Amphi 1 (diapos avec corrections des quiz)

Physique quantique avancée
Frédéric Chevy, Jérôme Faure, Karyn Le Hur, Luca Perfetti,
Pascale Senellart, Jean-Eric Wegrowe, Manuel Joffre
 Poursuite de l’apprentissage des principes fondamentaux (Pauli)
 Nouvelles méthodes pour traiter des problèmes plus complexes (3D)
 Exploitation des symétries du système (translation, rotation, …)
 Méthodes d’approximation (perturbations, variations, …)
 Structure de la matière : atomes, molécules, solides
 Quelques exemples de technologies quantiques (horloges atomiques,
spectroscopie infrarouge, détecteurs à puits quantiques, etc.)
www.orolia.com
Quiz de bienvenue
On considère le ket
associé à un état physiquement acceptable
pour un système décrit par l’hamiltonien . La relation
est-elle toujours vraie ?
1. Oui.
2. Oui, dès lors que
3. Non.
est indépendant du temps.
Ressources pédagogiques
Jean-Louis Basdevant
&
Jean Dalibard
Chapitres 1 à 17
(sauf 15.1-15.3)
https://moodle.polytechnique.fr/course/view.php?id=1890
- Diapos et simulations présentées en amphi
- Guide de lecture du livre (correspondance amphis – chapitres)
- Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 9h00)
Participation au QCM contribue à la note de PC
(avec Devoirs à la Maison et participation en PC)
- Boîtiers de vote électronique
Amphi 1 :
Les principes de la physique quantique
 Etat quantique d’un système
 Mesure
 Evolution temporelle
 Commutation des observables
Chapitres 5 et 7
1.
Etat quantique d’un système
Principe 1 : espace de Hilbert et vecteur d’état
A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié
L’état du système est défini par un vecteur normé appelé ket
Base hilbertienne
TF
Cas du mouvement d’une
particule ponctuelle
Rappels sur la notation de Dirac
Ket
Bra
Bracket
Soit
un opérateur linéaire agissant dans
Elément de matrice
Vecteur
ligne
Matrice
carrée
Vecteur
colonne
Projecteur sur le ket
est un opérateur.
est un projecteur.
est le projecteur sur l’état
Point de vue matriciel
La relation de fermeture
Exemples d’espaces de Hilbert
Système
Espace de Hilbert
Particule ponctuelle
Ensemble de deux
particules (ex : H)
Vibration d’une
molécule diatomique
Etat de polarisation
d’un photon
Espace de
dimension 2
Spin 1/2
Espace de
dimension 2
Etat quantique
Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert
Soit un système quantique (a) décrit par l’espace de Hilbert
de base
Soit un système quantique (b) décrit par l’espace de Hilbert
de base
Si (a) est dans l’état
et (b) est dans l’état
quantique global est noté
, alors l’état du système
produit tensoriel
L’espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé
espace produit tensoriel et est noté
Etats factorisés
La forme générale d’un état
est :
Etats intriqués
Plusieurs degrés de liberté d’une même particule
 Particule sans spin
base de
 Particule de spin ½
base de
Système constitué de plusieurs particules
(a)
(b)
 Deux particules de spin ½
 Deux spins ½ (sans prise en compte des degrés de liberté externes)
2.
Mesure
Principe 2 : Mesure d’une grandeur physique
Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint
(ou hermitien) appelé observable.
Les valeurs propres
Théorème spectral :
Les vecteurs propres
de
de
sont réelles.
constituent une base de
Le résultat d’une mesure de
est l’une des valeurs propres
de
Si le système est dans l’état
, la probabilité de mesurer
est
Après la mesure de
, le système est projeté dans l’état
.
Exemple de mesure : l’expérience de Stern et Gerlach
Laser
MESURE
Schrödinger
Evolution
Réversible
OU
Evolution
irréversible
Effet de la dégénérescence des espaces propres
Cas non dégénéré
Dimension espace propre = 1
Cas dégénéré
Dimension espace propre
Probabilité de mesurer
Projecteur
Etat après mesure
=
Mesure dans un espace produit tensoriel
Soit un ensemble de deux particules de spins ½ placées dans l’état
On mesure la grandeur
. Quelle est la probabilité de trouver
dans cette éventualité, quel est l’état du système après la mesure ?
A. 0
B. ½
C. 1
D.
E.
F.
, et
3.
Evolution temporelle
Principe 3 : Equation de Schrödinger
En l’absence de mesures, l’évolution du vecteur d’état
par l’équation de Schrödinger
L’opérateur
est donnée
est l’Hamiltonien. C’est l’observable énergie.
Pour un système isolé, l’Hamiltonien est indépendant du temps:
 Exemple de système isolé : atome d’hydrogène (amphi 5)
 Exemple de système non isolé :
spin ½ dans un champ magnétique tournant (RMN – PHY311 amphi 7)
Evolution temporelle d’un système isolé
Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de
puis de développer
avec
sur cette base propre:
Evolution temporelle suite à une mesure d’énergie
Dans un puits infini, on effectue une mesure
d’énergie qui donne la valeur E2. Après la
mesure, la position moyenne de la particule
dans le puits :
E3
E2
E1
Superposition linéaire dans un puits infini
4.
Commutation des observables
Algèbre non commutative : en général,
Quelques règles utiles sur les commutateurs
 Définition
 Un commutateur sert à remettre à l’«endroit» un produit de deux opérateurs
 Bilinéarité du commutateur
Par exemple :
 Commutateur entre un produit d’opérateurs et un autre opérateur
Observables qui ne commutent pas
Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B.
(PC1)
Relation d’incertitude de Heisenberg
Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da
sur la grandeur A, alors la relation d’incertitude impose une borne
inférieure sur l’incertitude Db de la grandeur B dans cet état.
Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation
d’incertitude impose une borne inférieure sur l’incertitude Db de la
grandeur B dans l’état du système après la mesure.
Exemple
(exercice)
Observables qui commutent
Tout sous-espace propre de
est stable par
Il existe une base propre commune à
et
(exercice)
(exercice)
Après des mesures successives des grandeurs A et B, le système est
dans un sous-espace propre commun à A et B. Les grandeurs physiques
correspondantes sont donc connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0.
Théorème d’Ehrenfest
Si
ne dépend pas explicitement du temps et si
grandeur
est une constante du mouvement.
, alors la
En résumé
Principe 1 :
Principe 2 : mesure
Principe 3 :
Chapitre 5
 Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs)
 Relation d’incertitude de Heisenberg

Il existe une base propre commune à
 Théorème d’Ehrenfest
et