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ETUDE DE LA RIGIDITE DES FLOTS GEODESIQUES :
CAS DE LA SPHERE ET DU PLAN HYPERBOLIQUE
KALALA MUTOMBO Franck
Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Université de Lubumbashi
Résumé
Les géodésiques sont une généralisation de ce qu’une droite ou segment de droite sont dans
le plan. Etant donné deux points suffisamment proches l’un de l’autre, la géodésique est le
plus court chemin qui les relie. Les géodésiques sont pour les variétés riemanniennes ce que
sont les segments de droites pour les variétés affines. Dans le plan, les géodésiques sont des
droites tandis que sur la sphère, les géodésiques sont les grands cercles.
Les variétés riemanniennes offrent un cadre très général de la Mécanique hamiltonienne avec
les géodésiques comme trajectoires désirées. Dans ce cas, l’aspect intéressant est d’arriver à
caractériser le comportement des géodésiques pour tout intervalle de temps.
Cette perspective combinant la dynamique et la géométrie est très fructueuse et d’actualité.
Ceci peut être rendu possible en étudiant les géodésiques périodiques ou les flots géodésiques
sur une variété riemannienne.
Le flot géodésique sur une variété riemannienne M est un groupe à un paramètre des
difféomorphismes du fibré tangent TM à M. L’ensemble TM est l’espace des phases du flot et
est donc l’ensemble dont les éléments sont constitués des positions et de vitesses de tous les
points de la variété M.
Dans cet article nous examinerons la rigidité des flots géodésiques uniquement pour les cas de
la sphère et du plan hyperbolique. Le flot est rigide dans le cas de la sphère mais ne l’est pas
pour le plan hyperbolique.
2
I. Concepts de base
Définition I.1 : Courbes géodésiques
Soit une variété différentiables (M, ∇) munie d’une connexion
Une courbe paramétrée γ : I → M est appelée une géodésique en un point
∇γ
d
dt
dγ
=0
dt
to ∈ Ι
si
pour t = to
(1.1)
.
.
∇γ γ =0
Ou
(1.2)
La courbe γ est une géodésique sur I si elle est une géodésique pour tout point t ∈ Ι .
En coordonnées locales (x1,…,xn ) , nous avons
γ (t)= (x1(t),…,xn(t))
.
.
.
.
γ = ( x1,..., x n) = ∑ x i
i
(1.3)
Il vient alors
.
.
∇γ γ
=
(
.
.
= ∑ ∇γ ( x i )
i
= ∑(
i
.
∂
.
∇γ ∑ x i
i
.
.
γ ( x i)
∂xi
∂
∂xi
∂
∂xi
)
.
.
+ ∑ x i ∇γ (
i
.
.
+ x i ∇γ (
∂
∂xi
∂
∂xi
))
.
.
dγ . ∂
∂
( x i)
+ xi ∇x j ∂
)
= ∑(
∂xi
∂
x
i dt
∂x j i
)
∂
∂xi
3
.
.
d . ∂
∂
( x i)
+ xi ∑ x j ∇ ∂
)
= ∑(
dt
∂xi
i
j
∂x j ∂xi
∂
..
=
∑ (( x i )
i
.
.
∂xi
+ ∑ x i x j (∑ Γijk ∇
Κ
j
∂
∂x k
))
..
=
.
.
∑ ( xi + ∑ Γ xi x j)
k
i, j
k
ij
∂
∂x k
(1.4)
.
.
∇γ γ =0
La courbe γ est une géodésique si
i.e
d x k + n k d xi d x j = 0
∑ Γ ij
d t 2 i, j
dt dt
2
k=1,..,n
(1.5)
Ce sont là les équations différentielles du second ordre d’une géodésique γ(t)= ((x 1(t),…,xn(t))
Κ
d’une connexion dont les coefficients sont les symboles de Christoffel Γij
.
Introduisons maintenant une métrique riemannienne g sur (M, ∇) qui soit compatible avec
∇ i.e
Xg(Y, Z) =g ( ∇ Χ
Υ , Z) +g(Y, ∇Χ Ζ )
Si γ : I→M est une géodésique alors
.
. .
.
.
.
.
.
∇γ g (γ , γ ) = g (∇γ , γ ) + g (γ , ∇γ γ )
=2g(
.
.
∇γ , γ ) = 0
(
1.6)
Ainsi la longueur du vecteur vitesse
dγ
est une constante par rapport au temps.
dt
De même que l’accélération est toujours nulle sur une droite d’un espace euclidien, de même
la géodésique peut être aussi définie comme une courbe à accélération nulle.
Posons |
dγ
| =cte=c et prenons to=0 l’origine des temps. Alors la longueur de l’arc
dt
géodésique entre 0 et t est égale à :
4
(long
γ
)
=
1
2
 dγ dγ
,
)  dt = ∫0
∫ g (
dt dt 
a
b
t
||
dγ
dt
||
dt
=ct
(1.7)
t
s(t)
= ∫ ||
0
dγ
dt
||
dt
=ct
(1.8)
Donc le paramètre d’une géodésique est proportionnel à la longueur de l’arc géodésique.
Définition I.2
On dit qu’une géodésique est paramétrée par la longueur d’arc ou par le paramètre naturel si
on a choisit
dγ
=c= 1.
dt
Il est naturel d’associer pour son traitement aux systèmes de n équations différentielles du
second ordre (1.1) un système de 2n équations différentielles de premier ordre. Pour obtenir
ce dernier système considérons le fibré tangent de la variété M.
Soit (U, x) un système de coordonnées de M. Alors TU =U × Rn i.e que le fibré peut s’écrire
localement comme une variété produit. (On dit qu’il est localement trivialisable).
Toute courbe γ : I→M détermine une courbe t→ (γ (t),
dγ
) dans TM
dt
Si γ est Une géodésique sur U, alors sur TU la courbe
t→(x1(t),…,xn(t),
d
d x1
(t ),..., xn (t ))
dt
dt
est une solution du système d’équations
d xΚ
= yΚ
dt
(1.9)
d yΚ
= −∑ ΓijΚ yi y j
dt
k=1,…,n
Ecrites dans les coordonnées (x1,…,xn ,y1,…,yn ) sur TU. Le système d’équations (1.5) est
équivalent au système (1.9) sur TU lorsque (1.5) est définit sur U.
5
Définition I.3 : Le flot géodésique
L’ensemble de tous les vecteurs unitaires tangents à une variété riemannienne M est appelé
fibré tangent unitaire et noté par UM. (Berger, 2002)
C’est un sous fibré du fibré tangent TM. La projection canonique est donnée par
p: UM→M
Le flot géodésique sur UM est le groupe à un paramètre G t de difféomorphisme de UM définit
comme suit :
G t(v)= γ v (t )
'
(1.10)
Le flot géodésique aussi noté (UM, G t), est le couple formé par le fibré tangent unitaire et
d’un groupe à un paramètre de difféomorphismes de UM. La variété UM est appelée espace
des phases (ou des états) du flot. (Arnold 1974) En particulier le fibré a une forme volume
noté par ω qui est un invariante sous le flot géodésique. (Iglesias ,1998)
6
Définition I.4 : Mouvement sous l’action d’un flot
Soit x ∈ UM un point quelconque de l’espace des phases. Considérons l’application : t →UM,
γ (t ) =Gt(x).
(1.11)
On appelle mouvement du point x sous l’action du flot (UM, G t) l’application (1.11) de l’axe
réel sur l’espace des phases.
Définition I.5 : Orbite
On appelle orbite du flot (UM, Gt) l’image de l’application (1.11).
Par conséquent une orbite est un sous ensemble de l’espace des phases.
Les trajectoires des flots géodésiques sont eux-mêmes des géodésiques et se projettent sur les
géodésiques de M. (Berger 2002)
Proposition I.6
Si γ : t → M est une géodésique sur une variété M, alors il existe un champ des vecteurs G t
sur TM dont le flot (groupe local à un paramètre) est de la forme t→ ( γ (t ),
.
γ (t )) .
Le champ de vecteurs Gt ainsi définit est appelée le champ géodésique et son flot le flot
géodésique.
Remarque
Pour connaître de façon unique une géodésique, il importe de connaître ses conditions
initiales i.e le point p par lequel il passe à un instant initial t 0 =0 et avec quelle vitesse
v =(
dγ
)(0) elle passe en ce point. On peut résumer cette considération de la façon suivante :
dt
Soit M une variété différentiable et p ∈ Μ . Alors il existe un ouvert V contenant p et contenu
dans M, les nombres réels δ >0 et
ε >0,
Ω = { ( p, v ) / p ∈ V , v ∈ T P M , v < ε
telle que la courbe t →γ (t , p, v ) ou
}
une fonction C∞ γ : (−δ , δ ) × Μ → Μ avec
γ v (t )( p) soit
7
l’unique géodésique de M qui passe au temps t=0 par p avec la vitesse v pour chaque (p,v)
∈ Τ pΜ
avec la restriction
Ainsi dire que
v <εsignifie
v <ε .
que la géodésique γ (t , p, v ) existe sur l’intervalle ( −δ, δ) et
est unique.
Définition I.7 : Champ de vecteurs complets
Un champ de vecteurs X sur M est dit complet s’il engendre un groupe global (local) à un
paramètre de transformations sur M.
Définition I.8 : Systèmes dynamiques
Un système dynamique discret est un espace mesuré (X, µ ) munie d’une application continue
f : X → X qui préserve la mesure. Dans certains cas il n’est pas obligé que l’application f soit
continue ni d’être bijective.
Ce qui est intéressant dans un système dynamique discret est le comportement des états f k
lorsque k tend vers l’infini. Rappelons que le flot géodésique est l’ensemble formé par la
collection des applications Gt ( t nombre réel) qui agit sur le fibré tangent UM comme suit :
Gt (v) est la vitesse au point
γ v (t )
de la géodésique γ dont le vecteur vitesse initiale est
précisément v. Dans toute cette étude un fait fondamental est le théorème de Liouville selon
lequel le flot géodésique laisse invariant la structure canonique symplectique de UM et donc
ainsi la mesure attachée. Ainsi donc nous avons un système dynamique naturel en géométrie
riemannienne.
Nous considérerons le flot géodésique {Gt/ t ∈ R } du fibré tangent UM d’une variété
riemannienne. C’est un système dynamique continu. Notons aussi que nous ne faisons aucune
distinction entre une géodésique dans la variété M et son image dans UM, bien sur l’ensemble
de ses vecteurs vitesses. Quand nous parlerons en diverses occasions, des notions de système
dynamique à propos des variétés riemanniennes, nous comprendrons toujours par système
dynamique le flot géodésique et nous travaillerons avec la mesure de Liouville sur UM.
(Berger ,2002).
8
Définition I.9 : Moyenne temporelle et spatiale
Soit une fonction numérique F : UM → R et v ∈ UM
La valeur moyenne du temps ou moyenne temporelle est donnée par
1L
∫ F (G t (v ))dt
L
L →∞
0
F ∗(v ) = lim
et
(1.12)
La valeur moyenne de l’espace ou moyenne spatiale est donnée par
< F >= ∫ Fµ
UM
(1.13)
Théorème I.10 (Birkoff)
La valeur moyenne du temps
∗
F (v)
d’une fonction mesurable F : UM → R existe presque
partout sauf sur un ensemble de mesure nulle et
∗
∫ F (v ) µ = ∫ F µ
UΜ
UΜ
Pour un système discret il suffit de remplacer la valeur du temps moyen temps par une
somme finie.
Il est essentiel en physique d’avoir une certaine idée de quand la valeur moyenne du temps
sera égale à la moyenne de l’espace approximativement pour un temps assez long.
Définition I.11 : Entropie volumique
Soit (M, g) une variété Riemannienne compacte de revêtement universel Μ.
Si
p ∈Μon
note B(
p , R)
une boule métrique la boule géodésique de centre
p
et de rayon
R dans Μ.
Alors la limite
1
log volB ( p, R )
R →∞ R
lim
(1.14)
Existe et ne dépend pas du point du choix de
p
. On l’appelle entropie volumique de la
métrique g, et on la note hvol(g). (Pansu, 1997).
Nous remarquons que le flot géodésique est sous silence ici.
9
Définition I.12 : Entropie topologique
Lorsque M est une variété riemannienne compacte son entropie volumique est intimement liée
à un invariant du flot géodésique, son entropie topologique. Celle ci mesure la complexité des
orbites au moyen du volume de l’espace des morceaux d’orbites de longueurs données.
Soit M un espace métrique compact, Gt un groupe à un paramètre d’homéomorphisme de M.
Sur l’espace MT des morceaux d’orbites de longueurs T (qui s’identifie à M), on a une
distance naturelle.
dT =sup{d(Gt(m1),Gt(m2)) : 0≤t≤T}
Fixons δ > 0 et définissons le ‘volume’
(1.15)
volδ (ΜΤ)
comme le nombre minimum de
boules de rayon δ nécessaire pour couvrir MT. Ce nombre croît souvent exponentiellement,
avec un exposant
hδ = lim sup
Τ→+∞
1
log vol g (ΜΤ)
Τ
(1.16)
L’entropie topologique du flot Gt est la limite de
hδ
quand δ tend vers 0.
htop (Gt)= lim hδ
δ →0
(1.17)
Elle ne dépend pas de la distance choisie sur M. On dit que l’entropie topologique est un
invariant de conjugaison Co.
Lorsque M est le fibré tangent d’une variété riemannienne compacte, et G t le flot géodésique,
l’espace MT ressemble à une boule de rayon T du revêtement universel. La comparaison
précise est due aux travaux réalisés respectivement par Dinaburg (1971) et Manning (1979)
et ce conformément au théorème ci dessous (Pansu, 1997).
Théorème I.13
Soit M une variété riemannienne compacte, de flot géodésique Gt.
10
Alors htop (G t )
≥ hvol ( M ) .
Si de plus la courbure de M est négative ou nulle,
htop (Gt ) = hvol ( M )
Théorème I.14 (Besson et al. ,1995)
Soient X et Y deux variétés compactes orientées de même dimension n ≥ 3 . On suppose que
X admet une métrique riemannienne localement symétrique g o. Soit g une métrique
riemannienne sur Y dont l’entropie volumique est égale à celle de g o (on peut toujours se
ramener à ce cas en multipliant g par une constante).
Soit f : Y→X une application de degré d. Alors
vol(g) ≥
d
vol(go)
(1.18)
Si l’égalité à lieu, alors f est homotope à un revêtement isométrique.
Proposition I.15 (Besson G. et al, 1996)
Soit
∂f : ∂Y →∂X
un homéomorphisme. Son extension barycentrique F :
Y →X
diminue
le volume. Si en point y ∈Y , dyF préserve le volume alors dyF est une isométrie.
II. Rigidité des flots géodésiques
Le théorème (I.14) caractérise les métriques localement symétriques par une relation entre
leur volume et leur entropie volumique. Ces deux quantités dépendent du flot géodésique. Par
conséquent on peut reconnaître à son flot géodésique qu’une métrique est localement
symétrique.
Définition II.16 : Flots conjugués
Les flots géodésiques de deux variétés riemanniennes (M, g) et (N, h) sont dits conjugués (ou
indistingables ou identiques) s’il existe une application f :UM→UN qui commute avec les
flots géodésiques GtM et GtN . C’est à dire
f o GtM= GtN o f.
(1.19)
11
Le problème de rigidité est un problème inverse : étant donné une variété riemannienne M
avec certaines conditions spéciales
par exemple sur la courbure. Nous voudrions avoir
quelques informations sur le flot géodésique. Inversement nous essayerons de déduire
certaines données géométriques (par exemple la métrique) à partir de la connaissance du flot
géodésique et répondre en particulier à l’unique question suivante :
Deux variétés riemanniennes ayant des flots géodésiques conjugués (identiques) sont–il
nécessairement isométriques ?
Pour répondre à cette question nous allons d’abord considérer quelques illustrations en
courbure positive puis en courbure négative.
12
1. En
n courbure positive
Considérons l’équation générale des surfaces de révolution suivante :
r(u,v)=(g(u)cosv, g(u)sinv, f(u)) et déterminons les géodésiques et les flots géodésiques.
Sa métrique est donnée par
ds²=(g1²(u)+f1²(u))du² + g²(u)dv² où
g1 (u ) =
∂g (u )
∂u
f 1 (u ) = ∂f∂(uu )
=v
 g12 + f 12 0   e 0 
=

g = 
2  0 g2
g  

 0
g11 = g12 + f 12 =e
,
où e= g12 +
g12 = g 21 = 0
f 12 , g 2 = g 2 (u )
g 22 = g 2
,
Les symboles de Christoffel sont données par:
Γ 111 =
1 ∂ g11 1 de
=
1
2 g11 ∂ x 2e du
,
2 =
Γ 11
−
1 ∂ g11
=0
2
2 g 22 ∂ x
2 =
Γ 221 = Γ 12
1 ∂ g 22
= 0,
2 g 22 ∂ x1
2 =
Γ 221 = Γ 12
1 ∂ g 22 1 dg 2
1 ∂ g 22
=
= 0.
, Γ 22 =
1
2
2 g 22 ∂ x g (u ) du
2 g 22 ∂ x
Γ 122 =
1 ∂ g 22
g (u ) dg
−
=
−
2 g11 ∂ x1
e(u ) du
Les géodésiques sont solutions du système d’équations différentielles suivant :
1 de  du  2 g (u )  dv  2
+
  +
  =0
2 2e du  dt 
e(u )  dt 
dt
d2u
d2v
dt
2
+
2 dg dv
=0
g (u ) dt dt
(2) peut s’écrire :
(1)
(2)
x1=u , x2
13
d
dv
(g2 ) = 0
dt
dt
si alors
dv
=0
dt
⇒ g2
dv
= α =cte
dt
, et v = cte, les méridiens sont les géodésiques, exactement ce que nous
avions trouvé pour la sphère ci-dessus.
Maintenant supposons que
α >0 alors
g2
dv
= α se réduit à
dt
g 4 d v 2 = α 2 d t 2 = α 2 ((g1²(u)+f1²(u))du² + g²(u)dv²) (3)
(Pour une géodésique la longueur de l’arc est proportionnelle au paramètre t , s=t , ds=dt )
(3) peut encore s’écrire :
g²(g²- α² )dv² = α² (f1²+g1²)du² ou ± g
g 2 − α 2 dv = α (f1²+g1²)du (4)
En séparant les variables et en intégrant on a :
∫ dv = ± α ∫
( f 12 + g12)
g ( g 2 − α 2)
v = αφ(u, α) + β où
du + β
α et
β sont des constantes d’intégrations.
En particulier dans (4) si g²= α² du =0 et u=cte les parallèles sont des géodésiques comme
pour la sphère ci-dessus et (1) est satisfaite.
Donc toutes les surfaces de révolution ont toutes leurs géodésiques fermées et de même
longueur 2 π . Elles ont donc le même flot géodésique que la sphère standard, les surfaces de
Zoll. (Besse, 1978). Par contre toutes les surfaces de révolution ne sont pas pour autant
isométriques entre elles, nous pouvons citer par exemple le cas de la sphère et du cylindre.
2. En courbure négative
Considérons le plan R² munie de la métrique canonique ds²= dx²+dy²
Le demi plan de Poincarré H= { ( x, y ) / y > 0
} munie de la métrique ds²= (1/y²)(dx²+dy²). Le
plan et de courbure nulle et ses géodésiques sont des segments de droite. Le demi plan de
Poincarré est de courbure négative (-1) et à pour géodésiques des segments de droites
verticales et donc le même flot géodésique que pour le plan. Comme on peut bien le voir à
partir de leur métrique, le plan et le demi plan de Poincarré sont isométriques. Il semble alors
que alors que le flot géodésique soit plutôt rigide en courbure négative ou nulle.
Corollaire II.17 (Foulon et al, 1992)
14
Soient X et Y des variétés riemanniennes compactes dont les flots géodésiques sont C1conjugués. On suppose que la métrique de X est localement symétrique à courbure strictement
négative. Alors les métriques de X et Y sont isométriques.
Preuve
On montre d’abord que vol (X) = vol (Y).( Foulon et al, 1992).
En effet supposons qu’il existe un difféomorphisme entre les fibrés tangents qui échange les
flots géodésiques. Ce difféomorphisme préserve le champ de vecteurs X qui engendrent le
flot géodésique, il préserve le feuilletage stable et instable, donc leurs espaces tangents E + et
E-, donc il préserve la 1-forme différentielle ω qui s’annule sur E + + E- et qui vaut 1 sur X. Or
ω et la forme de Liouville, et ω (dω) n-1 est l’élément de volume sur le fibré unitaire tangent.
Par conséquent, le volume est préservé.
Ensuite X et Y ont même groupe d’homotopie.
En effet en dimension supérieure à 2, une conjugaison est en particulier un homéomorphisme
entre les fibrés unitaires tangents. En dimension supérieure à 2, le fibré tangent unitaire de X a
même groupe fondamental que X.
Enfin d’après le théorème (I.14) nous avons :
htop (Y)nVol(Y) ≥ hvol (Y)n Vol(Y)
(i)
hvol (Y)n Vol(Y) ≥ hvol(X)n Vol(X)
(ii)
hvol(X)n Vol(X) = htop(X)nVol(X)
(iii)
(i) ,(ii),(iii) implique que htop(Y)nVol(Y) ≥ htop(X)nVol(X) (iv)
Comme vol(X) = vol(Y), et avec (iv) on a
htop(Y)n = htop(X)n donc
htop(Y) = htop(X) .
Comme l’entropie topologique et le volume sont conservés, le cas d’égalité du théorème
(I.14) est réalisé, donc X et Y sont isométrique.
Corollaire II.18
Si le feuilletage stable d’une variété riemannienne compacte X de courbure strictement
négative est de classe C∞, alors il est isométrique à une variété localement symétrique à
courbure négative.
15
16
Conclusion
Le problème de rigidité est un problème inverse. Notre préoccupation était
principalement de savoir si deux variétés riemanniennes compactes M et N ayant des flots
géodésiques identiques étaient nécessairement isométriques. Pour répondre à cette question
nous avons pris un cas simple, celui de la sphère et du plan hyperbolique. On montrer que la
sphère et le plan hyperbolique sont des variétés riemanniennes de courbure positive et
négative respectivement. Nous avons par un exemple montré que le flot est rigide en courbure
négative et ne l’est pas en courbure positive. Le problème de rigidité reste encore ouvert
aujourd’hui. On admet
actuellement que
l’absence de la transitivité topologique, ou
ergodicité, est la condition pour qu’il y ait rigidité.
17
REFERENCES
1. ARNOLD V. (1974) - Equations différentielles ordinaires. Editions Mir, Moscou ,268 p.
2. BENOIST Y., FOULON P. et LABOURIE F. (1992) - Flots d’Anosov à distributions
stable et instable différentiables. J. Amer. Math. Soc. 5, 33-74.
3. BERGER, M. (2002) - A panoramic view of riemannian geometry. Ed. Springer verlag,
872 p.
4. BESSE A.L. (1978) – Manifold all of whose geodesics are closed, Ergeb. Der Math. Bd
93, Springer.
5. DINABURG E. I (1971) - On the relation among varoius entropy characteristics of
dynamical system. Izv. Mat. Nauk SSSR 35, 324-366, Trad. Math. USSR Izv.5, 337-378.
6. DOUADY A. et EARLE C.(1986) - Conformally naturl extensions of homeomorphisms of
the circle, Acta Math. 157, 23-48.
7.FOULON P. (1986) – Nouveaux invariants géométriques dans les systèmes dynamiques du
second ordre : application à l’étude du comportement ergodique. Thèse d’Etat, Ecole
polytechnique, inédit, Paris.
8. GALLOT S. (1988) - Inégalités isopérimetriques et analytiques sur les variétés
riemanniennes. Société mathématique de France. Astérisque 163,164, .31-91.
9. GALLOT S. (1998) - Volume, courbure de Ricci, et convergence des variétés. Séminaire
Bourbaki, novembre, expose n0835, Astérisque 252, 7-32.
10..MANNING A. (1979) – Topological entropy for geodesic flows. Ann. Math.110,567-573
11. LEE J. M. (2000) - Introduction to smooth manifolds, version 3.0. Department of
Mathematics, University Of Washington, Seattle, USA.
12. MASSON T. (2001) - Cours de géométrie différentielle, groupe et algèbre de Lie, fibres et
connexions. Orsay Cedex, France, 195p.
13. PANSU P. (1996) - Volume, courbure, et entropie. Séminaire Bourbaki, exposé n0 823,
Astérisque 245, 83-103.
14. PHAM-MAN-QUAN (1969) - Introduction à la géométrie des variétés différentielles.
Dunod, Paris, 169 p.
15. SILVA S. (2001) - On isometric and conformal rigidity of submanifold. Pacific journal of
mathematics, vol.199, no1.
16. VOGEL P. (2001) - Géométrie des variétés et transversalité. Université de Paris 7,
Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris, France, 46 p.