danscettequestion,onchoisit p = 9 et q = 2 .
a/DémontrerquelalettreVestcodéeparlalettreJ.
b/Citerlethéorèmequipermetd’affirmerl’existencededeuxentiersrelatifs u et v telsque:
9u + 26v = 1 .Donneruncouple u ; v quiconvient.
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c/Démontrerque x ′ ≡ 9x + 2 ⎡⎣ 26 ⎤⎦ équivautà x ≡ 3x ′ + 20 ⎡⎣ 26 ⎤⎦ d/DécoderlalettreR.
2) Danscettequestion,onchoisit q = 2 et p inconnu.OnsaitqueJestcodéparD.
Déterminerlavaleurde p (onadmettraque p estunique).
3) Danscettequestion,onchoisit p = 13 et q = 2 .CoderleslettresBetD.Quepeut-ondiredececodage?