Dm proba binom

TS2
A rendre lundi 17 février
Devoir maison de probabilités
TS2
A rendre lundi 17 février
Devoir maison de probabilités
Attention ! Les événements n’ont pas été définis dans l’énoncé… A vous de les
choisir et de les présenter soigneusement.
Attention ! Les événements n’ont pas été définis dans l’énoncé… A vous de les
choisir et de les présenter soigneusement.
Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur
couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :
•
pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de
trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant
deviennent gris.
•
pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de
trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant
deviennent gris.
Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur
couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :
•
pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de
trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant
deviennent gris.
•
pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de
trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant
deviennent gris.
Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier
éleveur, 40 % au second.
1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’està-dire à l’âge de deux mois.
a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois
plus tard est de 0,92.
b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la
probabilité qu’il provienne du premier élevage ?
2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 10 alevins de deux
mois. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’alevins encore en vie
un mois plus tard.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement huit soient en
vie ? On donnera une valeur approchée à 10-3 près.
c. Quelle est la probabilité pour que X > 7 ?
Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier
éleveur, 40 % au second.
1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’està-dire à l’âge de deux mois.
a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois
plus tard est de 0,92.
b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la
probabilité qu’il provienne du premier élevage ?
2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 10 alevins de deux
mois. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’alevins encore en vie
un mois plus tard.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement huit soient en
vie ? On donnera une valeur approchée à 10-3 près.
c. Quelle est la probabilité pour que X > 7 ?
3.L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils
soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 € si le poisson est rouge,
0,25 € s’il est gris et perd 0, 10 € s’il ne survit pas.
Soit Y la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson
acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique,
arrondie au centime.
L’animalerie a acheté 200 alevins. Quel bénéfice peut-elle espérer réaliser ?
3.L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils
soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 € si le poisson est rouge,
0,25 € s’il est gris et perd 0, 10 € s’il ne survit pas.
Soit Y la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson
acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique,
arrondie au centime.
L’animalerie a acheté 200 alevins. Quel bénéfice peut-elle espérer réaliser ?
!
Correction :
La probabilité du succès est p = P ( S ) = 0,92
La variable aléatoire X qui donne le nombre d’alevins encore en vie un mois plus
tard suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,92.
"10 %
8
b. P(X = 8) = $ ' × 0,92!
× 0,082 ≈ 0,148
8
# &
c. P (X > 7) = 1 – P (X ≤ 7) ≈ 0,96
Notons A : « l’alevin provient du premier élevage »
S : « l’alevin n’a pas survécu avant ses 3 mois»
R : « l’alevin devient rouge à 3 mois»
G : « l’alevin devient gris à 3 mois»
1.
0,1
S
0,75
0,6
A
R
0,15
G
0,05
S
0,4
0,65
A
R
0,3
G
!
A et A forment une partition des alevins.
D’après la formule des probabilités totales,
P (S) = P (A ∩ S) + P ( A ∩ S) = P(A) × PA (S) + P ( A ) × P
!
!
= 0,6 × 0,1 + 0,4 × 0,05 = 0,06 + 0,02 = 0,08
3. P (Y = 1) = P (R) = 0,71
P (Y!= -0,1) = P (S) = 0,08
P (Y = 0,25) = P(G) = 0,21
E(Y) = 1 × 0,71 + 0,25 × 0,21 – 0,1 × 0,08 = 0,7545 ≈ 0,75
200 × E(Y) = 150
L’animalerie peut espérer un bénéfice de 150 €.
A
(S)
P ( S ) = 1 – P(S) = 0,92
! après un mois est 0,92.
La probabilité!que l’alevin soit encore vivant
!
b. A et A forment une partition des alevins.
D’après la formule des probabilités totales,
P (R) = P (A ∩ R) + P ( A ∩ R) = P(A) × PA (R) + P ( A ) × P A R
( )
! = 0,6 × 0,75 + 0,4 × 0,65 = 0,45 + 0,26 = 0,71
La probabilité que l’alevin soit rouge après un mois est 0,71.
c. S, R et G forment
une partition des alevins,
!
! donc P(S) + P(R) + P(G) = 1,
!
d’où P(G) = 1 – 0,08 – 0,71 = 0,21
P (A ∩ G) = P(A) × PA (G) = 0,6 × 0,15 = 0,09
P G " A 0,09 3
PG A =
=
=
0,21 7
PG
( )
(
)
( )
2. a. On répète 10 fois de manière identique et indépendante l’épreuve de
Bernoulli « choisir un alevin », de succès « l’alevin a survécu à 3 mois ».