TS-P02 Exercices

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Exercices P2 : Mécanique classique
1 Dérivées
1. f (x) = 2x
2
– 3, calculer
x
f
d
d puis
2
2
d
d
x
f
2. f (t) = -5·t
2
+ 3·t - 8, calculer
2
2
d
d
t
f
3. x(t) = 8·t
3
– 4·t + 5, calculer t
x
d
dpuis
2
2
d
d
t
x
2 Primitives
1. Quelle est l’expression générale de la primitive d’une fonction
constante f(t) = a ?
2. Quelle est l’expression générale de la primitive d’une fonction affine
g(t) = a·t + b ?
3. Soit v(t) la primitive d’une fonction a constante. Soit x(t) la primitive
de la fonction v(t). Donner l’expression de x(t) sachant que v(0) = 0 et
x(0) = 5.
3 Vecteurs
Soit le vecteur w
r
( t ) de coordonnées ( w
x
= 2 t –1 ; w
y
= 1)
1.a. Tracer les vecteurs w
r
(0) ; w
r
(1) ; w
r
(2) dans un repère en prenant
comme point d’origine de ces vecteurs l’origine O du repère.
1.b. Donner les coordonnées des vecteurs w
r
(1) – w
r
(0) et w
r
(2) –
w
r
(1).
1.c. Calculer les coordonnées du vecteur
t
w
d
d
r
. Que constate-t-on ?
1.d. Tracer le vecteur t
w
d
d
r
.
Soit le vecteur v
r
(t) de coordonnées :
=+⋅−= −⋅+⋅−= 4
25
382
3
z
y
x
v
tv
ttv
v
r
2.a. Calculer la valeur des coordonnées ainsi que la norme du vecteur
w
r
défini par :
2
2
d
d
2
1
t
v
w
r
r⋅= , pour t = 4,5 s.
2.b. Donner l’expression des coordonnées du vecteur w
r
– 4· v
r
2.c. Donner l’expression de vw
r
r
⋅
3. Soit le vecteur a
r
de coordonnées (0 ; 0 ; -9,8)
Trouver les coordonnés du vecteur v
r
(t) primitive du vecteur a
r
sachant
que v
r
(0) = 0
r
, et les coordonnées du vecteur OM ( t ), primitive du
vecteur v
r
tel que OM (0) = (0 ; 0 ; 10). Pour quelle valeur de t a-t-
on OM = 0
r
?
4 Mouvement rectiligne uniforme
Une voiture se déplace à vitesse constante et en ligne droite, à la vitesse
de 30 m·s
-1
. Son passage en un point O constitue l’origine des dates
(autrement dit, on considère que t = 0 lorsque la voiture passe par le
point O). On souhaite étudier son mouvement dans le référentiel
terrestre.
1. Choisissez un repère d’étude permettant le traitement mathématique le
plus simple de son mouvement.
2.a. Donner les coordonnées des vecteurs accélération, vitesse et
position de la voiture (que l’on assimilera à un point M).
2.b Même question si on inverse l’orientation de tous les axes du repère.
5 Mouvement circulaire uniforme
Un satellite d’observation de la Terre se trouve à 785 km d’altitude et
effectue le tour complet de la planète en 100 minutes. Son mouvement
est circulaire uniforme.
Donner les coordonnées de son vecteur accélération et de son vecteur
vitesse dans le repère de Frenet.
6 La « passe en avant » au rugby
Au rugby, il est interd it de faire une « passe en avant », c’est-à-dire de
lancer ou passer le ballon vers la ligne de but de l’équipe adverse.
Soit deux référentiels : R, le référentiel terrestre et R’, le référentiel
associé au torse du joueur de rugby porteur du ballon, assimilé à un
point matériel. Le repère cartésien (O; i
r
;j
r
;k
r
) est tel que O est le
centre du terrain, i
r
est un vecteur unitaire parallèle aux lignes de touche
et orienté vers le camps adverse du joueur, j
r
un vecteur unitaire
parallèle à la ligne de but et k
r
un vecteur unitaire vertical vers le haut.
1.a. Représenter le terrain et le repère (O; i
r
;j
r
;k
r
).
1b. Dans quel référentiel ce repère est-il fixe ?
2.a. Dans quel référentiel la « passe en avant » est-elle définie dans la
règle ?
2.b. Traduire cette règle par une condition sur une coordonnée du
vecteur vitesse du ballon dans le référentiel précédent.
On considère que le joueur porteur du ballon, assimilé à un point
matériel, est animé dans R d’un mouvement rectiligne uniforme vers la
ligne de but adverse, avec une vitesse v
r
. Dans R’, le ballon est jeté vers
l’arrière du joueur, sur le côté. (illustration). Ainsi, le vecteur vitesse du
ballon dans R’ est jvivv
b
r
r
r
21
' +−= où v
1
et v
2
sont positifs.
Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse :
3.a.
r
v
r
du rugbyman dans R ;
3.b.
b
v
r
du ballon dans R
3.c. Un joueur peut-il lancer le ballon en arrière de son corps et faire tout
de même un « passe en avant » ?
7 Attraction gravitationnelle
Données :
• Constante de gravitation universelle : G = 6,67·10
-11
SI
• Masse de la Terre : M
T
= 6,0·10
24
kg
• Rayon de la Terre : R
T
= 6380 km
1. Retrouvez la valeur de g = 9,81 N·kg
-1
utilisée depuis la troisième
dans la formule P = m·g.
2. À quelle altitude faudrait-il se trouver pour que le poids d’un objet
soit différent de plus de 1 % par rapport à son poids à la surface de la
Terre ?
8 Décollage du Rafale
Le Rafale est un avion de chasse français. Sa masse, armé et avec le
plein de carburant, est de 23,7 t. Il dispose de deux turbo-réacteurs d’une
poussée unitaire de 50 kN. Sa vitesse de décollage est de 213 km·h
-1
.
Le porte-avion Charles de Gaulle comporte une piste de 195 m.
Problème : Le Rafale est-il capable de décoller du Charles de Gaulle
sans catapulte ?

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Question bonus : Quelle serait la valeur du vent de face nécessaire pour
que l’avion décolle sans catapulte ?
Remarque : une catapulte sert à communiquer à l’avion un complément
d’accélération en plus de celle fournie par ses turbo-réacteurs.
9 Balle lancée vers le haut
Une balle est lancée vers le haut, dans une direction parfaitement
verticale, à partir d’une hauteur de 2,0 m et avec une vitesse initiale de
3,0 m·s
-1
. Les forces de frottement pourront être négligées. On prendra g
= 10 m·s
-2
.
Au bout de combien de temps retombe-t-elle au sol à partir du moment
où la balle est lachée ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte au cours de sa trajectoire ?
Quelle vitesse a la balle au moment de son impact avec le sol ?
Mêmes questions sur la lune (g
lune
= 1,6 m·s
-2
).
10 Principe des actions réciproques
Expliquez en quoi la troisième loi de Newton rend les voyages dans le
vide bien plus difficiles que dans une atmosphère.
11  Ravitaillement de la station ISS
Annales « Amérique du Nord 2013 » - Ex.2, partie 2
12  Le rugby, sport de contact
Annales « Liban 2013 » - Ex.2, partie 1
13  Le rugby, sport d’évitement
Annales « Liban 2013 » - Ex.2, partie 2
14 Service au tennis
Un joueur de tennis fait un service en communicant une vitesse initiale à
la balle de v
0
parallèlement au sol. La balle est frappée à 2,30 m du sol.
Elle doit passer au dessus du filet, d’une hauteur de 91 cm, situé à x
F
12,0 m du joueur et doit toucher le sol avant la ligne de service, située à
x
L
= 18,4 m. On négligera les frottements.
Problème : Donner un encadrement de la valeur de la vitesse initiale v
0
,
en km/h, qu’il doit communiquer à la balle pour réussir son service.
15 Rapport e/m de l’électron
D’après annales « Antilles 2013 » - Ex.3
Le physicien anglais Joseph John Thomson utilisa un tube à vide, dans
lequel une cathode émet un faisceau très étroit d’électrons. Ce faisceau
passe ensuite entre deux plaques métalliques de charges opposées. Les
électrons, soumis à ce champ électrostatique, sont alors déviés de leur
trajectoire et viennent frapper un écran constitué d’une couche de
peinture phosphorescente.
Document 1 : Création d’un champ électrostatique
Deux plaques métalliques horizontales portant des charges opposées
possèdent entre elles un champ électrostatique uniforme E
r
caractérisé
par :
• sa direction : perpendiculaire aux plaques
• son sens : de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée
négativement.
Document 2 : Expérience de Thomson pour déterminer le
rapport e/m pour l’électron
Le montage ci-dessous reprend le principe de l’expérience de Thomson.
Il comporte un tube à vide dans lequel un faisceau d’électrons est dévié
entre deux plaques de charges opposées. On mesure la déviation
verticale du faisceau d’électrons lors de la traversée des plaques sur une
longueur L, afin de déterminer la valeur du rapport e/m.
Données de l’expérience :
Les électrons sortent du canon avec une vitesse v
0
= 2,27·10
7
m·s
-l
Le faisceau d’électrons passe entre les deux plaques chargées et est
dévié d’une hauteur h quand il sort des plaques.
L’intensité du champ électrostatique entre les deux plaques est : E =
15,0 kV·m
–1
.
La longueur des plaques est : L = 8,50 cm.
On fait l’hypothèse que le poids des électrons est négligeable par rapport
à la force électrostatique.
1. Détermination du signe de la charge de l’électron
1.1. Représenter, sur la figure du document 2 le vecteur champ
électrostatique E
r
. On prendra comme échelle 1,0 cm pour 10 kV·m
-1
1.2. J.J. Thomson a observé une déviation du faisceau d’électrons vers la
plaque métallique chargée positivement. Expliquer comment J.J.
Thomson en a déduit que les électrons sont chargés négativement.
1.3. Donner la relation entre la force électrostatique F
r
subie par un
électron, la charge élémentaire e et le champ électrostatique E
r
. Montrer
que le sens de déviation du faisceau d’électrons est cohérent avec le sens
de F
r
.
2. Détermination du rapport e/m pour l’électron
2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton à l’électron, montrer que
les relations donnant les coordonnées de son vecteur accélération sont :
a
x
= 0 et m
eE
a
y
=
2.2. Montrer que la courbe décrite par les électrons entre les plaques a
pour équation :
2
2
0
2x mv
eE
y=
À la sortie des plaques, en x = L, la déviation verticale du faisceau
d’électrons par rapport à l’axe (Ox) a une valeur h = 1,85 cm.
2.3.1. En déduire l’expression du rapport e/m en fonction de E, L, h et v
0
.
2.3.2. Donner la valeur du rapport e/m.
16  Mouvement du satellite Planck
Annales « zéro n°1 » - Ex.1, partie 2
17  Mouvement de la station ISS
Annales « Amérique du Nord 2013 » - Ex.2 partie 1
18  Étude du mouvement du satellite Ibuki
Annales « Nouvelle-Calédonie 2013 » - Ex.2, partie 3
19  Étude de l’orbite de Hubble
Annales « Antilles (r) 2013 » - Ex.3, partie 1
20  Satellite géostationnaire
Annales « Métropole (r) 2013 » - Ex.1, partie 1
21 Énergie cinétique
À quelle vitesse devrait se déplacer un être humain pour avoir une
énergie cinétique comparable à celle d’une balle de fusil (vitesse 1
km·s
-1
, masse 5 g) ?
Canon à
électron
y
j
r
i
r
O
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
x
0
v
r
Plaque positive
Plaque négative
L
x
F
x
L
Position initiale
de la balle
O x
y

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22 Énergie potentielle de pesanteur
Montrer que la variation d’énergie potentielle de pesanteur ne dépend
pas de l’origine des altitudes choisie.
23 Énergie potentielle électrique
1.a. Quelle est la variation d’énergie potentielle d’un électron passant de
la borne – à la borne + d’un générateur ayant une différence de potentiel
de 6 V entre ses bornes ?
1.b. Que devient cette énergie perdue par l’électron ?
2. Quelle est la variation d’énergie potentielle d’un proton se déplaçant
parallèlement à un champ électrique d’intensité 1000 V·m
-1
, sur une
distance de 50 cm, vers les potentiels négatifs ?
24 Travail d’une force constante
Une autre manière de résoudre l’exercice n°8.
Le Rafale a une masse de 23,7 t. Il dispose de deux turbos réacteurs
d’une poussée unitaire de 50 kN. Sa vitesse de décollage est de 213
km·h
-1
. Le porte-avion Charles de Gaulle comporte une piste
horizontale de 195 m. On négligera les frottements tout au long de cet
exercice.
1.a. Calculer le travail de la force de poussée des réacteurs sur la
longueur de la piste. Comment peut-on qualifier ce travail ?
1.b. Y a-t-il d’autres forces qui travaillent lors de ce déplacement ?
2.a. En quelle forme d’énergie se transforme le travail de cette force ?
2.b. L’énergie mécanique de l’avion est-elle constante lors de ce
déplacement ?
3. Montrer, sans utiliser la RFD, que l’avion ne peut décoller sur une
distance aussi courte.
25 Travail du poids et ∆ E
PP
Démontrer que W( P
r
) = - ∆ E
PP
26 Frottements s’exerçant sur une voiture
Une voiture moyenne consomme 8 L d’essence au 100 km, sur un trajet
horizontal. En considérant un rendement moteur de 20 % et une densité
énergétique de l’essence de 35 MJ·L
-1
, estimer la valeur des forces de
frottements moyennes s’exerçant sur la voiture.
Vous préciserez les approximations et/ou hypothèses que vous faites
pour résoudre ce problème.
27 Saut en parachute
Un parachutiste de masse m = 80 kg suit une trajectoire rectiligne du
point A au point B comme montré sur la figure ci-dessous.
Durant cette chute, sa vitesse est constante et vaut v = 1,5 m·s
-1
Données : AB = 100 m et θ = 10°.
1. Exprimer le travail du poids en fonction de θ , m, g et AB.
2. Démontrer que ce travail peut s’écrire )()(
BAAB
zzgmPW −⋅⋅=
r
.
3. Calculer la valeur du travail du poids sur ce parcours.
4. Calculer la variation d’énergie mécanique du parachutiste entre le
point A et le point B juste avant qu’il ne touche le sol (altitude
négligeable mais v = 1,5 m·s
-1
).
5. Pourquoi cette énergie mécanique n’est-elle pas constante ? En
déduire la valeur du travail des forces de frottements.
28 Hauteur atteinte par une balle lancée
Une balle est lancée vers le haut, dans une direction parfaitement
verticale, à partir d’une hauteur de 2,0 m et avec une vitesse initiale de
3,0 m·s
-1
. Les forces de frottement seront négligées.
Sans utiliser la RFD, déterminer quelle est la hauteur maximale atteinte
par la balle, et quelle et sa vitesse au moment où elle touche le sol.
29  Mise en orbite du téléscope James
Webb
Annales « Antilles (r) 2013 » - Ex.3, partie 2
30  Ascenseur spatial
Annales « Métropole (r) 2013 » - Ex.1, partie 2
A
B
θ
Sol

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Correction
Ex.1
1. x
f
d
d= 4x et
2
2
d
d
x
f= 4
2.
2
2
d
d
t
f= -10
3. t
x
d
d= 24·t
2
– 4 et
2
2
d
d
t
x= 48·t
Ex.2
1. Expression générale de la primitive de f(t) = a : a·t + k avec k ∈ ℜ
2. Expression générale de la primitive de a·t + k : ½·a·t
2
+ k·t + k’ avec
k’ ∈ ℜ
3. v(t) = a·t + k et x(t) = ½·a·t
2
+ k·t + k’ (jusque là, c’est la même chose
que pour les deux questions précédentes).
Si on nous indique que v(0) = 0, alors on a l’équation a·0 + k = 0 et donc
k = 0.
De plus, si x(0) = 5, alors ½·a·0
2
+ k’ = 5 c’est-à-dire k’ = 5
Conclusion : v(t) = a·t et x(t) = ½·a·t
2
+ 5
Ex.3
1.a. Tracé des vecteurs w
r
(0) ; w
r
(1) ; w
r
(2)
1.b. =− 0
2
)0()1( ww rr et =− 0
2
)1()2( ww rr
1.c.
=
=−
=
0)1(
d
d
2)12(
d
d
d
d
t
t
t
t
w
r
. On constante que les coordonnées de la
dérivée du vecteur w
r
(t) sont égales à la différence entre w
r
(1) et w
r
(0)
et entre w
r
(2) et w
r
(1).
1.d. Voir graphique.
2.a. Calculons tout d’abord les coordonnées de
2
2
d
d
t
v
r
:
⋅−
=
0
0
12
d
d
2
2
t
t
v
r
Donc les coordonnées du vecteur w
r
sont : 
⋅−
=
0
0
6t
w
r
et pour t = 4,5 s, on a 
−
=
0
0
27
w
r
2.b.
−−⋅ +⋅−⋅
=⋅−
16
820
12388
4
3
t
tt
vw rr
2.c. vw
r
r
⋅= -6·t·(-2·t
3
+ 8·t – 3) + 0×(-5·t+2) + 0×4 = 12·t
4
– 48·t
2
+ 18·t
3. 
+⋅−
=
3
2
1
8,9
)(
kt
k
k
tv
r et si v
r
(0) = 0
r
alors k
1
= k
2
= k
3
= 0
+⋅⋅
=
6
2
5
4
8,9
2
1
OM
kt
k
k
et comme OM (0) = (0 ; 0 ; 10), alors k
4
= k
5
=
0 et k
6
= 10.
Ex.4
1. Le plus simple est de choisir un repère dont l’un des axes horizontaux
est parallèle à la trajectoire de la voiture, dans le sens de son
déplacement.
2.a. Cinématique de la voiture. Toutes les valeurs sont en unités S.I
=
=⋅=
0)(
0)(
30)(
)(OM
tz
ty
ttx
t
=
=
=
=
0)(
0)(
30)(
d
)(OMd
tv
tv
tv
t
t
v
z
y
x
r
=
=
=
=
0)(
0)(
0)(
d
d
ta
ta
ta
t
v
a
z
y
x
r
r
2.b. Si on inverse les axes du repère, la seule chose qui va changer est le
signe de la coordonnée x(t) :
=
=⋅−=
0)(
0)(
30)(
)(OM
tz
ty
ttx
t
=
=−= =
0)(
0)(
30)(
tv
tv
tv
v
z
y
x
r
=
=
=
=
0)(
0)(
0)(
ta
ta
ta
a
z
y
x
r
Ex.5
• Accélération : d’après le cours, le vecteur accélération peut s’écrire
n
2
t
d
du
R
v
u
t
v
a
rrr
+= dans un repère de Frenet. Comme le mouvement est
uniforme, la valeur v de la vitesse ne change pas, donc 0
d
d=
t
v. On a
donc
n
2
u
R
v
a
rr
=. Le vecteur accélération ne possède qu’une composant
normale à la trajectoire.
• Vitesse : Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Donc il
ne possède qu’une composante selon
t
u
r
:
t
uvv
r
r
⋅=
• Valeur de la vitesse : Le satellite parcourt le diamètre d’un cercle de
rayon R
T
+ 785 km pendant une durée de 100 minutes.
(
)
=
×+⋅
=60100
7856380 π 2
v7,5 km·s
-1
• Valeur de a
n
: a
n
= v
2
/ R = (7,5·10
3
)
2
/ 7165·10
3
= 7,85 m·s
-2
Ex.6
1.a. Terrain et repère
1.b. Repère fixe dans le référentiel terrestre
2.a. « Passe en avant » définie dans R.
2.b. La composante v
x
de la vitesse du ballon ne peut pas être positive
dans le référentiel R.
3.a. Coordonnées de
r
v
r
: v
rx
= v
r
>0 ; v
ry
= 0 ; v
rz
= 0
3.b. Coordonnées de
b
v
r
: v
bx
= v
rx
– v
1
; v
by
= v
2
; v
bz
= 0 ( ?)
3.c. Oui, c’est possible si le joueur est dos au à la ligne de but adverse ou
si le joueur est tourné vers la ligne de but adverse et v
rx
– v
1
> 0
O i
r
j
r
k
r
Ligne de but adverse
C
t
u
r
n
u
r
R
1
1 0 x
y
w
r
(0) w
r
(1) w
r
(2)
t
w
d
d
r

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Ex.7
1. La formule P = m·g n’est qu’une conséquence de la formule générale
2
BA
d
mmG
F
⋅⋅
= . Lorsqu’un objet de masse m est à la surface de la
Terre, la force que la Terre exerce sur lui (c’est-à-dire son poids), vaut :
2
T
T
R
mMG
P
⋅⋅
= . Par identification on voit que l’intensité du champ de
pesanteur g à la surface de la Terre vaut : =
⋅
=
2
T
T
R
mG
g9,80 N·kg
-1
.
2. Traduisons la question posée par une équation mathématique, dont
l’inconnue est l’altitude z. On veut savoir pour quelle valeur de z on a :
P(z) = 0,99×P(0)
C’est-à-dire, en explicitant la valeur du poids en fonction de l’altitude :
( ) ( )
2
T
T
2
T
T
99,0
R
mmG
zR
mmG ⋅⋅
⋅=
+⋅⋅
Après simplification, on obtient l’équation :
( ) ( )
2
T
2
T
1
99,0
1
RzR
⋅=
+
soit : 99,0
T
T
=
+ zR
R
Soit : z = 32 km.
Conclusion : Tant que l’on reste à une altitude inférieure à 32 km,
l’erreur commise en utilisant la formule P = 9,80×m est inférieur à 1 %.
Ex.8
Répondre à la problématique de l’exercice revient à répondre à la
question : le Rafale atteint-il la vitesse de 213 km·h
-1
après un parcours
de 195 m en accélérant au maximum ?
Préalables
Système étudié : l’avion, assimilé à un point M.
Choix du référentiel : le référentiel lié au porte-avion
Choix du repère : l’axe Ox est horizontal, parallèle à la piste et dans le
sens du mouvement de l’avion. L’axe Oz est vertical vers le haut et l’axe
Oy est horizontal et perdpendiculaire à l’axe Ox. Le point O coïncide
avec la position initiale de l’avion.
Bilan des forces : l’avion est soumis à son poids P
r
, à la réaction de la
piste R
r
et à la poussée de ses réacteurs F
r
. Nous devons négliger les
frottements.
Les coordonnées des vecteurs forces sont :
−=
=
=
PP
P
P
P
z
y
x
0
0
r
=
=
=
RR
R
R
R
z
y
x
0
0
r
=
=
=
0
0
z
y
x
F
F
FF
F
r
Obtenir les équations du mouvement
Application de la RFD : amFRP
r
r
r
r
=++
Cette relation vectorielle nous donne trois relations scalaires, une sur
chaque axe du repère.
Ox : P
x
+ R
x
+ F
x
= m·a
x
Oy : P
y
+ R
y
+ F
y
= m·a
y
Oz : P
z
+ R
z
+ F
z
= m·a
z
On remplace les différentes coordonnées par leur valeur.
Ox : 0 + 0 + F = m·a
x
Oy : 0 + 0 + 0 = m·a
y
Oz : –P + R + 0 = m·a
z
L’avion n’a aucun mouvement sur l’axe Oz (du moins tant qu’il ne
décolle pas), donc a
z
= 0. De plus, a
y
= 0. On obtient donc les
coordonnées du vecteur accélération :
=
=
=
0
0
z
y
x
a
a
m
F
a
a
r
Coordonnées du vecteur vitesse : On intégre le vecteur accélération
par rapport au temps. il apparaît des constantes d’intégration .
Initialement, la vitesse de l’avion est nulle. Donc 0)0(
r
r
=v. Cette
condition initial nous permet d’en déduire que les constantes
d’intégration sont toutes nulles.
=
=
+⋅=
zz
yy
xx
vv
vv
vt
m
F
v
tv
0
0
0
)(
r→
=
=
⋅=
0
0)(
z
y
x
v
v
t
m
F
v
tv
r
Coordonnés du vecteur position : on intègre le vecteur vitesse par
rapport au temps. Il apparaît encore des constantes d’intégration.
Initialement, l’avion est à l’origine du repère et donc 0)0(OM
r
=, donc
une fois encore toutes les constantes d’intégration sont nulles.
=
=
+⋅=
0
0
0
2
)(
)(
2
1
)(
)(OM
ztz
yty
xt
m
F
tx
t→
=
=
⋅=
0)(
0)(
2
1
)(
)(OM
2
tz
ty
t
m
F
tx
t
Exploiter les équations du mouvement
Réponse à la problématique : On a maintenant toutes les équations du
mouvement. Comme toutes ces équations dépendent du temps, il faut
répondre à la problématique en deux temps. ☺
• Quand l’avion a-t-il parcouru 195 m ? On résout
2
3
5
107,23
10
2
1
195 t⋅
⋅
=
Soit t = 9,61 s.
• Quelle vitesse a-t-il atteint à t = 9,61 s ? 6,9
107,23
10
3
5
⋅
⋅
=v
v = 40,6 m·s
-1
, soit 146 km·h
-1
Donc, le Rafale ne peut pas décoller sur une distance de 195 m. L’usage
de la catapulte est nécessaire.
Remarque : on aurait également pu demander aux équations « Quelle est
la distance parcourue par l’avion lorsque celui-ci atteint une vitesse de
213 km·h
-1
(soit 59,2 m·s
-1
) ? ».
On aurait trouver que l’avion atteint cette vitesse à un temps t = 14,0 s et
une distance parcourue x = 415 m, ce qui est supérieur à la taille de la
piste.
Question bonus : La vitesse du vent de face doit être telle qu’elle
compense la différence de vitesse entre celle de l’avion en bout de piste
(146 km·h
-1
) et celle nécessaire à son décollage (213 km·h
-1
), soit 67
km·h
-1
.
Ex.9
Préalable
On étudie le mouvement de la balle dans le référentiel terrestre. On
choisit un repère dont l’axe vertical est orienté vers le haut, l’origine du
repère étant au sol (mais on pourrait choisir un autre repère). La balle est
soumise uniquement à son poids.
⋅−=
=
=
gmP
P
P
P
z
y
x
0
0
r
Équations du mouvement
Application de la RFD : amP
r
r
⋅= . Puisque gmP
r
r
⋅= , alors ga
r
r
=
−=
=
=
ga
a
a
a
z
y
x
0
0
r
Coordonnées du vecteur vitesse : On intégre le vecteur accélération
par rapport au temps. il apparaît des constantes d’intégration .
O
z
x
y
R
r
P
r
F
r