Forces et énergie magnétiques

Chapitre 8
Forces et ´energie magn´etiques
8.1 Force de Laplace
8.1.1 Expression selon le type de distribution
Nous avons pr´ec´edemment rappel´e que d`es lors qu’une charge ´electrique est en mouvement dans
un champ magn´etique, elle est soumise `a la force de Lorentz
−→
Fe=q−→ v∧
−→
B(8.1)
Lorsque ce d´eplacement correspond au courant des ´electrons libres `a l’int´erieur d’un conducteur
aux bornes duquel on a impos´e une diff´erence de potentiel et qu’on a plac´e dans un champ
magn´etique ext´erieur, l’ensemble des forces de Lorentz agissant sur les ´electrons est transmis par
ceux-ci, par leurs collisions multiples, `a toute la mati`ere du conducteur. Ce dernier se voit alors
soumis `a une force macroscopique pouvant provoquer son d´eplacement. Cette force est appel´ee
force de Laplace.
A l’int´erieur du conducteur, envisageons un ´el´ement de volume dτ. A une date tdonn´ee, il y a
dans ce volume ndτ ´electrons libres, n´etant leur densit´e volumique. La r´esultante des forces de
Lorentz s’exer¸cant sur ce volume est donc
−→
dF =nq −→ v∧
−→
B dτ
soit, en introduisant le vecteur densit´e volumique de courant
−→
dF =
−→
J∧
−→
B dτ (8.2)
C’est la force de Laplace agissant sur l’´el´ement de volume dτ du mat´eriau conducteur. La force
de Laplace totale s’exer¸cant sur tout le volume Vdu conducteur est ainsi
−→
F=ZV
−→
J∧
−→
B dτ (8.3)
L’int´egration peut ˆetre effectu´ee en consid´erant le conducteur comme une superposition de tubes
de courant. Rappelons que si dI est l’intensit´e du courant passant `a travers la section droite dS
d’un tube ´el´ementaire (et qui se conserve tout le long du tube), on a
−→
J dτ ≡dI
−→
d`
199

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de sorte que
−→
F=Ztous les tubes dI Ztube
−→
d` ∧
−→
B(8.4)
Les expressions de la force de Laplace adapt´ees aux autres types de distribution de courants sont
les suivantes :
♣pour les distributions superficielles
−→
dFs=
−→
Js∧
−→
B dS
−→
Fs=ZS
−→
Js∧
−→
B dS (8.5)
♣pour les distributions filiformes
−→
dFf=I
−→
d` ∧
−→
B
−→
Ff=ZC I
−→
d` ∧
−→
B(8.6)
On notera que si le champ ext´erieur est uniforme, la force de Laplace r´esultante est nulle, puisque,
sur un circuit ferm´e comme l’est un tube de courant,
Ztube
−→
d` = 0 (8.7)
C’est alors un couple de forces qui agit sur le circuit.
Enfin, le moment r´esultant des forces de Laplace par rapport `a un point fixe donn´e Ose calcule
comme
−→
ΓO=ZV
−→
OM ∧
−→
dF (M) = ZV
−→
OM ∧·−→ J∧
−→
B(M)¸dτ (8.8)
ou, dans le cas d’un circuit filiforme,
−→
ΓO=ZC
−→
OM ∧·I
−→
d` ∧
−→
B(M)¸(8.9)
8.1.2 D´efinition de l’Amp`ere
Consid´erons deux fils conducteurs C1et C2de longueurs pratiquement infinies, parall`eles `a l’axe
z0zet distants de a. Ils transportent des courants d’intensit´e I1et I2respectivement. Prenant C1
le long de z0zet C2dans le plan xOz `a l’abscisse x=a, le champ magn´etique cr´ee par C1en un
point de C2est
−→
B1=µ0I1
2πa
−→
ey(8.10)
Un ´el´ement de courant I2
−→
d`2de C2est alors soumis `a la force de Laplace
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−→
dF 1/2=I2
−→
d`2∧
−→
B1=−−→ ex
µ0I1I2
2πa d`2(8.11)
♠Si I1I2>0, c’est `a dire si les deux courants vont dans le mˆeme sens, la force est attractive.
♠Elle est r´epulsive si les courants vont en sens oppos´es (I1I2<0).
On remarque ici que la force de Laplace que C2exerce sur un ´el´ement I1
−→
d` 1de C1pour une
mˆeme longueur de fil, d`1=d`2, est oppos´ee `a la pr´ec´edente
−→
dF 2/1=−
−→
dF 1/2(8.12)
Prenons I1=I2=I. La force d’attraction qui s’exerce alors entre les deux conducteurs, a une
intensit´e par unit´e de longueur de fil (soit de C1, soit de C2) ´egale `a
f=µ0I2
2πa (8.13)
Cette formule est `a la base de la d´efinition de l’Amp`ere, qui est
l’intensit´e du courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parall`eles, de longueur
infinie, de section droite n´egligeable plac´es `a 1 m`etre l’un de l’autre dans le vide, produit entre
ces deux conducteurs une force ´egale `a 2 10−7newton par m`etre de longueur.
Figure 8.1
Bien entendu, pour obtenir cette d´efinition, on a pos´e
µ0= 4 π10−7S.I.(8.14)
8.2 Travaux des forces de Laplace
Pour simplifier, consid`erons en premier lieu le cas d’un circuit filiforme plong´e dans un champ
ext´erieur
−→
B. Ce circuit peut ˆetre d´eformable et se d´eplacer dans le champ ext´erieur. Supposons
que chaque ´el´ement I
−→
d` de ce circuit subisse un d´eplacement infinit´esimal que nous noterons
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−→
δλ et qui peut d´ependre de l’´el´ement consid´er´e. Le travail d´evelopp´e par la force de Laplace
s’exer¸cant sur cet ´el´ement est
w=
−→
dF ·
−→
δλ =I·−→ d` ∧
−→
B¸·
−→
δλ
=I
−→
B··−→ δλ ∧
−→
d` ¸(8.15)
Ce travail est infinit´esimal `a double titre parce qu’il correspond, d’une part, `a un ´el´ement infi-
nit´esimal de circuit, et, d’autre part, au d´eplacement infinit´esimal de cet ´el´ement. Le vecteur
−→
ds =
−→
δλ ∧
−→
d` (8.16)
est le “vecteur surface” correspondant au parall´elogramme form´e par les deux vecteurs
−→
δλ et
−→
d` ,
et la quantit´e
δdΦ =
−→
B·
−→
ds (8.17)
est le flux du champ ext´erieur `a travers la surface de ce parall´elogramme. On l’appelle flux coup´e,
parce qu’au cours de son d´eplacement, l’´el´ement de circuit “coupe” des lignes de champ de
−→
B.
Figure 8.2
En int´egrant sur tous les ´el´ements de circuit, on obtient alors le travail d´evelopp´e par l’ensemble
des forces de Laplace agissant sur le circuit, soit
W=ZC I δdΦ = I∆Φ (8.18)
o`u
∆Φ = ZC δdΦ (8.19)
est le flux coup´e par l’ensemble du circuit dans son d´eplacement.
Soit Cila position initiale du circuit, pour laquelle le flux de
−→
B`a travers une surface Sid´elimit´ee
par Ciest Φi. De fa¸con similaire, soit Cfla position finale du circuit, et Φfle flux de
−→
B`a travers
une surface Sfd´elimit´ee par Cf. Il est clair que l’association de Si, de Sfet de la surface coup´ee
par le circuit lors de son d´eplacement constitue une surface ferm´ee. Comme le champ magn´etique
est `a flux conservatif, le flux total de
−→
B`a travers cette surface est nul. Orientons les surfaces
Siet Sfconform´ement `a la r`egle du tire-bouchon par rapport au sens de Idans le circuit. On a
ainsi
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Φi+ ∆Φ −Φf= 0
soit
∆Φ = Φf−Φi≡δΦ (8.20)
Par suite, le travail total des forces de Laplace s’exprime en fonction de la variation du flux du
champ ext´erieur `a travers le circuit :
W=I δΦ (8.21)
nL
nf
ni
Figure 8.3
Ce r´esultat constitue le th´eor`eme de Maxwell.
Si l’intensit´e du courant reste constante dans l’op´eration, le travail peut alors s’exprimer comme
la variation de la fonction IΦ qui ne d´epend que des variables Iet Φ pouvant servir `a d´efinir un
´etat donn´e du syst`eme soumis `a l’action du champ ext´erieur :
W=δ(IΦ) (8.22)
D’un point de vue m´ecaniste, on d´efinira pour le circuit ce qui correspond `a son ´energie potentielle
dans le champ ext´erieur
Ep=−IΦ (8.23)
L’intensit´e ´etant fix´ee, cette ´energie est minimum lorsque le flux est maximum. Une ´evolution na-
turelle s’orientant toujours vers des positions d’´equilibres stables o`u l’´energie potentielle pr´esente
des minima, on en d´eduit la r`egle du flux maximum :
un circuit plac´e dans un champ magn´etique se d´eplacera ou se d´eformera sous l’action des
forces magn´etiques de telle sorte que le flux magn´etique qui le traverse soit maximum.
Si par exemple un circuit peut `a la fois se d´eformer et se d´eplacer, il prendra si possible la forme
d’un cercle perpendiculairement au champ, puisque, `a p´erim`etre donn´e, c’est la surface du disque
qui est la plus grande...
Si le circuit consid´er´e n’est pas filiforme, on pourra le d´ecomposer en tubes de courants ´el´ementaires
auxquels les r´esultats pr´ec´edents peuvent ˆetre ´etendus en rempla¸cant Ipar l’intensit´e ´el´ementaire
dI circulant dans le tube de courant envisag´e (figure 8.4). Le travail des forces de Laplace s’ex-
primera alors comme
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