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É COLE P OLYTECHNIQUE DE M ONTR ÉAL
MEC2435
Contrôle intermédiaire - 20 octobre 2011
D ÉPARTEMENT DE G ÉNIE M ÉCANIQUE
Automne 2011
Durée: 2H
Vibrations
Contrôle intermédiaire
Systèmes à un degré de liberté
Problème 1 - 40 minutes - 7 points sur 20
Un fabricant de machines à laver le linge a créé un prototype dont le schéma est montré à la
figure 1. Le système mobile est constitué du moteur, du tambour, du contrepoids ainsi que du
linge. La masse du sytème mobile M − mb est de 25kg sans le linge. Il désire faire en sorte qu’un
maximum mb de 5kg de linge puisse être lavé en même temps. Il suppose que le centre de gravité
de la masse de linge sera situé à 15cm du centre du tambour. L’accélération de la pesanteur g
vaut 9.81m/s2. Lorsque la masse de linge maximale est insérée dans le tambour, il constate que
ce dernier s’abaisse de 1.67mm.
mb
M
c
k
F IGURE 1 – Modèle de machine à laver le linge.
a. Déterminez la raideur qui retient le système mobile ainsi que la fréquence naturelle ωn en
rad/s puis en tr/min.
b. Déterminez l’amplitude de vibration lorsque la vitesse de rotation devient très grande
(condition d’essorage).
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Contrôle intermédiaire - 20 octobre 2011
D ÉPARTEMENT DE G ÉNIE M ÉCANIQUE
Automne 2011
Durée: 2H
Vibrations
c. Il constate qu’à la fréquence naturelle ωn , l’amplitude de vibration est de 1cm. Déterminez
le ratio d’amortissement ainsi que le coefficient d’amortissement en kg/s de l’amortisseur.
d. Le fabricant veut ramener l’amplitude de vibration maximale sur la gamme de fonctionnement de 30 tr/min à 1800 tr/min à 1 cm. S’il doit changer la masse du contrepoids, combien
de kg supplémentaires doit-il ajouter ?
e. S’il doit changer l’amortissement du système, quelle devrait être sa nouvelle valeur ?
Problème 2 - 50 minutes - 8 points sur 20
Une barre de longueur L et de masse M est en appui sur deux pans de mur rigides. Elle reste
en appui sur les murs en permanence quels que soient ses mouvements. Ainsi, le déplacement
de son extrémité gauche y est vertical et celui de son extrémité droite x est horizontal. Du fait
de son glissement, elle tourne d’un angle θ . La gravité ne joue aucun rôle. L’extrémité gauche
est retenue par un ressort dont l’autre extrémité est excitée par un mouvement harmonique z =
Z cos(ω t).
z=Zcos(ωt)
k
y
π/4
M
L
π/4+θ
x
c
F IGURE 2 – Barre appuyée sur deux pans de mur.
a. Déterminez l’expression de y en fonction de x pour de petits mouvements autour de la
position d’équilibre qui correspond à une inclinaison de π /4 par rapport à l’axe horizontal.
b. Déterminez également l’expression de θ en fonction de x toujours pour de petits mouvements autour de l’équilibre.
c. Déterminez l’énergie cinétique de rotation autour du centre de gravité en fonction de θ
puis celle de translation au centre de gravité en fonction de x et y. Exprimez-la ensuite en
fonction de x uniquement.
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Vibrations
D ÉPARTEMENT DE G ÉNIE M ÉCANIQUE
Automne 2011
Durée: 2H
d. Déterminez l’énergie potentielle due au ressort en fonction de x et z puis la fonction de
dissipation due à l’amortisseur (en fonction de x).
e. Déterminez l’équation du mouvement en fonction de x. S’agit-t-il d’un mouvement de la
base, d’un balourd ou cela correspond-t-il mieux à une excitation avec forçage harmonique
d’amplitude constante ?
f. Déterminez la fréquence naturelle ωn et le ratio d’amortissement ζ .
g. Déterminez l’amplitude relative | X /Z | et le déphasage du système pour r = 1 et r → +∞.
h. Calculez la fréquence naturelle ωn en rad/s, le ratio d’amortissement ζ ainsi que l’amplitude relative et le déphasage pour r = 2 sachant que C = 2 kg/s, K =2N/m, L = 1 m et
M = 3kg.
Problème 3 - 30 minutes - 5 points sur 20
Un wagon (voir Figure 3) ayant une masse de 10 tonnes percute un absorbeur de chocs
placé en tête de quai à la vitesse de 1.3 m/s. La rigidité k de l’absorbeur est de 40 kN/m et son
amortissement c vaut 40000 kg/s.
c
m
v
k
F IGURE 3 – Wagon percutant le système d’amortisseur de bout de quai.
a. Calculez le ratio d’amortissement puis le moment pour lequel la compression du ressort est
maximale.
b. Déduisez-en la compression maximale du ressort,
c. le moment pour lequel le wagon et le système d’amortissement se désolidarisent,
d. et déduisez-en la vitesse de retour du wagon.
e. Calculez l’énergie dissipée par le système d’amortissement.
Fin du contrôle intermédiaire
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