CORRECTION

Polynésie juin 2006
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la
réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2
2n
– 1 ».
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation
x2
+ x ≡ 0 (modulo 6) alors x ≡ 0 (modulo 3) ».
Proposition 3 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12 x – 5 y = 3 est
l’ensemble des couples (4 + 10 k ; 9 + 24 k) où k ∈ ZZ ».
Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM(a, b) – PGCD(a, b) = 1 ».
Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix.
Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M – N est aussi divisible par 27 ».
CORRECTION

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse
choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2
2n
– 1 ».
Vraie
2
2 n
= 4
n
et 4 ≡ 1 mod 3 donc 2
2 n
≡ 1
n
mod 3 donc 2
2 n
– 1 ≡ 0 mod 3.
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation x
2
+ x ≡
≡≡
≡ 0 (modulo 6) alors x ≡
≡≡
≡ 0 (modulo 3) ». Fausse
2
2
+ 2 = 6 donc 2 est solution de l'équation x2 + x ≡ 0 mod 6 et pourtant x n'est pas divisible par 3.
Proposition 3 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12 x – 5 y = 3 est l’ensemble des couples
(4 + 10 k ; 9 + 24 k) où k ∈
∈∈
∈ ZZ ». Fausse
12 × 4 – 5 × 9 = 3 donc (4 ; 9) est solution.
Si (x, y) est solution alors  12 x – 5 y = 3
12 × 4 – 5 × 9 = 3 ⇒ 12 (x – 4) – 5 (y – 9) = 0 ⇔ 12 (x – 4) = 5 (y – 9)?
5 divise 12 (x – 4) et 5 est premier avec 12 donc, d'après le théorème de Gauss, 5 divise x – 4 donc, il existe un
entier relatif k tel que x = 4 + 5 k. On a alors 12 × 5 k = 5 (y – 9) donc y = 9 + 12 k. Les solutions sont donc de la
forme (4 + 5 k ; 9 + 12 k)
Si k est impair on obtient pas une solution de la forme proposée.
Contre exemple : Si x = 4 + 5 = 9 et y = 9 + 12 = 21 alors 12 x – 5 y = 12 × 9 – 5 × 21 = 3
Le couple (9, 21) est donc solution de l'équation 12 x – 5 y = 3 et pourtant (x, y) n'est pas de la forme
(4 + 10 k, 9 + 24 k) avec k ∈ ZZ
Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM(a, b) – PGCD(a, b) = 1 ». Vraie
On démontre d'abord qu'une seule solution est possible.
On note d = PGCD(a, b). On a a = d a' et b = d b' avec a' et b' premiers entre eux.
PPCM(a, b) = d a' b' = 1 + d ⇒ d (a' b' – 1) = 1 ⇒ a' b' – 1 = 1 et d = 1 ⇒ a' b' = 2 et d = 1 ⇒ a' = 1 et b' = 2.
La seule solution possible est donc a = 1 d = 1 et b = 2 d = 2. de plus PPCM(1 , 2) – , PGCD(1, 2) = 2 – 1 = 1
Variante :
Le PGCD(a, b) divise PPCM(a, b) donc il divise PPCM(a, b) – PGCD(a, b) donc il divise 1 donc il est égal à 1
donc a et b sont premier entre eux donc PPCM(a, b) = a b.
PPCM(a, b) – PGCD(a, b) = 1 ⇒ PPCM(a, b) = a b = 2 et comme a < b on doit avoir a = 1 et b = 2.
Une seul couple de solution est possible c'est le couple (1, 2)
Pour terminer on vérifie que (1, 2) est bien solution du problème.
PPCM(1, 2) = 2 et PGCD (1, 2) = 1 donc PPCM (1, 2) – PGCD (1, 2) = 2 – 1 = 1.
Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix.
Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M – N est aussi divisible par 27 ». Vraie
M = c + 10 b + 100 a et N = a + 10 c + 100 b
On a donc M – N = c + 10 b + 100 a – a – 10 c – 100 b = 99 a – 90 b – 9 c = 9 (11 a – 10 b – c)
Si M est divisible par 27 alors il existe k entier naturel tel que M = c + 10 b + 100 a = 27 k
On a alors c + 10 b = 27 k – 100 a et M – N = 9( 11 a – 27 k + 100 a) = 9 (27 k + 111 a) = 9 × 3 (9 k + 37 a)
Remarque pour que M – N soit divisible par 27 il suffit que M soit divisible par 3.