Réflexion sur l`enseignement de la mécanique quantique

Réflexion sur l’enseignement de la mécanique quantique (I)
Fonctions propres et fonction d’ondes : Etats possibles et état physique
I. Mécanique quantique : Brève historique
I-A. Trois formalismes de mécanique quantique
I-B. Non-relativiste ⇒ relativiste
I-C. Systèmes de particules identiques
I-D. Solutions générales de l’équation de Schrödinger
II. Importance des facteurs temporels : e.g., Effet tunneling
II-A. Barrière de potentiel rectangulaire
II-B. Oscillation à travers d’une barrière de potentiel
III. Sujets types de TD proposés
III-A. Sujets du partiel 14/03/12 pour L2 Chimie
III-B. Sujets du partiel 26/03/12 pour L3 Biochimie
IV. Conclusion
I. Mécanique quantique : Brève historique
I-A. Trois formalismes de mécanique quantique
(1) Filière N. Bohr (1913) : Mécanique des matrices
W.K. Heisenberg (1925) Über quantentheorische Umdeutung kinematischer und
mechanischer Beziehungen
M. Born, P. Jordan (1925) Zur Quantenmechanik
P.A.M. Dirac (1925) The fundamental equations of quantum mechanics
M. Born, W.K. Heisenberg, P. Jordan (1926) Zur Quantenmechanik II
W.K. Heisenberg (1927) : Principe d’incertitude (Ungenauigkeit)
(2) Filière L. de Broglie (1924) : Mécanique ondulatoire
L. de Broglie (1924), forme non-relativiste : Ψ ( xu , t ) = A ⋅ exp {2π i ( pu xu − Wt ) / h}
E. Schrödinger (1926) Quantisierung als Eigenwertproblem I, II, III : Hψ (r ) = Wψ (r )
E. Schrödinger (1926) : Equivalence avec Heisenberg
V. Fock (1926) : Equation de Hamilton-Jacobi, H (qi , ∂W / ∂qi ) + ∂W / ∂t = 0
E. Schrödinger (1926) IV : i ∂ t Ψ (r , t ) = H Ψ (r , t )
2
M. Born (1926) : Interprétations probabilistes sur Cnm = ψ n V ψ m
2
Wahrscheinlichkeit) et Cn = ψ n f
2
2
(Übergangs-
(Häufigkeit des Zustandes n) (vide infra, I-D)
(3) Méthode des trajectoires imaginables :
R.P. Feynman (1948) Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics
I-B. Non-relativiste ⇒ relativiste
Spin = 0 :
Ondes planes de L. de Broglie (1924), forme covariante : Ψ ( xr ) = A ⋅ exp(ipr x r / )
Equation de Klein-Gordon (1925) : ∂r∂r Ψ =
Ψ = (∆ − c2∂t2)Ψ = k2Ψ, ( k = mc / )
Spin = ½ :
Spin d’e− : G. Uhlenbeck & S. Goudsmit (1925) ; “Eigenrotation” ⇒ “spin”
Rapport gyromagnétique γ ≈ −e / m : L. Thomas (1925)
Equation non-relativiste d’électron avec spin :
e B


(n iσ )  Ψ
W. Pauli (1927) : i ∂ t Ψ = σ 0 H 0 +
2m


C.G. Darwin (1927) : Electron as a (two-component) vector wave ⇒ “spineur”
Equation de Dirac (1928) : (γ r ∂ r + k )Ψ = 0 ,
( {γ r , γ s } = 2γ 0δ rs )
( k = mc / ),
I-C. Systèmes de particules identiques
S.N. Bose : Systèmes de particules identiques ; bosons (1924)
W. Pauli : Principe (empirique) d’Aufbau (1925) ⇒ “Principe de Pauli” (!)
E. Fermi (1926), P.A.M. Dirac (1926) : Systèmes de fermions
Représentations d’état pour les bosons et les fermions :
Heisenberg (1926), Dirac (1927) ⇒ “Déterminant de Slater” (Dirac ?)
Atomes poly-e− :
D.R. Hartree (1927), J.A. Gaunt (1927), J.C. Slater (1928, 1929), V.A. Fock (1930)
I-D. Solutions générales de l’équation de Schrödinger
Equation des ondes de Schrödinger : i ∂ t Ψ ( xu , t ) = H Ψ ( xu , t )
- Principe de superposition : Ψ = λΨ1 + µΨ2
- Fonctions d’ondes complexes : Ψ → Ψ * ∈ C (automorphisme) : Ψ * H = −i Ψ * ∂ t
- Evolution du système dans le cas H ≠ H(t) : t = T t0
(T : unitaire)
Solution générale (cas discret) : Ψ (r , t ) = ∑ Cn Ψ n (r , t ) = ∑ Cnψ n( H ) (r ) exp(−iWnt / )
n
Ça, c’est une fonction d’ondes !
n
II. Importance des facteurs temporels : e.g., Effet tunneling
II-A. Barrière de potentiel rectangulaire
Une particule ayant l’énergie W vient de
l’infini à gauche (− ∞) où l’énergie
potentielle est nulle, U(x) = 0. On a
U ( x) = U {H ( x) + H (a − x) − 1}
où H(y) est la distribution de Heaviside.
Le cas W < U :
 d 2 2m {U ( x) − W } 
Equation caractéristique du Hamiltonien :  2 −
ψ ( x) = 0
2
 dx

Avec k ≡ 2mW / , γ ≡ 2m(U − W ) / , λ ≡ γ/k .
Solution :
ψ1(x) = A1 eikx + B1 e−ikx
(x < 0)
ψ2(x) = A2 eγx + B2 e−γx
(0 < x < a)
ψ3(x) = A3 eikx
(a < x)
Attention : Il faut absolument rétablir le facteur exponentiel par rapport au temps,
exp(−iWt/ħ), pour expliquer que ces fonctions représentent les ondes planes (ψ1, ψ3) ou
stationnaires (ψ2) !
Le cas W ≥ U :
Sans la partie temporelle, l’on ne peut dire qu’il y a une interférence entre les deux ondes
planes (incidente et réfléchie) pour le domaine 1 !
II-B. Oscillation à travers d’une barrière de potentiel
Etudions le comportement d’une particule de
masse m dans l’énergie potentielle sous
forme d’une distribution U(x) :
U(x) → ∞ pour x < –b et x > b ;
U(x) = U (constante) pour –a < x < a ; a > 0,
b > 0 et a < b.
La densité de probabilité de présence,
Ψ ( x, t )* Ψ ( x, t ) =
{
1
2
2
ψ a + ψ s + 2ψ aψ s cos [ (Wa − Ws )t /
2
]}
où ψ a est une fonction propre antisymétrique (parité −1) et ψ s est une fonction symétrique
(parité +1).
Quand (cos = 1) ⇒ (ψ a +ψ s ) 2 / 2 : la probabilité de trouver la particule est nulle dans la
cuvette de gauche.
Quand (cos = −1) ⇒ (ψ a −ψ s ) 2 / 2 : la probabilité de trouver la particule est nulle dans la
cuvette de droite.
Donc, la particule oscille entre la cuvette de droite et celle de gauche avec la fréquence
ν = (Wa − Ws ) / h .
Dans ce cas aussi, sans la partie temporelle, l’on ne peut pas expliquer l’oscillation !
N.B. − Applications : MASER, LASER, Jonction de Josephson, Réactions SN2, …
III. Sujets types de TD proposés
Il est important que les étudiants puissent utiliser les principes de la mécanique quantique en
entier dans la mesure possible, et ne pas traiter que des sujets fragmentaires !
En bas, j’ai transformé deux exercices simples aux problèmes plus conséquents.
Exercice I. L’état d’une particule est décrit par une fonction ψ = A cos 2 ϕ .
1° Quelles sont les valeurs possibles de la composante Lz du moment cinétique et leurs
probabilités π(m) ?
2° Calculer la valeur moyenne <Lz>.
Problème I. (Moment cinétique orbital) Dans ce problème, le moment est écrit en unité
quantique ( L ) qui est relié au moment en S.I. ( L ) par L = L . Répondre en choisissant une
de ces unités. Utiliser les deux conventions de notation pour désigner les états : ψ k (r ) ⇔ k
(espaces des fonctions & espace des vecteurs).
A. − L’état Lz (composante du moment suivant l’axe Oz) d’une particule libre de masse m
avec l’énergie cinétique T à l’instant t = 0 est décrit par une fonction d’amplitude
f = A cos 2 ϕ ( ϕ : angle azimutal ; A : constante).
(1) Ecrire Lz en coordonnées cartésiennes ( Lw = −iε uvw [ xu ∂ v − x v ∂ u ] ) puis en coordonnées
sphérique. Ecrire l’équation caractéristique de Lz. Ecrire les relations d’ortho-normalité et de
fermeture sur la base des fonctions propres, k = ψ k (ϕ ) = (2π ) −1/2 exp(ikϕ ) .
(2) Développer f dans {ψ k } en utilisant cos(2 x) = 2 cos 2 x − 1 , exp(iu ) = cos u + i sin u .
(3) Normaliser cette fonction f pour trouver A.
(4) Si l’on mesurait Lz à t = 0, quelles seraient les valeurs possibles de Lz et leurs probabilités
correspondantes π(k) ?
(5) Calculer la valeur moyenne <Lz> à t = 0.
(6) Quelles sont les valeurs propres possibles de L2 ?
(7) Ecrire l’équation caractéristique du Hamiltonien. Quelle est la dégénérescence ?
(8) Ecrire l’équation des ondes de Schrödinger (avec H explicite) et citer ses caractéristiques
importantes. Développer la fonction d’onde du système Ψ en coordonnées réduites (ϕ , t ) .
Rappel : la solution générale dans les cas discrets s’écrit
Ψ (r , t ) = ∑ Cnψ n( H ) (r ) exp(−iWnt / ) .
n
(9) Si l’on mesurait de nouveau Lz du système à un temps t ≠ 0, quelles seraient les valeurs
possibles et leurs probabilités correspondantes ? Et la valeur moyenne de Lz ?
B. − Cette particule se trouve dans une induction magnétique statique B = B0 kˆ où k̂ est un
vecteur unité parallèle à l’axe Oz. L’état à l’instant t = 0 est décrit toujours par la même
fonction f.
(10) Le Hamiltonien du système, en plus de l’énergie T,
s’écrit H ' = − B0 i M = −γ B0 iL = −γ B0 Lz . L’opérateur H′ est-il hermitien ? [H′, Lz] = ? [H′,
L2] = ? Ecrire l’équation caractéristique de H′, puis donner les énergies possibles (Wn) que
l’on peut obtenir comme résultats de mesure à t = 0. Quelle est la dégénérescence ?
(11) Ecrire la fonction d’onde du système en coordonnées réduites (ϕ , t ) utilisant ω0 = γ B0 .
(12) Si l’on mesurait de nouveau Lz du système à un temps t ≠ 0, quelles seraient les valeurs
possibles et leurs probabilités correspondantes ? Et la valeur moyenne de Lz ? Les mêmes
questions pour le Hamiltonien, c’est-à-dire Wn = ?, <H′> = ?
C. − Supposons que ce système se trouve, en plus de l’induction magnétique statique ( B0 ),
dans une induction magnétique ( B ' ), qui varie au cours du temps suffisamment rapidement
par rapport aux périodes de mesures, avec B0
B' ≠ 0 .
(13) Ecrire la fonction d’onde du système dans ce cas toujours en coordonnées réduites (ϕ , t ) .
(14) Si l’on mesurait Lz du système à un temps t ≠ 0, quelles seraient les résultats possibles ?
(Penser aux règles de sélection) La grandeur physique associée à l’observable Lz , i.e. < Lz >,
est-elle conservée ? L’énergie (la valeur moyenne du Hamiltonien <H>), est-elle conservée ?
Exercice II. Calculer les coefficients Cn correspondant à la fonction
1/4
Ψ ( x, 0) = (α / π ) exp −ip0 ( x − x0 ) / − α ( x − x0 ) 2 / 2 .
{
}
Faire le calcul pour n = 0 et chercher une relation de récurrence.
Problème II. (Oscillateur harmonique linéaire) Dans ce problème, utiliser les deux
conventions de notation pour désigner les états : ψ k (r ) ⇔ k (espaces des fonctions &
espace des vecteurs).
A. − Le Hamiltonien (H) d’un oscillateur harmonique linéaire (de masse m) s’écrit
− 2 (∂ 2x − α 2 x 2 ) / (2m) où x est l’opérateur associé à la position de la particule, α ≡ mω / , et
∂ x = ∂ / (∂x) = ip / .
(1) Ecrire l’équation caractéristique de H. Quelles sont les valeurs propres ( Wn ) du
Hamiltonien ? Dans la méthode des opérateurs d’échelle (A et B dans le cours ou les créateur
et annihilateur) quelle est la condition imposée aux fonctions propres pour trouver les valeurs
propres ? N.B. ψ 0 = (α / π )1/4 exp(−α x 2 / 2) . Quelle est la dégénérescence ?
(2) Ecrire les relations d’ortho-normalité et de fermeture des fonctions propres normées du
Hamiltonien {ψ n }.
(3) La parité ( P ) est-elle conservée ? [P , H ] = ? Quelle est la parité de {ψ n } ?
(4) Ecrire les formules définissant la valeur moyenne (<A>) et l’écart quadratique (∆A) d’un
opérateur A pour l’état n. Quelles sont les valeurs <x> = ? <p> = ? Quelle est la valeur
de (∆x) ⋅ (∆p) pour l’état fondamental (n = 0) ?
(5) Ecrire l’équation des ondes ( Ψ ( x, t ) ) de Schrödinger et citer ses caractéristiques
importantes. Rappel : la solution générale dans les cas discrets s’écrit
Ψ (r , t ) = ∑ Cnψ n( H ) (r ) exp(−iWnt / ) .
n
B. − L’état de ce système à l’instant t = 0 est décrit par une fonction d’amplitude
1/4
f = (α / π ) exp −ip0 ( x − x0 ) / − α ( x − x0 ) 2 / 2 .
{
}
(6) La fonction f est normée. Exprimer la condition de normalisation.
(7) Comment peut-on trouver les coefficients ( Cn ) du développement de cette fonction dans
la base de {ψ n } ?
C. − On trouve que Cn2 = ( β 2 / n !) exp(− β ) avec
∞
∑C
n =0
2
n
= 1 où β ≡ W / ( ω ) ,
W = ( p02 + m 2ω 2 x02 ) / (2m) .
(8) Dessiner l’allure de Cn2 comme une distribution de n pour deux valeurs donnée de β =
(10, 20).
(9) Ecrire la fonction d’onde Ψ ( x, t ) de ce système.
(10) Si l’on mesurait l’énergie à un instant t, quelle valeur obtiendrait-on ? Quelle serait la
probabilité d’obtenir comme résultat Wk ? Quelle serait la valeur moyenne de l’énergie ?
Quelle serait la valeur moyenne d’un opérateur A en général ?
IV. Conclusion
♣ Distinction claire entre les équations caractéristiques (y compris l’équation caractéristique
du Hamiltonien de Schrödinger) et l’équation des ondes de Schrödinger.
♥ Dans la mesure possible, utiliser tous les principes de mécanique quantique dans les TD.
♠ Rappeler systématiquement les facteurs temporels (fonctions de phase).
♦ Souligner la notion de la mesure ; e.g., différencier les valeurs moyennes des états propres
{ ψ (r ) } et celles de la fonction d’état Ψ (r , t ) .
A vos plaisirs d’enseigner !