Fiches mémoire droites remarquables
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Droites remarquables du triangle Définitions • une médiatrice d’un triangle est le droite perpendiculaire à ce côté du triangle et passant par son milieu • la hauteur issue d’un sommet d’un triangle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet • la bissectrice d’un angle est la droite coupant cet angle en deux angles de même mesure • la médiane issue d’un sommet d’un triangle est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet Théorèmes : médiatrices • Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. • Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. • les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle Théorème : hauteurs Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle Théorème : bissectrices • Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle • Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. MA=MB •les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle ; ce cercle est l’unique cercle tangent aux trois côtés du triangle. Théorème : médianes les médianes d’un triangles sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Le centre de gravité d’un triangle se trouve aux deux tiers de chaque médianes à partir du sommet. AG = 2 AI 3 BG = 2 BJ 3 CG = 2 CK 3 Théorèmes : droites remarquables et triangles particulier • Si un triangle est isocèle, alors la hauteur issue du sommet principal est aussi la bissectrice et la médiane issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé à ce sommet (celle de la base) • Si un triangle est équilatéral , alors la hauteur issue d’un sommet est aussi la bissectrice et la médiane issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé à ce sommet. Théorème : triangle rectangle, cercle circonscrit et médianes • Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre du cercle, alors on obtient un triangle rectangle dont l’hypoténuse est ce diamètre . • Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse et la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse • Si dans un triangle la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié du côté opposé à ce sommet, alors ce triangle est rectangle en ce point.
