Lycée Thiers - MP Devoir maison 4 2016

Lycée Thiers - MP
2016-17
Devoir maison 4
6. a. On note pour tout entier n, X = {−1, 1}n et pour tout l = (l1 , . . . , ln ) de
k
X
X, et pour tout entier k inférieur à n, Sk (l) =
li .
On introduit :
Une particule se déplace de manière aléatoire sur Z de la manière suivante : Si a
un instant donné la particule est en x, alors à l’instant suivant la particule est en
1
x + 1 ou x − 1 avec probabilité . Les déplacements à différents instants sont de
2
plus supposés mutuellement indépendants.
i=1
Y1 = {l ∈ X / Sn (l) = x et S1 (l) = 1 et ∃p ∈ [[2..n − 1]]/Sp (l) = 0}
A l’instant t = 0, la particule est en 0.
Y2 = {l ∈ X/Sn (l) = x et S1 (l) = −1}
On introduit alors pour tout entier naturel n et pour tout entier x, l’évènement :
Montrer, en s’aidant de la figure ci dessous que Y1 et Y2 ont même cardinal.
En,x : La particule est en x à l’instant n 6
On note alors pn,x = P(En,x ).
Pour tout entier k strictement positif, on pose qk =
1 2k
.
22k k
4
2
1. Soit n et k deux entiers naturels avec n > 0 et k 6 n.
On note Dn,k : Au cours des n premiers déplacements, la particule se
déplace k fois vers la droite Que vaut P(Dn,k ) ?
2. Exprimer la position x de la particule à l’instant n en fonction du nombres
de déplacements d vers la droite effectués lors des n premiers déplacements.
3. Donner l’expression de pn,x pour tout entier relatif x.
Vérifier notamment que qk = p2k,0 .
4. Donner un équivalent de qk lorsque k tend vers +∞. (On pourra utiliser la
formule de Stirling)
0
2
4
6
Fn,x = En,x ∩ E1,1 ∩
20
25
30
c. En déduire P(Hn,x ).
8. On note Rn : La particule n’est jamais revenue en 0 après n déplacements .
On suppose que n est pair. Trouver une expression simple de P(Rn ) en fonction de qn .
En déduire la probabilité que la particule ne revienne jamais en 0.
Gn,x = En,x ∩ E1,−1
La particule a une position strictement positive à
!
n−1
\
Hn,x = En,x ∩
Ap
9. On note Rn0 : La particule revient pour la première fois en 0 après n
déplacements .
Déterminer P(Rn0 ).
p=1
5. Trouver n0 et x0 tels que P(Gn,x ) =
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b. Etablir que Fn,x ∪ Hn,x = En,x ∩ E1,1 .
p=2
On note aussi Ak l’évènement
l’instant k et :
10
7. a. Calculer P(En,x ∩ E1,1 ) en fonction de pn−1,x−1 .
!
Ep,0
5
b. Que peut-on en déduire pour P(Fn,x ) et P(Gn,x ) ?
Soit x un entier strictement positif et n un entier tel que n > 3. On introduit les
évènements suivants :
n−1
[
0
pn0 ,x0
.
2
1
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