Objectifs du chapitre : • • • Objectif 1 : Je connais mes formules de trigonométrie Objectif 2 : Je sais calculer un côté d’un triangle rectangle Objectif 3 : Je sais déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle. Trigonométrie - 1 Formule de trigonométrie Notion Essentielle : Si un triangle est rectangle, alors il existe trois rapports de longueurs pour un angle donné. côté Opposé à l' angle sinus(angle )= Hypoténuse cosinus( angle )= côté Adjacent à l' angle Hypoténuse côté Opposé à l' angle côté Adjacent à l' angle tangente(angle )= On peut utiliser l’outil mnémotechnique :«Soh Cah Toa » pour : « Sinus opposé hypoténuse » « Cosinus adjacent hypoténuse » « Tangente opposé adjacent » Exemples : ABC est un triangle rectangle en A. [CB] est son hypoténuse. ^ )= sin( B ^ )= sin( C ^ )= cos( B ^ )= cos( C ^ côté Opposé à B Hypoténuse côté Opposé à C^ Hypoténuse = = ^ côté Adjacent à B Hypoténuse côté Adjacent à C^ ^ )= tan( B tan( C^ )= Hypoténuse AC CB AB CB = = ^ côté Opposé à B ^ côté Adjacent à B ^ côté Opposé à C côté Adjacent à C^ = = AB CB AC CB = = 5,4 9 7,2 9 = = AC AB AB AC =0,6 =0,8 7,2 9 5,4 = = 9 =0,8 =0,6 5,4 7,2 7,2 =0,75 4 = ≈1,33 5,4 3 Trigonométrie - 2 Calculer la longueur d’un côté Notion Essentielle : En utilisant le bon rapport trigonométrique on peut calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en connaissant seulement une longueur et la mesure d’un angle aigu. Exemples : DEF est un triangle rectangle en D. [EF] est son hypoténuse. Pour calculer DE à l’aide de F^ : Je connais un angle opposé et la longueur de son côté adjacent. côté Opposé à F^ DE tan( F^ )= = côté Adjacent à F^ DF tan( 60 °)= DE 5 DE=5 ×tan( 60 °)≈8,66 Pour calculer EF à l’aide de F^ : Je connais F^ et la longueur de son côté adjacent. [EF} est l’hypoténuse. cos( F^ )= Je connais un angle adjacent et la longueur de son côté opposé. ^ côté Opposé à E DF ^ tan( E )= = côté Adjacent à F^ DE tan( 30 °)= DE= 5 DE 5 tan( 30°) Hypoténuse = DF EF 5 cos( 60 °)= EF = ^ : Pour calculer DE à l’aide de E côté Adjacent à F^ EF 5 cos( 60 °) = 5 0,5 =10 ^ : Pour calculer EF à l’aide de E ^ et la longueur de son Je connais E côté opposé. [EF} est l’hypoténuse. ^ )= sin( E ^ côté Opposé à E Hypoténuse sin( 30°)= ≈8,66 EF = 5 EF 5 sin( 30 °) = 5 0,5 =10 = DF EF Trigonométrie - 3 Calculer la mesure d’un angle Notion Essentielle : En utilisant le bon rapport trigonométrique on peut calculer la mesure d’un angle d’un triangle rectangle en connaissant seulement deux longueurs. Exemples : ABC est un triangle rectangle en A. [BC] est son hypoténuse. ^ : Pour calculer B ^ : Pour calculer C Je connais le côté opposé et la Je connais le côté adjacent et la longueur de l’hypoténuse. ^ AC côté Opposé à B ^ )= sin( B = Hypoténuse BC longueur de l’hypoténuse. ^ )= sin( B 7,5 12,5 = 3 5 ^ )= cos( C côté Adjacent à C^ ^ )= cos( C =0,6 ^ ^ )=arcsin( 0,6 )≈36,87 ° B=arcsin( B Hypoténuse 7,5 = 3 = AC BC =0,6 12,5 5 ^ ^ )=arcsin( 0,6 )≈53,13 ° C=arccos( C KLM est un triangle rectangle en K. [LM] est son hypoténuse. Pour calculer L^ : ^ : Pour calculer M Je connais le côté opposé et le côté Je connais le côté opposé et le côté adjacent. adjacent. tan( L^ )= tan( L^ )= ^ côté Opposé à L côté Adjacent à L^ = KM KL 7,5 3 = =0,75 10 4 ^ L=arctan( L^ )=arctan( 3 4 ^ )= tan( M ^ )= tan( M )≈36,87 ° ^ côté Opposé à M ^ côté Adjacent à M 10 7,5 = = KL KM 4 3 ^ ^ M=arctan( M)=arcsin( 4 3 )≈53,13 °