Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM TD 5 p 53 : Arithmétique et polygones 1) Pour n = 16, on a un exakaidécagone ou hexadécagone. Le polygone inscrit est un octogone pour p = 2 ou p = 14. Le polygone inscrit est un carré pour p = 4 ou p = 12. Remarque : par symétrie les cas N2 et N14 sont similaires. Joindre les sommets 14 à 14 dans un sens revient à les joindre 2 à 2 dans l’autre sens. 2) a) Partant du sommet A on revient au sommet A lorsque le nombre de côtés sautés est à la fois multiple de n et de p. La première fois a donc lieu pour le plus petit multiple commun de n et p c’est-à-dire PPCM(n ; p). PPCM(n;p) b) Le nombre de côtés du polygone Np est donc . p PPCM(n;p) Et le nombre de tours effectués est . n c) Np = n PPCM(n;p) = np Or PPCM(n;p)×PGCD(n;p) = np Donc PPCM(n;p) = np PGCD(n;p) = 1 n et p doivent être premiers entre eux. 1 Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM Exemple où Np = n avec n = 16 et p = 3 Le polygone inscrit est étoilé (non convexe).h Exercice 58 p 62 x et y désignent deux entiers naturels non nuls. Résoudre l'équation suivante : PPCM(x;y) - 9×PGCD(x;y) = 13 et x ≤ y. On pose m = PPCM(x;y) et d = PGCD(x;y). L'équation s'écrit alors m – 9d = 13 Soit (x';y') le couple d'entiers premiers entre eux tels que x=dx' et y=dy'. On a la relation md=xy. D'où : md = dx'dy' Soit : m = dx'y' L'équation s'écrit alors d(x'y' – 9) = 13 Donc d est un diviseur de 13. Donc d = 1 ou 13. 2 Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM 1er cas : d = 1 m = 9 + 13 = 22 et x'y' = 13 + 9 = 22 Les couples d'entiers naturels (x';y') premiers entre eux avec x' < y' correspondants sont : (1;22) et (2;11) Comme d = 1, les couples (x;y) correspondants sont donc (1;22) et (2;11) 2ème cas : d = 13 Alors 13(x'y' – 9) = 13 D'où x'y' = 10 Les couples d'entiers naturels (x';y') premiers entre eux avec x' < y' correspondants sont : (1;10) et (2;5). Les couples (x;y) correspondants sont (13;130) et (26;65). Conclusion : L'ensemble des solutions est S = {(1;22);(2;11);(13;130);(26;65)} Exercice 66 p 63 1) a) n(n² - 1) = n(n + 1)(n – 1) = (n – 1)n(n + 1) n(n² - 1) est le produit de trois entiers consécutifs. donc n(n² - 1) est divisible par 2 (deux entiers consécutifs suffisent) et par 3; donc par 6 (car 2 et 3 sont premiers entre eux). De même n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6 en tant que produit de 3 entiers consécutifs. On pouvait aussi démontrer le résultat en étudiant les restes possibles dans la division euclidienne de chacun des deux nombres par 6 à partir des 5 restes possibles de la division euclidienne de n par 6. b) 3 = n + 2 – (n – 1) 3 Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM Donc d'après le lemme d'Euclide, PGCD(n + 2; n – 1) = PGCD(n – 1;3). c) Soit d = PGCD(n + 2; n – 1) Alors d divise n – 1 et d divise 3. Donc d = 1 ou 3. Si 3 ne divise pas n – 1 alors d = 1 et donc n + 2 et n – 1 sont premiers entre eux. d) Si n – 1 est un multiple de 3, alors PGCD(n + 2;n – 1) = 3 Et avec la relation PGCD(n + 2;n – 1)× PPCM(n + 2;n – 1) = (n + 2)(n – 1), on déduit que PPCM(n + 2;n – 1) = (n + 2)(n – 1) 3 Si n – 1 n'est pas un multiple de 3 alors PGCD(n + 2;n – 1) = 1. D'où : PPCM(n + 2,n – 1) = (n + 2)(n – 1) 2) PPCM(6x;6y) = n(n + 1)×PPCM(n – 1;n + 2) Si n – 1 n'est pas divisible par 3 alors PPCM(n – 1;n + 2) = (n + 2)×(n – 1) Donc PPCM(6x;6y) = (n – 1)n(n + 1)(n + 2) = 6z Or PPCM(6x;6y) = 6×PPCM(x;y) Donc PPCM(x;y) = z. 3) Si n – 1 est divisible par 3 alors PPCM(n – 1;n + 2) = D'où PPCM(6x;6y) = (n – 1)n(n + 1)(n + 2) 6z = 3 3 Et donc PPCM(x;y) = z 3 (n + 2)×(n – 1) 3 4 Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM Exercice 85 p 66 a) Les restes possibles de la division euclidienne d'un entier par 6 sont 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. p = 6k ou 6k + 1 ou 6k + 2 ou 6k + 3 ou 6k + 4 ou 6k + 5 Si p est un nombre premier strictement supérieure à 3, alors p n'est divisible ni par 2 ni par 3, ni par 6. Ce qui élimine les restes 0, 2, 3 et 4. Si p = 6k + 1 alors p + 2 = 6k + 3 = 3(2k + 1) : donc le reste ne peut être égal à 1 puisque p + 2 est premier. Le seul reste possible est 5. b) Alors p + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1) Donc 6 divise p + 1. Remarque : les nombres p et p + 2 sont appelés nombres premiers jumeaux. 5