Géométrie sur la pseudosphère
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Géométrie sur les surfaces pseudosphèriques Naissance du premier modèle de géométrie hyperbolique Géométrie intrinsèque des surfaces (1828) Géométrie imaginaire (hyperbolique) (1829) La géométrie des surfaces à courbure constante négative est la géométrie des plans de Lobatchesky-Bolyai (1868) Géométrie intrinsèque des surfaces (1828) La géométrie des surfaces à courbure constante négative est la géométrie des plans de Lobatchesky-Bolyai (1868) Géométrie imaginaire (hyperbolique) (1829) Forme fondamentale d’une surface Directions principales et courbure intégrale En chaque point (régulier …) il existe deux directions du plan tangent, appelées directions principales, perpendiculaires entre elles, pour lesquelles la courbure normale atteint son maximum k1 et son minimum k2 La courbure intégrale en un point est K = k1k2 Gauss a montré que la courbure intégrale est déterminée par E, F, G et leurs dérivées partielles premières. Les différentes courbures Courbure géodésique : Composante sur le plan tangent. Elle ne dépend que de la forme fondamentale Courbure normale : Composante sur la normale . Elle donne des informations sur la « courbure » de la surface Courbure intégrale : Son carré est la somme des carrés des deux précédentes Géodésiques Ce sont les courbes dont la courbure géodésique est nulle C’est-à-dire dont la normale principale est normale à la surface Par tout point il passe une géodésique et une seule ayant une tangente donnée Le plus court chemin entre deux points est toujours sur une géodésique, mais il n’est réalisé que par une seule géodésique Isométries locales Elles sont définies comme difféomorphismes conservant la forme fondamentale Il en résulte qu’elles transforment les géodésiques en géodésiques Et qu’elles conservent les longueurs, les angles et les aires Géométrie intrinsèque Toutes ces propriétés, entièrement déterminées par la forme fondamentale (E, F, G) sont dites intrinsèques, et définissent une géométrie intrinsèque Géométrie intrinsèque des surfaces (1828) La géométrie des surfaces à courbure constante négative est la géométrie des plans de Lobatchesky-Bolyai (1868) Géométrie imaginaire (hyperbolique) (1829) Première présentation d ’une géométrie non euclidienne Les droites sont : •Soit sécantes, •Soit parallèles, •Soit ont une perpendiculaire commune. Par un point extérieur à une droite d, il passe deux parallèles à d. Lobatchevsky établit ses formules sur les angles de parallélisme. Il existe d’autres objets qui n’ont pas d’équivalents euclidiens comme les horicycles qui sont des cercles centrés à l’infini et passant par un point fini. Géométrie intrinsèque des surfaces (1828) La géométrie des surfaces à courbure constante négative est la géométrie des plans de Lobatchesky-Bolyai (1868) Géométrie imaginaire (hyperbolique) (1829) Recherche de la linéarisation des géodésiques « … les seules surfaces susceptibles d'être représentées sur un plan, en sorte qu'à chaque point de l'une corresponde un point de l'autre et qu'à chaque ligne géodésique corresponde une ligne droite, sont celles dont la courbure est partout constante (positive, négative ou nulle). » (1865) Les surfaces pseudosphériques de révolution La paramétrisation de la tractrice Le cas parabolique Le cas hyperbolique Le cas hyperbolique Le cas elliptique Le cas elliptique Linéarisation des géodésiques de la pseudosphère "... toute la région se trouve représentée à l'intérieur d'un cercle [...] ayant pour origine l'origine des coordonnées et que nous appellerons "cercle-limite"... "... Dans cette représentation, aux lignes géodésiques de la surface correspondent les cordes du cercle-limite, et en particulier aux lignes géodésiques coordonnées correspondent les lignes parallèles aux deux axes de coordonnées." Linéarisation des géodésiques de la pseudosphère La découverte du plan de Lobatchevski sur la surface Il existe donc des géodésiques : Dans cette représentation, les - points sécantes du cercle sont les points l ’infini de la surface. - ànon sécantes - ou se coupant à l ’infini Par un point extérieur géodésique il L ’image à deune deux géodésiques passe d ’angle non nuldeux sont deux - au sensà π, cordes d parallèles ’angle ni nul ni égal de Lobatchevski - à et réciproquement. cette géodésique La pseudosphère n’est qu’une représentation locale du plan hyperbolique L’image de la pseudosphère correspond à un horicycle du modèle de Lobatchevski Les parallèles à l’équateur sont des horicycles concentriques au L’image premier de la feuille principale de la pseudosphère est un secteur de l’horicycle. Changement de l’image de l’origine par rapport au mémoire de Beltrami L’origine est plus proche du point d’abscisse -1, l ’horicycle est plus grand Après les limites de la première feuille on voit clairement celles de la deuxième feuille Le recouvrement de la surface dans le modèle hyperbolique Le recouvrement de la surface dans le modèle hyperbolique Le recouvrement de la surface dans le modèle elliptique Le recouvrement de la surface dans le modèle elliptique Construire sur la pseudosphère Les géodésiques de la pseudosphère : ch2(u) + (t+c)2 = k2 Cas des surfaces de type hyperbolique Les géodésiques de la surface hyperbolique : Cas des surfaces de type elliptique Les géodésiques de la surface elliptique : Jouons hyperboliquement ….avec Cabri
