Spécialité TS 2010-2011 Exercices pour préparer l`évaluation sur

Spécialité TS 2010-2011
Exercices pour préparer l'évaluation sur les nombres premiers et le PPCM
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TD 5 p 53 : Arithmétique et polygones
1)
Pour n = 16, on a un exakaidécagone ou hexadécagone.
Le polygone inscrit est un octogone pour p = 2 ou p = 14.
Le polygone inscrit est un carré pour p = 4 ou p = 12.
Remarque : par symétrie les cas N
2
et N
14
sont similaires. Joindre les sommets 14 à 14 dans un
sens revient à les joindre 2 à 2 dans l’autre sens.
2) a) Partant du sommet A on revient au sommet A lorsque le nombre de côtés sautés
est à la fois multiple de n et de p .
La première fois a donc lieu pour le plus petit multiple commun de n et p c’est-à-dire
PPCM( n ; p ).
b) Le nombre de côtés du polygone N
p
est donc PPCM(n;p)
p.
Et le nombre de tours effectués est PPCM(n;p)
n.
c) N
p
= n  PPCM(n;p) = np
Or PPCM(n;p)×PGCD(n;p) = np
Donc PPCM(n;p) = np  PGCD(n;p) = 1
n et p doivent être premiers entre eux.

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Exemple où N
p
= n avec n = 16 et p = 3
Le polygone inscrit est étoilé (non convexe).h
Exercice 58 p 62
x et y désignent deux entiers naturels non nuls.
Résoudre l'équation suivante : PPCM(x;y) - 9×PGCD(x;y) = 13 et x ≤ y.
On pose m = PPCM(x;y) et d = PGCD(x;y).
L'équation s'écrit alors m – 9d = 13
Soit (x';y') le couple d'entiers premiers entre eux tels que x=dx' et y=dy'.
On a la relation md=xy.
D'où : md = dx'dy'
Soit : m = dx'y'
L'équation s'écrit alors d(x'y' – 9) = 13
Donc d est un diviseur de 13.
Donc d = 1 ou 13.

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3
1
er
cas : d = 1
m = 9 + 13 = 22
et x'y' = 13 + 9 = 22
Les couples d'entiers naturels (x';y') premiers entre eux avec x' < y' correspondants sont :
(1;22) et (2;11)
Comme d = 1, les couples (x;y) correspondants sont donc (1;22) et (2;11)
2
ème
cas : d = 13
Alors 13(x'y' – 9) = 13
D'où x'y' = 10
Les couples d'entiers naturels (x';y') premiers entre eux avec x' < y' correspondants sont :
(1;10) et (2;5).
Les couples (x;y) correspondants sont (13;130) et (26;65).
Conclusion :
L'ensemble des solutions est S = {(1;22);(2;11);(13;130);(26;65)}
Exercice 66 p 63
1) a) n(n² - 1) = n(n + 1)(n – 1) = (n – 1)n(n + 1)
n(n² - 1) est le produit de trois entiers consécutifs.
donc n(n² - 1) est divisible par 2 (deux entiers consécutifs suffisent) et par 3;
donc par 6 (car 2 et 3 sont premiers entre eux).
De même n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6 en tant que produit de 3 entiers
consécutifs.
On pouvait aussi démontrer le résultat en étudiant les restes possibles dans la
division euclidienne de chacun des deux nombres par 6 à partir des 5 restes
possibles de la division euclidienne de n par 6.
b) 3 = n + 2 – (n – 1)

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Donc d'après le lemme d'Euclide, PGCD(n + 2; n – 1) = PGCD(n – 1;3).
c) Soit d = PGCD(n + 2; n – 1)
Alors d divise n – 1 et d divise 3.
Donc d = 1 ou 3.
Si 3 ne divise pas n – 1 alors d = 1 et donc n + 2 et n – 1 sont premiers entre eux.
d) Si n – 1 est un multiple de 3, alors PGCD(n + 2;n – 1) = 3
Et avec la relation PGCD(n + 2;n – 1)× PPCM(n + 2;n – 1) = (n + 2)(n – 1), on déduit
que PPCM(n + 2;n – 1) = (n + 2)(n – 1)
3
Si n – 1 n'est pas un multiple de 3 alors PGCD(n + 2;n – 1) = 1.
D'où : PPCM(n + 2,n – 1) = (n + 2)(n – 1)
2) PPCM(6x;6y) = n(n + 1)×PPCM(n – 1;n + 2)
Si n – 1 n'est pas divisible par 3 alors PPCM(n – 1;n + 2) = (n + 2)×(n – 1)
Donc PPCM(6x;6y) = (n – 1)n(n + 1)(n + 2) = 6z
Or PPCM(6x;6y) = 6×PPCM(x;y)
Donc PPCM(x;y) = z.
3) Si n – 1 est divisible par 3 alors PPCM(n – 1;n + 2) = (n + 2)×(n – 1)
3
D'où PPCM(6x;6y) = (n – 1)n(n + 1)(n + 2)
3 = 6z 3
Et donc PPCM(x;y) = z
3

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Exercice 85 p 66
a) Les restes possibles de la division euclidienne d'un entier par 6 sont 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
p = 6k ou 6k + 1 ou 6k + 2 ou 6k + 3 ou 6k + 4 ou 6k + 5
Si p est un nombre premier strictement supérieure à 3, alors p n'est divisible ni par 2
ni par 3, ni par 6.
Ce qui élimine les restes 0, 2, 3 et 4.
Si p = 6k + 1 alors p + 2 = 6k + 3 = 3(2k + 1) : donc le reste ne peut être égal à 1 puisque
p + 2 est premier.
Le seul reste possible est 5.
b) Alors p + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1)
Donc 6 divise p + 1.
Remarque : les nombres p et p + 2 sont appelés nombres premiers jumeaux.