Lycée Thiers - MP Devoir maison 4 2016

Lyc´ ee Thiers - MP Devoir maison 4 2016-17
Une particule se d´ eplace de mani` ere al´ eatoire sur Zde la mani` ere suivante : Si a
un instant donn´ e la particule est en x, alors ` a l’instant suivant la particule est en
x+ 1 ou x−1avec probabilit´ e1
2. Les d´
eplacements ` a diff´ erents instants sont de
plus suppos´ es mutuellement ind´ ependants.
A l’instant t= 0, la particule est en 0.
On introduit alors pour tout entier naturel net pour tout entier x, l’´ ev` enement :
En,x :La particule est en x` a l’instant n
On note alors pn,x =P(En,x).
Pour tout entier kstrictement positif, on pose qk=1
22k2k k.
1. Soit net kdeux entiers naturels avec n > 0et k6n.
On note Dn,k :Au cours des npremiers d´ eplacements, la particule se
d´ eplace kfois vers la droite 
Que vaut P(Dn,k)?
2. Exprimer la position xde la particule ` a l’instant nen fonction du nombres
de d´ eplacements dvers la droite effectu´ es lors des npremiers d´ eplacements.
3. Donner l’expression de pn,x pour tout entier relatif x.
V´ erifier notamment que qk=p2k,0.
4. Donner un ´ equivalent de qklorsque ktend vers +∞. (On pourra utiliser la
formule de Stirling)
Soit xun entier strictement positif et nun entier tel que n>3. On introduit les
´
ev` enements suivants :
Fn,x =En,x ∩E1,1∩ n−1
[
p=2
Ep,0!Gn,x =En,x ∩E1,−1
On note aussi Akl’´ ev` enement La particule a une position strictement positive ` a
l’instant ket :
Hn,x =En,x ∩ n−1
\
p=1
Ap!
5. Trouver n0et x0tels que P(Gn,x) = pn0,x0
2.
6. a. On note pour tout entier n,X={−1,1}net pour tout l= (l1, . . . , ln)de
X, et pour tout entier kinf´ erieur ` an,Sk(l) =
k
X
i=1
li. On introduit :
Y1={l∈X / Sn(l) = xet S1(l) = 1 et ∃p∈[[2..n −1]]/Sp(l)=0}
Y2={l∈X/Sn(l) = xet S1(l) = −1}
Montrer, en s’aidant de la figure ci dessous que Y1et Y2ont mˆ eme cardi-
nal.
b. Que peut-on en d´ eduire pour P(Fn,x)et P(Gn,x)?
7. a. Calculer P(En,x ∩E1,1)en fonction de pn−1,x−1.
b. Etablir que Fn,x ∪Hn,x =En,x ∩E1,1.
c. En d´ eduire P(Hn,x).
8. On note Rn:La particule n’est jamais revenue en 0 apr` es nd´ eplacements .
On suppose que nest pair. Trouver une expression simple de P(Rn)en fonc-
tion de qn.
En d´ eduire la probabilit´ e que la particule ne revienne jamais en 0.
9. On note R0
n:La particule revient pour la premi`
ere fois en 0 apr` es n
d´ eplacements .
D´ eterminer P(R0
n).
1Devoir maison 4