25 Différentes formules de Taylor pour une fonction d`une variable

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Différentes formules de Taylor pour une
fonction d’une variable réelle
Il y a beaucoup de résultats dans cette proposition de leçon (en prévision de questions que
pourrait poser le jury). Comme il n’est pas possible de tout exposer, le lecteur fera un choix en
fonction de ses connaissances.
25.1 La formule de Taylor-Lagrange
Du théorème de Rolle on déduit le résultat suivant qui généralise le théorème des accroisse-
ments finis.
Théorème 25.1 Si fest une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a, b]
non réduit à un point, de classe Cnsur cet intervalle et n+ 1 fois dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a, b[,alors il existe un point c∈]a, b[tel que :
f(b) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k+f(n+1) (c) (n+ 1)! (b−a)n+1 .
Dans le cas où a= 0 cette formule est appelée formule de Mac-Laurin.
Pour n= 0 on retrouve le théorème des accroissements finis.
Pour les fonctions à valeurs dans Rpou dans un espace vectoriel normé E, on a le ré-
sultat suivant qui se montre en utilisant les fonctions définies sur [a, b]par g(x) = f(b)−
n
X
k=0
f(k)(x)
k!(b−x)ket h(x) = −M (n+ 1)! (b−x)n+1 .
Théorème 25.2 (inégalité de Taylor-Lagrange) Si fest une fonction à valeurs dans Rp
(ou plus généralement dans un espace vectoriel normé E) définie sur un intervalle compact
[a, b]non réduit à un point, de classe Cnsur cet intervalle et n+ 1 fois dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a, b[avec f(n+1) majoré sur ]a, b[par une constante M, alors :
°
°
°
°
°f(b)−
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k°
°
°
°
°≤M
(n+ 1)! (b−a)n+1
Exercice 25.1 Soient fune fonction de classe Cn+1 à valeurs réelles définie sur un intervalle
ouvert Iet aest un point de I. Pour tout réel h∈]0, b −a[,on désigne par θhun réel dans
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470 Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle
]0,1[ tel que :
f(a+h) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!hk+hn+1 (n+ 1)!f(n+1) (a+θhh).
Montrer que si fest dérivable à l’ordre n+ 2 en aavec f(n+2) (a)non nul, alors :
lim
h→0θh=1
n+ 2.
25.2 Formule de Taylor avec reste intégral
Parfois la formule de Taylor avec reste intégral permet d’obtenir des résultats plus fins que
la formule de Taylor-Lagrange. Cette formule nécessite une hypothèse supplémentaire de
continuité de la dernière dérivée et elle est valable pour les fonctions à valeurs dans un espace
de Banach.
Théorème 25.3 Soit n∈N.Si fest une fonction à valeurs réelles (ou dans un espace de
Banach) définie et de classe Cn+1 sur un intervalle compact [a, b]non réduit à un point, alors :
f(b) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k+Zb
a
f(n+1) (t)
n!(b−t)ndt.
25.3 Cas des fonctions de plusieurs variables
Si fest une fonction définie sur un ouvert de Rn,à valeurs réelles et suffisamment dérivable,
en utilisant les formules de Taylor pour la fonction d’une variable réelle ϕ:t7→ f(a+th),on
déduit des formules de Taylor pour fau voisinage de a.
Pour simplifier, on s’intéresse aux fonctions de deux variables réelles.
Théorème 25.4 (Taylor-Lagrange) Soient pun entier naturel non nul, Uun ouvert non
vide de R2, f une fonction de classe Cpde Udans R, A = (a, b)un point de Uet M= (x, y)
un point de Utel que le segment [AM]d’extrémités Aet Msoit contenu dans U. Il existe un
réel θdans ]0,1[ tel que :
f(x, y) = X
i+j≤p−1
(x−a)i(y−b)j
i!j!
∂i+jf
∂xi∂yj(a, b)
+X
i+j=p
(x−a)i(y−b)j
i!j!
∂pf
∂xi∂yj(a+θu, b +θv).
Comme dans le cas du théorème de Rolle, cette formule n’est plus valable pour les fonctions
à valeurs dans Rqoù q≥2.
En munissant R2de la norme (x, y)7→ k(x, y)k= max (|x|,|y|)(ou de n’importe quelle
autre norme), le théorème précédent nous fournit un développement limité de fà l’ordre pau
voisinage de (a, b).
Corollaire 25.1 (Taylor-Young) Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent,
on désigne par Bune boule ouverte centré en A= (a, b)et de rayon r > 0contenue dans U. Il

Applications de la formule de Taylor-Lagrange 471
existe alors une fonction ε:B→Rtelle que lim
(x,y)→(a,b)ε(x, y) = 0 et pour tout (x, y)dans B
on ait :
f(x, y) = X
i+j≤p
(x−a)i(y−b)j
i!j!
∂i+jf
∂xi∂yj(a, b) + k(x−a, y −b)kpε(x, y).
Dans le cas des fonction de nvariables de classe C2et à valeurs réelles, on a le résultat
suivant, où df (a)désigne la différentielle de fen a, c’est-à-dire la forme linéaire définie sur Rn
par :
∀h∈Rn, df (a) (h) =
n
X
i=1
∂f
∂xi
(a)hi
et d2f(a)désigne la forme quadratique définie sur Rnpar :
∀h∈Rn, d2f(a) (h) =
n
X
i=1
∂2f
∂x2
i
(a)h2
i+ 2 X
1≤i<j≤n
∂2f
∂xi∂xj
(a)hihj.
Théorème 25.5 Soient Uun ouvert de Rn, f une fonction de classe C2de Udans Ret aun
point de U. Pour xvoisin de adans U, on a :
f(x) = f(a) + df (a) (x−a) + 1
2d2f(a) (x−a) + o¡kx−ak2¢.
25.4 Applications de la formule de Taylor-Lagrange
25.4.1 Développements limités
Dans le cas des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles, la formule de Taylor-
Lagrange nous permet d’obtenir le résultat suivant.
Théorème 25.6 (Taylor-Young) Soient fune fonction à valeurs réelles définie sur un in-
tervalle Iet aest un point intérieur à I. Si fest dérivable à l’ordre n≥1en a, elle admet
alors, au voisinage de a, le développement limité d’ordre n:
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+o((x−a)n).
25.4.2 Problèmes d’extremum
On sait que si une fonction dérivable f:I→Radmet un extremum local en un point a
intérieur au domaine de définition alors f0(a) = 0,la réciproque étant fausse comme le montre
l’exemple de la fonction x3au voisinage de 0.L’utilisation de la formule de Taylor-Lagrange
permet de donner une condition nécessaire et suffisante d’extremum.
Théorème 25.7 Soient fune fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I, de
classe Cnavec n≥2et adans Itel que f(k)(a)=0pour tout kcompris entre 1et n−1et
f(n)(a)6= 0.La fonction fadmet un maximum [resp. minimum] local en asi, et seulement si,
nest pair et f(n)(a)<0[resp. f(n)(a)>0].
Dans le cas n= 2,si f0(a) = 0 et f00 (a)6= 0,on a donc :
f00 (a)<0⇒maximum local en a,
f00 (a)>0⇒minimum local en a.

472 Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle
25.4.3 Inégalités
L’utilisation de l’inégalité de Taylor-Lagrange permet d’obtenir facilement les inégalités
classiques suivantes : 
∀x∈R,|sin (x)−x| ≤ |x|3
3!
∀x∈R,¯¯¯¯sin (x)−x+x3
3! ¯¯¯¯≤|x|5 5!
∀x∈R,|cos (x)−1| ≤ x2
2
∀x∈R+,|ex−1−x| ≤ x2
2ex
∀x∈R−,|ex−1−x| ≤ x2
2
25.4.4 Développements en série entières
Pour simplifier, on se place au voisinage de 0.
Si fest une fonction de classe C∞au voisinage de 0,la série entière +∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xnpeut être de
rayon de convergence nul ou converger vers une autre fonction que le fonction f. Par exemple,
la fonction fdéfinie par f(0) = 0 et f(x) = e−1
x2pour x6= 0 est indéfiniment dérivable sur R
avec toutes ses dérivées en 0qui sont nulles et donc la série entière +∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xnconverge vers
g= 0 6=f.
On a toutefois le résultat classique suivant.
Théorème 25.8 Soit fune fonction de classe C∞sur un voisinage ouvert Ide 0et à valeurs
réelles (ou complexes). La fonction fest développable en série entière au voisinage de 0si, et
seulement si, il existe un réel r > 0tel que ]−r, r[⊂Iet la suite de fonctions (Rn)n∈Ndéfinie
par :
Rn(x) = f(x)−
n
X
k=0
f(k)(0)
k!xk
converge simplement vers 0sur ]−r, r[.Dans ce cas f(x) =
+∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xnpour tout x∈]−r, r[
et le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à r.
Pour montrer que la suite (Rn)n∈Ndes restes converge simplement vers 0,on peut utiliser
l’expression de Lagrange du reste Rn(x) = f(n+1) (θx)
(n+ 1)! xn+1 avec 0< θ < 1ou sa représentation
intégrale :
Rn(x) = Zx
0
f(n+1) (t)
n!(x−t)ndt =xn+1 n!Z1
0
f(n+1) (θx)
n!(1 −θ)ndθ.
Par exemple dans le cas de la fonction exponentielle réelle, on a pour tout réel x:
|Rn(x)|=eθx
(n+ 1)! |x|n+1 ≤e|x| (n+ 1)! |x|n+1 →
n→+∞0.

Applications de la formule de Taylor-Lagrange 473
Il en résulte que ex=
+∞
P
n=0
1
n!xnpour tout x∈Ret le rayon de convergence de cette série est
infini.
À partir de ce résultat on est amené à définir la fonction exponentielle complexe par ez=
+∞
P
n=0
1
n!znpour tout z∈C.
Ce exemple est un cas particulier du résultat suivant.
Corollaire 25.2 Soit fune fonction de classe C∞sur un voisinage ouvert Ide 0et à valeurs
réelles (ou complexes). S’il existe un réel r > 0tel que ]−r, r[⊂Iet pour tout xdans ]−r, r[
on peut trouver une constante Mxavec :
∀n∈N,¯¯f(n)(x)¯¯≤Mx,
alors fest développable en série entière dans ]−r, r[avec f(x) =
+∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xn.
25.4.5 Majoration de l’erreur dans la méthode de Newton
Soit f∈ C2([a, b],R)telle que :
½f(a)f(b)<0,
∀x∈[a, b], f0(x)6= 0 et f00 (x)6= 0.
Pour tout x0dans [a, b]tel que f(x0)f00 (x0)>0,on peut définir la suite (xn)n∈Nde points
de [a, b]par :
∀n≥0, xn+1 =xn−f(xn)
f0(xn)
Théorème 25.9 La suite (xn)n∈Nconverge vers l’unique solution α∈]a, b[de f(x) = 0 et une
majoration de l’erreur est donnée par :
|xn−α| ≤ |x0−α|2nµM2
2m1¶2n−1
où :
m1= inf
x∈[a,b]|f0(x)|, M2= sup
x∈[a,b]|f00 (x)|
25.4.6 Majorations de dérivées
Théorème 25.10 Si fest une fonction de classe Cn+1,avec n≥1,de Rdans Rtelle que f
et f(n+1) soient bornées sur R,alors toutes les dérivées f(k),pour k= 1,··· , n sont également
bornées sur R.
Théorème 25.11 (Inégalités de Kolmogorov)
1. Si fest une fonction de classe C2de Rdans Rtelle que fet f00 soient bornées sur R,
alors f0est bornée sur Ret :
kf0k∞≤q2kfk∞kf00k∞.
2. Si fest une fonction de classe Cn+1,avec n≥1,de Rdans Rtelle que fet f(n+1) soient
bornées sur R,alors toutes les dérivées f(k),pour k= 1,··· , n, sont bornées sur Ravec :
°
°f(k)° °∞≤2k(n+1−k)
2kfk1−k
n+1
∞°
°f(n+1)° °k
n+1
∞.