Réflexion sur l`enseignement de la mécanique quantique

Réflexion sur l’enseignement de la mécanique quantique (I)
Fonctions propres et fonction d’ondes : Etats possibles et état physique
I. Mécanique quantique : Brève historique
I-A. Trois formalismes de mécanique quantique
I-B. Non-relativiste ⇒ relativiste
I-C. Systèmes de particules identiques
I-D. Solutions générales de l’équation de Schrödinger
II. Importance des facteurs temporels : e.g., Effet tunneling
II-A. Barrière de potentiel rectangulaire
II-B. Oscillation à travers d’une barrière de potentiel
III. Sujets types de TD proposés
III-A. Sujets du partiel 14/03/12 pour L2 Chimie
III-B. Sujets du partiel 26/03/12 pour L3 Biochimie
IV. Conclusion

I. Mécanique quantique : Brève historique
I-A. Trois formalismes de mécanique quantique
(1) Filière N. Bohr (1913) : Mécanique des matrices
W.K. Heisenberg (1925) Über quantentheorische Umdeutung kinematischer und
mechanischer Beziehungen
M. Born, P. Jordan (1925) Zur Quantenmechanik
P.A.M. Dirac (1925) The fundamental equations of quantum mechanics
M. Born, W.K. Heisenberg, P. Jordan (1926) Zur Quantenmechanik II
W.K. Heisenberg (1927) : Principe d’incertitude (Ungenauigkeit)
(2) Filière L. de Broglie (1924) : Mécanique ondulatoire
L. de Broglie (1924), forme non-relativiste :
{
}
(,) exp2( )/
u
uu
x
tA ipxWth π Ψ=⋅ −
E. Schrödinger (1926) Quantisierung als Eigenwertproblem I, II, III : () ()Hr Wr
ψ
ψ =
E. Schrödinger (1926) : Equivalence avec Heisenberg
V. Fock (1926) : Equation de Hamilton-Jacobi, ( , / ) / 0
ii
Hq W q W t
∂
∂+∂ ∂=
E. Schrödinger (1926) IV : ( , ) ( , )
t
irtHrt∂Ψ = Ψ
M. Born (1926) : Interprétations probabilistes sur 2
2
nm n m
CV ψψ = (Übergangs-
Wahrscheinlichkeit) et 2
2
nn
Cf ψ = (Häufigkeit des Zustandes n) (vide infra, I-D)
(3) Méthode des trajectoires imaginables :
R.P. Feynman (1948) Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics
I-B. Non-relativiste ⇒ relativiste
Spin = 0 :
Ondes planes de L. de Broglie (1924), forme covariante : ( ) exp( / )
r
rr
xA ipxΨ=⋅ 
Equation de Klein-Gordon (1925) : ∂r∂r Ψ =  Ψ = (∆ − c2∂t2)Ψ = k2Ψ, ( /mck =)

Spin = ½ :
Spin d’e− : G. Uhlenbeck & S. Goudsmit (1925) ; “Eigenrotation” ⇒ “spin”
Rapport gyromagnétique /em
γ
≈− : L. Thomas (1925)
Equation non-relativiste d’électron avec spin :
W. Pauli (1927) : 00 ()
2
t
eB
iHn
m
σσ
∂Ψ= + Ψ
i
C.G. Darwin (1927) : Electron as a (two-component) vector wave ⇒ “spineur”
Equation de Dirac (1928) : 0)( =Ψ+∂ k
r
r
γ , ( /mck
=
), ( 0 {, } 2
rs rs
γ
γγδ =)
I-C. Systèmes de particules identiques
S.N. Bose : Systèmes de particules identiques ; bosons (1924)
W. Pauli : Principe (empirique) d’Aufbau (1925) ⇒ “Principe de Pauli” (!)
E. Fermi (1926), P.A.M. Dirac (1926) : Systèmes de fermions
Représentations d’état pour les bosons et les fermions :
Heisenberg (1926), Dirac (1927) ⇒ “Déterminant de Slater” (Dirac ?)
Atomes poly-e− :
D.R. Hartree (1927), J.A. Gaunt (1927), J.C. Slater (1928, 1929), V.A. Fock (1930)
I-D. Solutions générales de l’équation de Schrödinger
Equation des ondes de Schrödinger : ( , ) ( , )
tu u
ixtHxt
∂
Ψ=Ψ
- Principe de superposition : Ψ = λΨ1 + µΨ2
- Fonctions d’ondes complexes : *CΨ→Ψ ∈ (automorphisme) : **
t
Hi
Ψ
=− Ψ ∂
- Evolution du système dans le cas H ≠ H(t) : 0
tTt= (T : unitaire)
Solution générale (cas discret) : () ( , ) ( , ) ( ) exp( / )
H
nn nn n
nn
rt C rt C r iWt ψ Ψ= Ψ = −
∑
∑
Ça, c’est une fonction d’ondes !

II. Importance des facteurs temporels : e.g., Effet tunneling
II-A. Barrière de potentiel rectangulaire
Une particule ayant l’énergie W vient de
l’infini à gauche (− ∞) où l’énergie
potentielle est nulle, U(x) = 0. On a
() { () ( ) 1}Ux UHx Ha x=+−−
où H(y) est la distribution de Heaviside.
Le cas W < U :
Equation caractéristique du Hamiltonien :
{
}
2
22
2() () 0 mUx W
dx
dx
ψ
−
−
=
Avec 2/kmW≡, 2( )/mU W
γ ≡−, λ ≡ γ/k .
Solution : ψ1(x) = A1 eikx + B1 e−ikx (x < 0)
ψ2(x) = A2 e
γ x + B2 e− γ x (0 < x < a)
ψ3(x) = A3 eikx (a < x)
Attention : Il faut absolument rétablir le facteur exponentiel par rapport au temps,
exp(−iWt/ħ), pour expliquer que ces fonctions représentent les ondes planes (ψ1, ψ3) ou
stationnaires (ψ2) !
Le cas W ≥ U :
Sans la partie temporelle, l’on ne peut dire qu’il y a une interférence entre les deux ondes
planes (incidente et réfléchie) pour le domaine 1 !

II-B. Oscillation à travers d’une barrière de potentiel
Etudions le comportement d’une particule de
masse m dans l’énergie potentielle sous
forme d’une distribution U(x) :
U(x) → ∞ pour x < –b et x > b ;
U(x) = U (constante) pour –a < x < a ; a > 0,
b > 0 et a < b.
La densité de probabilité de présence,
[]
{
}
22
*1
(,) (,) 2 cos( )/
2as as as
xt xt W W t ψψ ψψ ΨΨ= ++ − 
où a
ψ
est une fonction propre antisymétrique (parité −1) et
s
ψ
est une fonction symétrique
(parité +1).
Quand (cos = 1) ⇒ 2
()/2
as
ψψ + : la probabilité de trouver la particule est nulle dans la
cuvette de gauche.
Quand (cos = −1) ⇒ 2
()/2
as
ψψ − : la probabilité de trouver la particule est nulle dans la
cuvette de droite.
Donc, la particule oscille entre la cuvette de droite et celle de gauche avec la fréquence
()/
as
WW h
ν
=− .
Dans ce cas aussi, sans la partie temporelle, l’on ne peut pas expliquer l’oscillation !
N.B. − Applications : MASER, LASER, Jonction de Josephson, Réactions SN2, …