UFR MIG

176 Conventions
Conventions
Dans ce livre, on a utilisé les symboles suivants.
:= Affecte au symbole situé tout de suite avant lui la valeur située
tout de suite après.
fSymbolise une application.
dDéfinit une application en donnant une image à tout élément de
son ensemble source.
sSymbolise une application surjective.
iSymbolise une application injective.
Tous les autres symboles utilisés sont soit standards soit définis de façon
explicite.
Dans les diagrammes commutatifs d’applications :
! une flèche épaisse est donnée à l’avance,
! une flèche fine est laissée au choix du lecteur,
! une flèche en pointillés est déterminée par les flèches en trait plein.

Topologie algébrique 177
Rappels sur les catégories
On se borne à rappeler des définitions et des résultats élémentaires. Le
lecteur curieux pourra consulter avec profit [3]
Généralités
Définition
Une catégorie C est la donnée :
• d’un ensemble abusivement noté C ;
• d’un sous-ensemble C0 de C que l’on appelle, suivant l’interpréta-
tion, l’ensemble des objets de la catégorie C ou l’ensemble des uni-
tés de cette même catégorie ; aon l’appelle aussi la base de C.
• de deux surjections s et b de C sur C0 appelées respectivement
source et but : a
• d’une application à valeurs dans C définie sur le sous-ensemble
C de C ×C lui-même défini par : C :=
{
(u, v) ∈∈
∈∈C ; b(u) = s (v)
}
qui associe à tout élément (u, v) de C le composé v u.
• Ces applications doivent vérifier les relations suivantes :
s o s = b o s = s ; b o b = s o b = b : a
s(vu) = s(u) ; b(vu) = b(v) ; (uv)w = u(vw)
u s(u) = u = b(u) u
Comme on va le voir dans les exemples, la notion de catégorie ne présen-
te un intérêt que si on se place dans une généralisation de la théorie des
ensembles. Dans cette théorie généralisée, un objet donné peut à la fois
posséder des éléments et appartenir à un autre objet. Le caractère récur-
sif de cette théorie la rend plus puissante mais aussi plus déroutante que
la théorie classique.

178 Rappels sur les catégories
Exemples
• Soit E un ensemble. Soit la structure suivante sur E × E ;
(E × E)0 = {(x, x) : x ∈ E} ; s : (x, y) d (y, y)
b : (x, y) d (x, x) ; (z, y) (y, x) = (z, x)
Il est facile de vérifier que cette structure définit bien une catégorie.
• Soit Ens l’ensemble de toutes les applications :
→Ens0 est l’ensemble des identités, que l’on peut identifier avec l’en-
semble de tous les ensembles. (aïe ! v’là la récursivité !) q
→Si f : A f B est un élément de Ens, la source et le but de f
sont respectivement 1A et 1B .
→Le composé de deux éléments composables de Ens est le composé
classique de deux applications.q
Cette structure définit bien une catégorie.
Orbite d’un objet
Soient C une catégorie et A et B deux de ses objets. a
On dit que A et B appartiennent à la même orbite lorsqu’il existe
une flèche de C , de source A, de but B et qui soit inversible. a
La relation « appartiennent à la même orbite » est une relation d’équiva-
lence sur l’ensemble des objets C0 de C.
a
Foncteurs
Soient deux catégories C et D
Un foncteur covariant φ de C
vers D est une application de
C vers D telle que :
→ φ
(
C0
)
⊂ D0
→ bD φ = φ bC ; sD φ = φ sC
→ ∀(u, v) ∈ C , φ(u) φ(v) = φ(uv)
Un foncteur contravariant φ de C
vers D est une application de C
vers D telle que :
→ φ
(
C0
)
⊂ D0
→ sD φ = φ bC ; bD φ = φ sC
→ ∀ (u, v) ∈ C , φ(v) φ(u) = φ(uv)

Topologie algébrique 179
Objets particuliers d’une catégorie
Objets initiaux et terminaux a
On dit qu’un objet X d’une catégorie C est initial si, pour tout objet
B de C, il existe une unique flèche u de C, u : X f B.
On dit qu’un objet X d’une catégorie C est terminal si, pour tout
objet A de C, il existe une unique flèche v de C, v : A f X
Exemples
! Dans la catégorie des ensembles, comme dans celle des espaces topolo-
giques, tout singleton (i.e.: ensemble réduit à un point) est un objet
terminal. En effet, pour tout objet A et tout singleton
{
x
}
,ail existe
une unique flèche, à savoir l’application constante, de A vers
{
x
}
.
Par contre un singleton n’est pas un objet initial dans la catégorie des
ensembles.
! Dans la catégorie des groupes, le groupe
{
0
}
est un objet initial et
terminal.
Proposition AA.1.1
Tous les objets initiaux (respectivement : terminaux) d’une caté-
gorie appartiennent à la même orbite.
Flèches particulières d’une catégorie
Monomorphismes, épimorphismes et isomorphismes.
Soit f ; A f B une flèche d’une catégorie C. a
On dit que f est un monomorphisme si elle est inversible à gauche,a
c'est à dire s‘il existe une flèche u : B f A telle que : u f = 1A.
On dit que f est un épimorphisme si elle est inversible à droite,ac'est
à dire s‘il existe une flèche v : B f A telle que : f v = 1B
On dit que f est un isomorphisme si elle est inversible.

180 Rappels sur les catégories
Groupoïdes
Définition
Un groupoïde est une catégorie dont toutes les flèches sont inversibles.
Exemples
Groupes Un groupe est un gtroupoïde à une seule unité.
Groupoïdes banaux Soit E un ensemble. On appelle groupoïde ba-
nal de base E la structure de catégorie définie
sur E ××
×× E dans le premier des exemples de caté-
gories.
Groupoïdes triviaux Un groupoïde trivial est le produit cartésien d’un
groupe et d’un groupoïde banal.
Graphes d’une relation
d‘équivalence.
Le groupoïde banal E ××
×× E induit sur la partie de
E ××
×× E qu’est le graphe d’une relation d‘équivalen-
ce définie sur E une structure de groupoïde dont
l’ensemble des unités est E tout entier.
Réciproquement, tout sous-groupoïde du grou-
poïde banal E ××
×× E dont l’ensemble des unités est
E tout entier est le graphe d’une relation d‘équi-
valence définie sur E.
Définition
Soit un groupoïde G. a La correspondance qui, à toute flèche g de G,
associe le couple (b(g), s(g)) d’unités de G définit un foncteur covariant
de G vers le groupoïde banal de base G0. On note usuellement ce
foncteur ∏G . a
Proposition AA.2
L’image du foncteur ∏G
a est le graphe de la relation
d‘équivalence définie sur G0 par les orbites de G .