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ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTR´ EAL
MEC2435 Vibrations
Contrˆ ole interm´ ediaire - 20 octobre 2011
D´ EPARTEMENT DE G´ ENIE M´ ECANIQUE
Automne 2011
Dur´ee: 2H
Contrˆ ole interm´ ediaire
Syst` emes ` a un degr´ e de libert´ e
Probl` eme 1 - 40 minutes - 7 points sur 20
Un fabricant de machines `a laver le linge a cr´e´e un prototype dont le sch´ema est montr´e `a la
figure 1. Le syst`eme mobile est constitu´e du moteur, du tambour, du contrepoids ainsi que du
linge. La masse du syt`eme mobile M−mbest de 25kg sans le linge. Il d´esire faire en sorte qu’un
maximum mbde 5kg de linge puisse ˆetre lav´e en mˆeme temps. Il suppose que le centre de gravit´e
de la masse de linge sera situ´e `a 15cm du centre du tambour. L’acc´el´eration de la pesanteur g
vaut 9.81m/s2. Lorsque la masse de linge maximale est ins´er´ee dans le tambour, il constate que
ce dernier s’abaisse de 1.67mm.
mb
k
c
M
FIGURE 1 – Mod`ele de machine `a laver le linge.
a. D´eterminez la raideur qui retient le syst`eme mobile ainsi que la fr´equence naturelle
ω
nen
rad/s puis en tr/min.
b. D´eterminez l’amplitude de vibration lorsque la vitesse de rotation devient tr`es grande
(condition d’essorage).
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Contrˆ ole interm´ ediaire - 20 octobre 2011
D´ EPARTEMENT DE G´ ENIE M´ ECANIQUE
Automne 2011
Dur´ee: 2H
c. Il constate qu’`a la fr´equence naturelle ω
n, l’amplitude de vibration est de 1cm. D´eterminez
le ratio d’amortissement ainsi que le coefficient d’amortissement en kg/s de l’amortisseur.
d. Le fabricant veut ramener l’amplitude de vibration maximale sur la gamme de fonctionne-
ment de 30 tr/min `a 1800 tr/min `a 1 cm. S’il doit changer la masse du contrepoids, combien
de kg suppl´ementaires doit-il ajouter?
e. S’il doit changer l’amortissement du syst`eme, quelle devrait ˆetre sa nouvelle valeur?
Probl` eme 2 - 50 minutes - 8 points sur 20
Une barre de longueur Let de masse Mest en appui sur deux pans de mur rigides. Elle reste
en appui sur les murs en permanence quels que soient ses mouvements. Ainsi, le d´eplacement
de son extr´emit´e gauche yest vertical et celui de son extr´emit´e droite xest horizontal. Du fait
de son glissement, elle tourne d’un angle
θ . La gravit´e ne joue aucun rˆole. L’extr´emit´e gauche
est retenue par un ressort dont l’autre extr´emit´e est excit´ee par un mouvement harmonique z=
Zcos(
ω t).
M
x
L
z=Zcos(ωt)
π/4
c
k
y
π/4+θ
FIGURE 2 – Barre appuy´ee sur deux pans de mur.
a. D´eterminez l’expression de yen fonction de xpour de petits mouvements autour de la
position d’´equilibre qui correspond `a une inclinaison de
π /4 par rapport `a l’axe horizontal.
b. D´eterminez ´egalement l’expression de
θ en fonction de xtoujours pour de petits mouve-
ments autour de l’´equilibre.
c. D´eterminez l’´energie cin´etique de rotation autour du centre de gravit´e en fonction de
θ
puis celle de translation au centre de gravit´e en fonction de xet y. Exprimez-la ensuite en
fonction de xuniquement.
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Contrˆ ole interm´ ediaire - 20 octobre 2011
D´ EPARTEMENT DE G´ ENIE M´ ECANIQUE
Automne 2011
Dur´ee: 2H
d. D´eterminez l’´energie potentielle due au ressort en fonction de xet zpuis la fonction de
dissipation due `a l’amortisseur (en fonction de x).
e. D´eterminez l’´equation du mouvement en fonction de x. S’agit-t-il d’un mouvement de la
base, d’un balourd ou cela correspond-t-il mieux `a une excitation avec forc¸age harmonique
d’amplitude constante?
f. D´eterminez la fr´equence naturelle
ω
net le ratio d’amortissement
ζ .
g. D´eterminez l’amplitude relative |X/Z|et le d´ephasage du syst`eme pour r=1 et r→+∞.
h. Calculez la fr´equence naturelle
ω
nen rad/s, le ratio d’amortissement
ζ ainsi que l’ampli-
tude relative et le d´ephasage pour r=2 sachant que C=2 kg/s, K=2N/m, L=1 m et
M=3kg.
Probl` eme 3 - 30 minutes - 5 points sur 20
Un wagon (voir Figure 3) ayant une masse de 10 tonnes percute un absorbeur de chocs
plac´e en tˆete de quai `a la vitesse de 1.3 m/s. La rigidit´e kde l’absorbeur est de 40 kN/m et son
amortissement cvaut 40000 kg/s.
k
c
mv
FIGURE 3 – Wagon percutant le syst`eme d’amortisseur de bout de quai.
a. Calculez le ratio d’amortissement puis le moment pour lequel la compression du ressort est
maximale.
b. D´eduisez-en la compression maximale du ressort,
c. le moment pour lequel le wagon et le syst`eme d’amortissement se d´esolidarisent,
d. et d´eduisez-en la vitesse de retour du wagon.
e. Calculez l’´energie dissip´ee par le syst`eme d’amortissement.
Fin du contrˆ ole interm´ ediaire
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