Mouvement d`une particule dans un champ B

1 BC
7) MOUVEMENT D'UNE CHARGE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
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7) MOUVEMENT D’UNE CHARGE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
UNIFORME
1) Etude expérimentale et interprétation : manuel p.132
2) Force de Lorentz
a) Définition
G
caractérisé par le
Une charge
G
G q qui se déplace avec une vitesse v dans un champ magnétique
vecteur B subit une force magnétique appelée force de Lorentz f m donnée par :
G
G G
f m = qv ∧ B
G
G
G
f m est le produit vectoriel de q v par B .
b) Caractéristiques de la force de Lorentz
G
G
direction : perpendiculaire au plan formé par qv et B
sens :
déterminé par la règle des trois doigts de la main droite (cf. figure)
norme :
f m = qvB sin α
avec: q est la charge (C)
v est la vitesse de la charge (m/s)
B est l'intensité (la norme) du vecteur
champ magnétique (T)
G
G
α est l'angle formé par qv et B .
qv
qv
B
Représentation d'un
vecteur perpendiculaire
au plan de la figure
fm
B
fm
figure en perspective
c) Application 1 manuel p.133
figure schématique
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3) Etude cinématique dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au
champ magnétique
Données : A l'instant initial une particule de masse m et de charge électrique q pénètre
avec la
G
G
vitesse v 0 dans une région de l'espaceGoù règne un champ magnétique uniforme B. On
G
suppose que v 0 est perpendiculaire à B.
v
(t>0)
M
orientation
de la trajectoire
particule de
charge q>0 et
de masse m
T
k
N
a
v0
B
r
f
C
champ magnétique
f
a
O
(t=0)
Nous étudions le mouvement de la particule à l'intérieur du champ uniquement.
a) Système. Référentiel. Repère
Le système est la particule chargée.
Le référentiel est celui du dispositif qui crée le champ magnétique (par exemple deux bobines
de Helmholtz).
G K G G
T
, N , k ). k est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan
Le repère est
celui
de
Frenet
(M,
G
K
formé par T et N .
b) conditions initiales
t = 0 ⇒ particule en O (origine de la trajectoire curviligne)
vitesse = v0
c) Forces extérieures
G
G G
Force de Lorentz : f m = qv ∧ B
G
G
Le poids P est négligeable devant f m . Il n’y a pas de frottement car le mouvement se fait dans
le vide.
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d) Accélération
Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :
G
G
∑ FG = ma
G
G
qv ∧ B = ma
G q G G
a = v∧B
m
G
G K
Projections sur les directions de T , N et k :
aT = 0
(1)
aN =
q vB
ak = 0
m
(2)
(3)
e) Vitesse et position
*
(1) ⇒ v = constant
Conclusion : Le mouvement est uniforme.
*
Comme la coordonnée normale de l'accélération s'écrit toujours a N =
v2
(r = rayon du
r
cercle tangent), on a grâce à (2) :
v 2 q vB
=
r
m
mv
r=
qB
Comme m, v, q et B sont constants, r est constant !
Conclusion : Le mouvement est circulaire.
*
(3) ⇒ vk = constant
Condition initiale: t = 0 ⇒ v0k = 0
G
Donc : vk = 0 pour tout instant t ⇔ il n'y a pas de mouvement suivant k !
Conclusion :
G
G
Le mouvement s'effectue dans un plan perpendiculaire à B, contenant la vitesse initiale v o
f) Conclusion générale : nature du mouvement
Une particule chargée entrant dans un champ magnétique avec une vitesse perpendiculaire au
champ décrit un mouvement circulaire et uniforme dans un plan perpendiculaire au champ.
mv
(4)
Le rayon de la trajectoire est donné par l'expression : r =
qB
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g) Vitesse linéaire, vitesse angulaire, période, fréquence
q Br
La vitesse linéaire de la particule se déduit de (4) : v =
m
qB
v
⇒ ω=
La vitesse angulaire est reliée à la vitesse linéaire par ω =
r
m
2π
m
La période est reliée à la vitesse angulaire par T =
⇒ T = 2π
ω
qB
La fréquence est reliée à la période par f =
1
T
⇒ f =
1 qB
2π m
Les expressions montrent que ω, T et f sont indépendants du rayon r et de la vitesse v.
h) Remarques
G
1) La force de Lorentz f m est centripète. C'est elle qui est à l'origine du mouvement
circulaire et uniformeG!
G
2) Si v 0 est parallèle à B la force de Lorentz est nulle et la particule décrit un
mouvement rectiligneG et uniforme à travers le champ (Newton I).
G
3) Si l'angle entre v 0 et B est différent de 0° et de 90°, la particule décrit un mouvement
uniforme hélicoïdal (trajectoire = hélice).
i) Application 2 manuel p.136
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4) Déflexion magnétique. Tube de télévision : manuel p.137 et 138
G
Un faisceau de particules identiques (électrons), de charge q, de masse m, de vitesse v 0 ,
pénètre en unG point O dans une région de l'espace de longueur A, où règne un champ
G
magnétique B, uniforme et perpendiculaire à v 0 .
Dans le champ magnétique, les particules décrivent un arc de cercle de rayon R = CO = CS,
avec une valeur de vitesse constante v0. A leur sortie S de l’espace magnétique, les particules
ne sont soumises à aucune force et retrouvent une trajectoire rectiligne tangente à la trajectoire
circulaire dans le champ. Elles arrivent finalement en P sur un écran plan situé à la distance D
du point O. Leur interaction avec la couche fluorescente de l'écran y provoque la formation
d'un spot lumineux.
O'
O
q<0
O"
α
v0
S
d
B
R
R
champ
magnétique
P
écran
fluorescent
α
C
D
A
Soit O" le point d’impact des électrons sur l’écran en absence de champ magnétique. On se
propose de déterminer la déviation d = O"P subie par les électrons.
On suppose que
* la longueur A de la région où règne le champ magnétique soit faible par rapport au
rayon R de la trajectoire ⇔ α est petit ⇔ tan α ≈ sin α ≈ α (5)
(α est exprimé en radians !);
* A est faible par rapport à la distance D ⇔ O’O" ≈ D.
d
d
≈
(6)
Alors : tan α =
O' O" D
mv 0
AeB
A
sin α =
avec R =
⇒ sin α =
(7)
R
eB
mv 0
e
d AeB
⋅ AD ⋅ B
=
(5), (6) et (7) ⇒
⇔ d=
mv 0
D mv 0
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5) Spectrographe de masse : manuel p.138
Le spectrographe de masse sert à séparer les isotopes d'un même élément. Il est formé de trois
chambres où règne un vide très poussé.
+
U
ions positifs
chambre
d'ionisation
v0
O
chambre
d'accélération
C1
C2
B
R1
chambre de
déviation
R2
champ
magnétique
détecteur
de particules
*
Chambres d'ionisation : On y produit des ions de même charge q mais de masse m1 et m2
différentes.
*
Chambre d’accélération : A travers une première fente, les ions pénètrent dans cette
chambre avec une vitesse négligeable. Ils sont accélérés par la tension U > 0 et sortent
avec une vitesse
v0 =
2q U
(8)
m
G
* Chambre de déviation : Les ions sont déviés par un champ magnétique B et ont pour
trajectoire des demi-cercles dont les rayons R1 et R2 dépendent des masses m1 et m2.
Combinons les relations (4) et (8) :
1 2m 1 U
1 2m 2 U
R1 =
et R 2 =
B
q
B
q
On vérifie que le rayon de la trajectoire augmente avec la masse.
On arrive ainsi à recueillir sur le détecteur des particules de même masse ; la position du
détecteur permet de déterminer le rayon R de la trajectoire. Connaissant la charge q, on déduit
la masse m de la particule.
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6) Le cyclotron : manuel p.139
Le principe du cyclotron a été découvert en 1929 par E. O. LAWRENCE aux USA.
Un cyclotron est un accélérateur de particules chargées. Il comporte deux électrodes creuses
(des demi-cylindres plats) en forme de la lettre "D", les "dee" (en anglais) ou "dés" (en
français), entre lesquelles est appliquée une tension alternative haute fréquence. Les deux
"dés" baignent dans un champ magnétique uniforme.
R
B
B1
A1
A2
q>0
O
v
C1
dés
D1
B
En son centre (point O) se trouve une source qui fournit des ions, le plus souvent positifs :
protons, deutons (= particules formées d’un proton et d’un neutron), particules alpha
(= particules formées par 2 protons et 2 neutrons), .....etc. Ces particules sont accélérées vers
le "dé" supérieur, où elles arrivent en A1 avec une vitesse vA1. Elles décrivent alors avec la
vitesse vA1 constante un demi-cercle. Au moment précis où elles s’apprêtent à sortir du dé
(point B1), la tension appliquée entre les deux "dés" a changé de signe : les particules sont
accélérées vers le "dé" inférieur (entre B1 et C1) : sa nouvelle vitesse est vC1 > vA1. Dans le
"dé" inférieur les particules décrivent aussi un demi-cercle, de rayon supérieur au précédent,
avec la vitesse vC1 constante. Lorsqu'elles sortent (point D1) la polarité des "dés" a encore
changé : les particules sont accélérées vers le "dé" supérieur (entre D1 et A2) et entrent dans ce
"dé" avec la vitesse vA2 > vC1.
A chaque traversée de l'intervalle entre les "dés", la tension appliquée accélère les particules.
Lorsque les particules sont à l'intérieur des "dés", elles décrivent des demi-cercles avec des
vitesses de plus en plus grandes, et donc avec des rayons de plus en plus grands.
T
m
La durée de parcours des demi-cercles est constante et égale à la demi-période : = π
.
2
qB
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Après avoir tourné quelques centaines de tours, les particules arrivent à la périphérie des "dés"
(rayon R) et sortent tangentiellement à la trajectoire avec la vitesse v. Elles peuvent alors être
utilisées comme projectiles corpusculaires de haute énergie.
Cette vitesse vaut : v =
q BR
m
.
L'énergie cinétique des particules est : E c =
1
1 q 2 B2 R 2
.
mv 2 =
m
2
2