Fiches mémoire droites remarquables

Droites remarquables du triangle
Définitions
• une médiatrice d’un triangle est le droite perpendiculaire à ce côté du triangle et passant par son milieu
• la hauteur issue d’un sommet d’un triangle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet
• la bissectrice d’un angle est la droite coupant cet angle en deux angles de même mesure
• la médiane issue d’un sommet d’un triangle est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet
Théorèmes : médiatrices
• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la
médiatrice de ce segment.
• Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
des extrémités de ce segment.
• les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point
qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle
Théorème : hauteurs
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle
Théorème : bissectrices
• Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle
• Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
•les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle
inscrit dans ce triangle ; ce cercle est l’unique cercle tangent aux trois côtés du triangle.
Théorème : médianes
les médianes d’un triangles sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Le centre de gravité d’un triangle se trouve aux deux tiers de chaque médianes à partir du sommet.
AG = 2
3 AI BG = 2 3 BJ CG = 2 3 CK
Théorèmes : droites remarquables et triangles particulier
• Si un triangle est isocèle, alors la hauteur issue du sommet principal est aussi la bissectrice et la médiane
issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé à ce sommet (celle de la base)
• Si un triangle est équilatéral , alors la hauteur issue d’un sommet est aussi la bissectrice et la médiane issue de ce sommet ainsi que la
médiatrice du côté opposé à ce sommet.
Théorème : triangle rectangle, cercle circonscrit et médianes
• Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre du cercle, alors on obtient
un triangle rectangle dont l’hypoténuse est ce diamètre .
• Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse
et la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse
• Si dans un triangle la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié du côté opposé à ce sommet,
alors ce triangle est rectangle en ce point.
MA=MB