1.etude de la rigidite des flots geodesiques

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ETUDE DE LA RIGIDITE DES FLOTS GEODESIQUES :
CAS DE LA SPHERE ET DU PLAN HYPERBOLIQUE
KALALA MUTOMBO Franck
Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Université de Lubumbashi
Résumé
Les géodésiques sont une généralisation de ce qu’une droite ou segment de droite sont dans
le plan. Etant donné deux points suffisamment proches l’un de l’autre, la géodésique est le
plus court chemin qui les relie. Les géodésiques sont pour les variétés riemanniennes ce que
sont les segments de droites pour les variétés affines. Dans le plan, les géodésiques sont des
droites tandis que sur la sphère, les géodésiques sont les grands cercles.
Les variétés riemanniennes offrent un cadre très général de la Mécanique hamiltonienne avec
les géodésiques comme trajectoires désirées. Dans ce cas, l’aspect intéressant est d’arriver à
caractériser le comportement des géodésiques pour tout intervalle de temps.
Cette perspective combinant la dynamique et la géométrie est très fructueuse et d’actualité.
Ceci peut être rendu possible en étudiant les géodésiques périodiques ou les flots géodésiques
sur une variété riemannienne.
Le flot géodésique sur une variété riemannienne M est un groupe à un paramètre des
difféomorphismes du fibré tangent TM à M. L’ensemble TM est l’espace des phases du flot et
est donc l’ensemble dont les éléments sont constitués des positions et de vitesses de tous les
points de la variété M.
Dans cet article nous examinerons la rigidité des flots géodésiques uniquement pour les cas de
la sphère et du plan hyperbolique. Le flot est rigide dans le cas de la sphère mais ne l’est pas
pour le plan hyperbolique.

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I. Concepts de base
Définition I.1 : Courbes géodésiques
Soit une variété différentiables (M, ) munie d’une connexion
Une courbe paramétrée γ : I → M est appelée une géodésique en un point
to
si
dt
d
dt
d
=0 pour t = to (1.1)
Ou
.
.
=0 (1.2)
La courbe γ est une géodésique sur I si elle est une géodésique pour tout point
t
.
En coordonnées locales (x1,…,xn ) , nous avons
γ (t)= (x1(t),…,xn(t))
x
xx
xi
iin 
 ..
.
.),...,( 1
(1.3)
Il vient alors
.
.
=
.
(
x
xi
ii
.
)
=
)()( .. ..
x
x
x
xi
i
i
iii 
=
i(
)()( .
..
.
x
x
x
xii ii 
)
=
))(( .
..
x
x
x
xii
ix
xj
ii j
dt
d
=
))(( .
..
x
x
x
x
xi
j
i
ix
j
ii j
dt
d
=
))()(( .
...
x
x
x
x
xk
k
ij
j
i
ij
ii 
=
x
x
xx k
ji
k
ij
kj
ii 
)( .
.
,
..
(1.4)
La courbe γ est une géodésique si
.
.
=0 i.e

3
0
,
2
2 dt
d
dt
d
dx
x
txd j
i
n
ji
k
ij
k
k=1,..,n (1.5)
Ce sont là les équations différentielles du second ordre d’une géodésique γ(t)= ((x1(t),…,xn(t))
d’une connexion dont les coefficients sont les symboles de Christoffel
ij
.
Introduisons maintenant une métrique riemannienne g sur (M, ) qui soit compatible avec
i.e Xg(Y, Z) =g ( , Z) +g(Y, )
Si γ : I→M est une géodésique alors
),(),(),( ..... ...
  ggg
=2g(
0), .
.
(1.6)
Ainsi la longueur du vecteur vitesse
dt
d
est une constante par rapport au temps.
De même que l’accélération est toujours nulle sur une droite d’un espace euclidien, de même
la géodésique peut être aussi définie comme une courbe à accélération nulle.
Posons |
dt
d
| =cte=c et prenons to=0 l’origine des temps. Alors la longueur de l’arc
géodésique entre 0 et t est égale à :
(long ) =
dt
dt
d
dt
d
g
b
a
),( 2
1
=
t
0
||
dt
d
|| dt =ct (1.7)
s(t) =
t
0
||
dt
d
|| dt =ct (1.8)
Donc le paramètre d’une géodésique est proportionnel à la longueur de l’arc géodésique.
Définition I.2
On dit qu’une géodésique est paramétrée par la longueur d’arc ou par le paramètre naturel si
on a choisit
dt
d
=c= 1.
Il est naturel d’associer pour son traitement aux systèmes de n équations différentielles du
second ordre (1.1) un système de 2n équations différentielles de premier ordre. Pour obtenir
ce dernier système considérons le fibré tangent de la variété M.
Soit (U, x) un système de coordonnées de M. Alors TU =U Rn i.e que le fibré peut s’écrire
localement comme une variété produit. (On dit qu’il est localement trivialisable).

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Toute courbe γ : I→M détermine une courbe t→ (γ (t),
dt
d
) dans TM
Si est Une géodésique sur U, alors sur TU la courbe
t→(x1(t),…,xn(t),
))(),...,(
1t
dt
d
t
dt
dx
xn
est une solution du système d’équations
y
x
dt
d
(1.9)
yy
yji
ij
dt
d
k=1,…,n
Ecrites dans les coordonnées (x1,…,xn ,y1,…,yn ) sur TU. Le système d’équations (1.5) est
équivalent au système (1.9) sur TU lorsque (1.5) est définit sur U.
Définition I.3 : Le flot géodésique
L’ensemble de tous les vecteurs unitaires tangents à une variété riemannienne M est appelé
fibré tangent unitaire et noté par UM. (Berger, 2002)
C’est un sous fibré du fibré tangent TM. La projection canonique est donnée par
p: UM→M
Le flot géodésique sur UM est le groupe à un paramètre Gt de difféomorphisme de UM définit
comme suit :
Gt(v)=
)(
't
v
(1.10)
Le flot géodésique aussi noté (UM, Gt), est le couple formé par le fibré tangent unitaire et
d’un groupe à un paramètre de difféomorphismes de UM. La variété UM est appelée espace
des phases (ou des états) du flot. (Arnold 1974) En particulier le fibré a une forme volume
noté par ω qui est un invariante sous le flot géodésique. (Iglesias ,1998)

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Définition I.4 : Mouvement sous l’action d’un flot
Soit x UM un point quelconque de l’espace des phases. Considérons l’application : t →UM,
)(t
Gt(x). (1.11)
On appelle mouvement du point x sous l’action du flot (UM, Gt) l’application (1.11) de l’axe
réel sur l’espace des phases.
Définition I.5 : Orbite
On appelle orbite du flot (UM, Gt) l’image de l’application (1.11).
Par conséquent une orbite est un sous ensemble de l’espace des phases.
Les trajectoires des flots géodésiques sont eux-mêmes des géodésiques et se projettent sur les
géodésiques de M. (Berger 2002)
Proposition I.6
Si : t → M est une géodésique sur une variété M, alors il existe un champ des vecteurs Gt
sur TM dont le flot (groupe local à un paramètre) est de la forme t→ (
))(),(.tt
.
Le champ de vecteurs Gt ainsi définit est appelée le champ géodésique et son flot le flot
géodésique.
Remarque
Pour connaître de façon unique une géodésique, il importe de connaître ses conditions
initiales i.e le point p par lequel il passe à un instant initial t0 =0 et avec quelle vitesse
)0)((dt
d
v
elle passe en ce point. On peut résumer cette considération de la façon suivante :
Soit M une variété différentiable et p . Alors il existe un ouvert V contenant p et contenu
dans M, les nombres réels >0 et >0, une fonction C∞ :
 ),(
avec
 vMvVpvp TP,,/),(
telle que la courbe t
),,( vpt
ou
))((pt
v
soit
l’unique géodésique de M qui passe au temps t=0 par p avec la vitesse v pour chaque
(p,v)
p
avec la restriction
v
.
Ainsi dire que
v
signifie que la géodésique
),,( vpt
existe sur l’intervalle
),(
et est
unique.