Chapitre 4 Symщtries en mщcanique quantique

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Chapitre 4
Symétries en mécanique quantique
En Physique on appelle symétries les transformations qui laissent invariant un objet (sens
géométrique du terme), mais aussi une loi (équation de Newton par renversement du temps si
la force ne dépend que de la position, par exemple) ou un observable en mécanique quantique
(opérateur Hamiltonien, par exemple).
Les symétries forment ce que les mathématiciens appellent des groupes. C’est pour cela que
l’étude des symétries en physique est souvent appelé théorie des groupes. Il y a deux grandes
classes de symétries : les transformations continues (rotation d’une sphère, par exemple) et les
transformations discretes (symétries du cube, par exemple).
En mécanique classique les symétries sont associées à des lois de conservation (l’invariance
par translation donne la conservation de l’impulsion totale, l’invariance par rotation la conser-
vation du moment cinétique, etc.).
4.1 Conséquences de la symétrie en mécanique quantique
Considérons les fonctions d’onde sans spin d’un atome d’hélium. L’Hamiltonien du sys-
tème étant invariant par échange des électrons, quand on introduit l’interaction électron-électron
les fonctions d’onde sont obligatoirement soit symétriques soit antisymétriques par rapport à
l’échange de deux électrons.
Un autre exemple des conséquences d’une symétrie est celui de la dégénérescence des sous-
niveaux magnétiques d’un système isolé, qui est due à l’invariance par rotation du système.
L’étude des moments de transition montrent qu’il existe desrègles de sélection: les éléments
de matrice de l’interaction avec le champ du rayonnement s’annulent pour certaines combi-
naisons des nombres quantiques. Encore une fois on peut montrer que ces règles résultent de
propriétés de symétrie de l’Hamiltonien.
Un exemple discret de symétrie est donné par l’oscillateur harmonique. L’Hamiltonien étant
invariant par rapport à l’inversion de la coordonnée en autour de la position d’équilibre,
les fonctions d’onde sont soit paires soit impaires (c’est la parité).

24 CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
De ces exemples on conclut que l’étude des propriétés de symétrie en mécanique quantique
permettent:
a. de classifier et étiqueter les états propres;
b. de trouver les raisons de certaines dégénérescences non fortuites;
c. d’expliquer la levée de dégénérescence par une perturbation;
d. d’établir des règles de sélection pour les probabilités de transitions et d’autres éléments
de matrice.
Les opérations de symétrie les plus utiles en physique atomique et moléculaire sont:
a. Les translations dans l’espace.
b. Les rotations dans l’espace.
c. L’inversion par rapport à l’origine de l’espace ou parité.
d. Les réflexions par rapport à des plans (qui sont en fait des combinaisons de rotations et
de l’inversion par rapport à l’origine).
e. L’échange entre particules identiques.
D’autres symétries sont importantes dans d’autres domaines :
a. Les transformations relativistes.
b. Les translations dans le temps.
c. La conjugaison de charge.
d. Le renversement du temps.
e. Les transformations de jauge locales (baryoniques, électroniques, muoniques et tauo-
niques).
4.2 Propriétés générales des transformations de symétrie
En mécanique quantique une transformation du système physique est représentée par un
opérateur tel que, quand il s’applique au vecteur d’état décrivant le système, donne le
vecteur d’état transformé:(4.1)
Si l’opérateur est indépendante du temps et linéaire ( ), l’évolution dans
le temps du ket est donné par:
(4.2)
et si a un opérateur inverse, , tel que:
(4.3)

4.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES TRANSFORMATIONS DE SYMÉTRIE 25
alors
(4.4)
où on a défini : (4.5)
l’opérateur transformé par .
4.2.1 Opération de symétrie
Une transformation est dite de symétrie si , c’est-à-dire que l’évolution du sytème
transformé est la même que celle sans transformation. La condition implique, si on
utilise (4.5), que et donc, qu’on peut écrire :
(4.6)
l’opérateur commute avec .
Remarques:
– On remarque qu’une transformation de symétrie laisse l’Hamiltonien invariant, mais pas
nécessairement le vecteur d’état .
– L’opérateur n’est pas nécessairement hermitique (il n’est donc pas, en général, un ob-
servable). En fait, si l’opérateur est linéaire, il sera nécessairement unitaire (la significa-
tion physique du vecteur d’état impose la condition , laquelle implique
).
– Il existe de transformations plus générales que celles considérées jusqu’ici. La transfor-
mation renversement du temps, par exemple, est antilinéaire ( ). On
peut également, avoir des transformations dépendantes du temps (transformation de jauge
locale, par exemple).
– La condition générale pour qu’une transformation soit de symétrie est:
(4.7)
où est l’opérateur d’évolution, tel que .
4.2.2 Constantes du mouvement
Considérons la valeur moyenne de l’opérateur indépendant du temps et linéaire . On a, à
partir de l’équation de Schrödinger dépendant du temps,
(4.8)
et on en déduit que si est un opérateur qui commute avec ( ), la valeur moyenne
de est indépendante du temps. Donc, , , , etc. sont des constantes du mouvement.

26 CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Remarques:
– En écrivant formellement , on en déduit
que toute fonction de pour laquelle ce développement a un sens, sera une constante du
mouvement.
– Pour un opérateur unitaire, on peut écrire
(4.9)
avec opérateur hermitique. On en déduit alors que si l’observable commute avec ,
le fera également: représente donc une transformation de symétrie.
– L’existence de ces constantes du mouvement simplifie la recherche des états propres de
: on cherche les kets propres communs à et à .
– La commutation de avec entraîne:
(4.10)
où et sont des vecteurs propres de avec valeurs propres et . En effet, à
partir de , on conclut que soit soit, si
, . Cette relation donne des règles de sélection pour .
4.2.3 Transformation des observables
Considérons un opérateur hermitique et sa valeur moyenne qui est un nombre
réel et qui correspond à une quantité mesurable (observable) si est un état possible du
système. Si on considère une transformation des kets telle que: , on peut se
demander qu’elle la nouvelle forme de l’opérateur qui donne la même valeur moyenne dans
l’état transformé, c’est-à-dire: (4.11)
En utilisant et , on obtient:
(4.12)
et si la transformation est unitaire ( ):
(4.13)
Remarques:
– Si commute avec , alors (4.13) donne : l’opérateur est invariant par la
transformaton . On a alors, : la valeur moyenne de l’observable est
la même dans l’état transformé que dans l’état non transformé.
– Cas particulier: Si égal , la valeur moyenne de l’énergie est la même avec ou sans
transformation.

4.3. TRANSFORMATIONS CONTINUES ET GÉNÉRATEURS 27
4.3 Transformations continues et générateurs
Soit un paramètre continu et un opérateur. Si on défini l’opérateur
(4.14)
on peut démontrer les propriétés :
a. .
b.
c. tel que .
d. .
L’ensemble des opérateurs défini un groupe: (a) le produit de deux élements du groupe
donne un élément du groupe; (b) il existe un élément du groupe neutre qu’on appelle l’identité
(dénoté par 1), qui a la propriété , où est un élément du groupe; (c) Chaque
élément du groupe a une inverse qui appartient aussi au groupe; (d) Le triple produit est
bien défini: on verifie la propriété d’associativité.
Les opérateurs définis ici on également la propriété: . On dit alors que le
groupe est abélien.
Si est un opérateur hermitique (observable) et réel, alors : la transformation
est unitaire.
On appelle le générateur de la transformation .
4.3.1 Théorème de Noether:
L’invariance de l’Hamiltonien par rapport à une transformation continue, est équivalente à
la conservation du générateur de la symétrie.
En effet, si pour toute valeur de , avec définie par (4.14), alors
commute avec , ce qui implique que est une constante du mouvement. L’inverse est vrai
également: si est une constante du mouvement, elle commute avec et donc définie
par (4.14), est unitaire et commute avec . Elle est donc une opération de symétrie.
4.3.2 Opérateur déplacement ou de translation d’espace ( )
Considérons la transformation sur une fonction . En développant autour de
:
(4.15)