Chapitre 4 Symщtries en mщcanique quantique

23
Chapitre 4
Symétries en mécanique quantique
En Physique on appelle symétries les transformations qui laissent invariant un objet (sens
géométrique du terme), mais aussi une loi (équation de Newton par renversement du temps si
la force ne dépend que de la position, par exemple) ou un observable en mécanique quantique
(opérateur Hamiltonien, par exemple).
Les symétries forment ce que les mathématiciens appellent des groupes. C’est pour cela que
l’étude des symétries en physique est souvent appelé théorie des groupes. Il y a deux grandes
classes de symétries : les transformations continues (rotation d’une sphère, par exemple) et les
transformations discretes (symétries du cube, par exemple).
En mécanique classique les symétries sont associées à des lois de conservation (l’invariance
par translation donne la conservation de l’impulsion totale, l’invariance par rotation la conservation du moment cinétique, etc.).
4.1
Conséquences de la symétrie en mécanique quantique
Considérons les fonctions d’onde sans spin d’un atome d’hélium. L’Hamiltonien du système étant invariant par échange des électrons, quand on introduit l’interaction électron-électron
les fonctions d’onde sont obligatoirement soit symétriques soit antisymétriques par rapport à
l’échange de deux électrons.
Un autre exemple des conséquences d’une symétrie est celui de la dégénérescence des sousniveaux magnétiques d’un système isolé, qui est due à l’invariance par rotation du système.
L’étude des moments de transition montrent qu’il existe des règles de sélection : les éléments
de matrice de l’interaction avec le champ du rayonnement s’annulent pour certaines combinaisons des nombres quantiques. Encore une fois on peut montrer que ces règles résultent de
propriétés de symétrie de l’Hamiltonien.
Un exemple discret de symétrie est donné par l’oscillateur harmonique. L’Hamiltonien étant
invariant par rapport à l’inversion de la coordonnée en
autour de la position d’équilibre,
les fonctions d’onde sont soit paires soit impaires (c’est la parité).
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
24
De ces exemples on conclut que l’étude des propriétés de symétrie en mécanique quantique
permettent :
a.
b.
c.
d.
de classifier et étiqueter les états propres;
de trouver les raisons de certaines dégénérescences non fortuites;
d’expliquer la levée de dégénérescence par une perturbation;
d’établir des règles de sélection pour les probabilités de transitions et d’autres éléments
de matrice.
Les opérations de symétrie les plus utiles en physique atomique et moléculaire sont :
a.
b.
c.
d.
Les translations dans l’espace.
Les rotations dans l’espace.
L’inversion par rapport à l’origine de l’espace ou parité.
Les réflexions par rapport à des plans (qui sont en fait des combinaisons de rotations et
de l’inversion par rapport à l’origine).
e. L’échange entre particules identiques.
D’autres symétries sont importantes dans d’autres domaines :
a.
b.
c.
d.
e.
4.2
Les transformations relativistes.
Les translations dans le temps.
La conjugaison de charge.
Le renversement du temps.
Les transformations de jauge locales (baryoniques, électroniques, muoniques et tauoniques).
Propriétés générales des transformations de symétrie
En mécanique quantique une transformation du système physique est représentée par un
décrivant le système, donne le
opérateur tel que, quand il s’applique au vecteur d’état
vecteur d’état transformé :
(4.1)
est indépendante du temps et linéaire ( ), l’évolution dans
est donné par :
(4.2)
, tel que :
et si a un opérateur inverse,
(4.3)
Si l’opérateur
le temps du ket
4.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES TRANSFORMATIONS DE SYMÉTRIE
alors
25
#$ % & '
! " %)(+,* ! # " $ % & '
(4.4)
*,-(/.,/.01
(4.5)
où on a défini :
.
l’opérateur transformé par .
4.2.1
Opération de symétrie
.
,-(/.4,5. 01
* (+,
,,5.5(/.4,
6 ,7 .98:(<;
, c’est-à-dire que l’évolution du sytème
Une transformation est dite de symétrie si
transformé est la même que celle sans transformation. La condition
implique, si on
utilise (4.5), que
et donc,
qu’on peut écrire :
l’opérateur
.
commute avec
,
*,2(3,
(4.6)
.
Remarques :
! #$ % & '
– On remarque qu’une transformation de symétrie laisse l’Hamiltonien invariant, mais pas
nécessairement le vecteur d’état
.
– L’opérateur n’est pas nécessairement hermitique (il n’est donc pas, en général, un observable). En fait, si l’opérateur est linéaire, il sera nécessairement unitaire (la signification physique du vecteur d’état impose la condition
, laquelle implique
).
– Il existe de transformations plus générales que celles considérées jusqu’ici. La transformation renversement du temps, par exemple, est antilinéaire (
). On
peut également, avoir des transformations dépendantes du temps (transformation de jauge
locale, par exemple).
– La condition générale pour qu’une transformation soit de symétrie est :
.
.@?A.5(CB
= # " ! # " ' (>= # ! #'
.D ! E ' (FDHG. ! E '
I ? $ % 7 % J & . $ % J & (/. $ % &KI$ % 7 % J &
I$ % 7 % J & est l’opérateur d’évolution, tel que ! #$ % & ' ( I$ % 7 % J & ! # $ % J & ' .
où
4.2.2
(4.7)
Constantes du mouvement
Considérons la valeur moyenne de l’opérateur indépendant du temps et linéaire
partir de l’équation de Schrödinger dépendant du temps,
L
. On a, à
(4.8)
% = #$ % & ! L ! #$ % & ' ( M= #$ % & ! 6 ,7 L98 ! #$ % & '
6
et on en déduit que si L est un opérateur qui commute avec , ( ,7 L98(<; ), la valeur moyenne
de L est indépendante du temps. Donc, L , L@N , LPO , etc. sont des constantes du mouvement.
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
26
Remarques :
QR STUFQR VATWCQPX R VATS/W+Q@X X R VATSPY Z [W]\ \ \
, on en déduit
– En écrivant formellement
que toute fonction de pour laquelle ce développement a un sens, sera une constante du
mouvement.
– Pour un opérateur unitaire, on peut écrire
S
^ U<_ ` aMU c b R hgST d Z ij
d egf
S
^
(4.9)
S
^
k
avec opérateur hermitique. On en déduit alors que si l’observable commute avec ,
le fera également : représente donc une transformation de symétrie.
– L’existence de ces constantes du mouvement simplifie la recherche des états propres de
: on cherche les kets propres communs à et à .
– La commutation de avec entraîne :
k
S
k
k
S
l mn k n m X oqp<r s s t
(4.10)
nm nm
m et m X . En effet, à
S
où o et l m:X n o u sont n m des vecteurs
propres
de
avec
valeurs
propres
UxR m XHy m T l m:n k n m X o UzV , on conclut que soit m XU m soit, si
partir
m XHU { m de
l, mn k n m kX o v S9U<w V .X o Cette
relation donne des règles de sélection pour k .
4.2.3 Transformation des observables
S
l |9n S n | o
n| o
n |} o U ^ n | o
Considérons un opérateur hermitique et sa valeur moyenne
qui est un nombre
réel et qui correspond à une quantité mesurable (observable) si
est un état possible du
système. Si on considère une transformation des kets telle que :
, on peut se
demander qu’elle la nouvelle forme de l’opérateur qui donne la même valeur moyenne dans
l’état transformé, c’est-à-dire :
(4.11)
S
}
^
l |9n S n | o U l |9} n S } n | } o
n | } ^ n | o et l |9} n U l |9n ^@~ , on obtient :
En utilisant o U
}
S5U ^ ~ S ^
^
^M^ ~ UC ) :
et si la transformation est unitaire (
} ^ ^ ~
S5U S
Remarques :
S
}
3
S
S
l |9n S n | o U l |€} n S n | } U2
o
^
^
(4.12)
S
(4.13)
– Si commute avec , alors (4.13) donne
: l’opérateur est invariant par la
transformaton . On a alors,
: la valeur moyenne de l’observable est
la même dans l’état transformé que dans l’état non transformé.
– Cas particulier : Si égal , la valeur moyenne de l’énergie est la même avec ou sans
transformation.
S
k
4.3. TRANSFORMATIONS CONTINUES ET GÉNÉRATEURS
4.3
27
Transformations continues et générateurs

Soit un paramètre continu et
‚
un opérateur. Si on défini l’opérateur
’
ƒ„  …H†<‡‰ˆAŠ ‹ ŒK Ž@†‘“  ”g• „ –P—‚˜Aš™ … “ ˜ ›œ
ƒ„  …
(4.14)
on peut démontrer les propriétés :
a.
b.
c.
d.
ƒ„  …gƒ„ K…†5ƒ„ žŸK… .
ƒ„ A…†C¡
ƒ„ –P …†/ƒ ˆK¢ „  … tel que ƒ ˆK¢ „  …Aƒ„  …†/ƒ„ g…H†C¡ .
ƒ„  …£ ƒ„ K…Aƒ„ ¤g… ¥†-£ ƒ„  …gƒ„ K… ¥9ƒ„ ¤… .
ƒ„  …
¦§¡†-¡H¦C†]¦
¦ ˆ¢
L’ensemble des opérateurs
défini un groupe : (a) le produit de deux élements du groupe
donne un élément du groupe; (b) il existe un élément du groupe neutre qu’on appelle l’identité
, où est un élément du groupe; (c) Chaque
(dénoté par 1), qui a la propriété
élément du groupe a une inverse
qui appartient aussi au groupe; (d) Le triple produit est
bien défini : on verifie la propriété d’associativité.
¦
ƒ ‹ Kƒ ¨†]ƒK¨ƒ ‹ . On dit alors que le
Si ‚ est un opérateur hermitique (observable) et  réel, alors ƒ@© ƒ †-¡ : la transformation
‹ ‹
Les opérateurs
groupe est abélien.
ƒ‹
¦
définis ici on également la propriété :
est unitaire.
‚
On appelle
4.3.1
ƒ
le générateur de la transformation .
Théorème de Noether :
L’invariance de l’Hamiltonien par rapport à une transformation continue, est équivalente à
la conservation du générateur de la symétrie.
ª «­¬ ƒ„  … ®†2 
ƒ„  …
‚
En effet, si
pour toute valeur de , avec
définie par (4.14), alors
commute avec , ce qui implique que est une constante du mouvement. L’inverse est vrai
également : si est une constante du mouvement, elle commute avec et donc
définie
par (4.14), est unitaire et commute avec . Elle est donc une opération de symétrie.
‚
4.3.2
°
«
‚
«
«
ƒ„  …
Opérateur déplacement ou de translation d’espace (¯ )
²€„ °… . En développant autour de
·
“
’
¡
²
¡
„ –@ …ž ´ œ ³Kµ° „ –@ … µ ž/¶ ¶ ¶ g¶ † “ ›œ –@§³ °H¸ ²
(4.15)
³ µ
³
Considérons la transformation
:
²€„ °–Ÿ …†+²€„ °…:žC³ ²°
³
°±F°–Ÿ
sur une fonction
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
28
¹€º »¼Ÿ½ ¾¿<À ÁÂ Ã Ä Ã Åq¹€º »:¾
Å ¿]º Ç ¾Ë Ë»
È:É Ê É Ïй€peut
º »:¾ écrire
Si on utilise l’opérateur hermitique¹€Æ º »¼Ÿ½ ¾¿<À‰ÁAÌ Â Í Î ,Ä on
qu’on peut écrire formelllement :
(4.16)
(4.17)
º ½ ¾H¿<À‰ÁAÌ Â Í Î Ä ÏÐAÒ
On peut donc définir un opérateur de déplacement spatial :
Ñ
tel que
Ñ
Ѻ ½ ¾
(4.18)
º ½ ¾¹€º »¾¿<¹€º »¼Ÿ½ ¾
¿ Å
est une transformation continue et unitaire avec Ó
»
¹€º »¾
¹€º »¾Æ Õ
(4.19)
¹€º »¼/½ ¾
¹qº »¾¿ º ½ ¾K¹€º »:¾
En général,
fonction de différente de
. Si on dénote par Ô
Ñ est¹ ×une
¿ etº ½ en
¾ ¹notation
×Ò
, alors Ô
ket : º ½ ¾H¿<À‰ÁAÌ Â Í Î Ä ÏÐ
ÖÔ Ñ Ö
Ñ
avec
De la définition (4.18) on voit que
le générateur des translations.
¹€º »¼Ÿ½ ¾
A
Ø
Exemple de la particule libre :
(4.20)
»
Ç unË espace à une dimension . L’HamiltoÙ ¿+dans
¿
Å
¼
Ú
È Û Ë» Û
K
Æ
Û
(4.21)
ÜÙ Û Ú
Å ¿xº Ç ¾Ë Ë» Ü Ù
È:É Ê É , commute avec et il est donc
Å
Ú une constante
L’opérateur impulsion Æ
du
mouvement. On peut alors¹chercher
des
fonctions
propres
simultanées
de
et
de
Æ
.
Elles
sont
Ý ÞKß º »¾¿<À Þ Ì ÅAÒ
¿+â
Ç
de la forme :
à
Ü Ù<ã É È
à
avec á
(4.22)
¹
q
×
¿
¹
×
Ò
¹
×
+
¿
ä
Ç
¹
×
Ý
K
Þ
ß
Ý
K
Þ
ß
Ý
Þ
ß
Ý
K
Þ
ß
Å
Ú
et on a :
Ö à
Ö
È á Ö à
Æ Ö à
(4.23)
º ½ã ¾ à
¿ Ú
¹ Ý ÞKß º »¾
Ñ , défini par (4.18), représente donc
Ú déplacement
L’opérateur de
une transformation de
symétrie et on a å
. Par contre,
¹ Ý Þß ×¿ si onº ½ ¾ l’applique
¹ Ý Þß ×¿<À aux
æ Ì Â fonctions
¹ Ý Þß × à , à partir de (4.20)
on aura :
à Ö à
ÖÔ à
Ñ Ö à
(4.24)
Considérons une particule libre de masse
nien s’écrit :
et on observe que les kets sont affectés d’un facteur de phase (qui n’ont pas d’effet sur les
valeurs moyennes des observables).
4.3. TRANSFORMATIONS CONTINUES ET GÉNÉRATEURS
B
ç
29
Forme générale de l’opérateur de translation à trois dimensions
è :ö ÷
ì íîHï ðPñgé ê òó ô‰õ
Par le même raisonnement, la translation dans une direction autre que , par exemple un déplacement dans la direction , sera représentée par l’opérateur
. Si on applique
une translation de selon et ensuite une autre de selon , on aura :
éê
éø
ë
è
éó
ë
ù ûú üý<þ ÿ Hþ ÿ ù ûü ý<þ ÿ ù ûü
(4.25)
la dernière égalité étant une conséquence de la commutation entre les composantes de : le
groupe de translations dans un espace d’une ou plusieurs dimensions est un goupe Abélien.
Pour particules la généralisation est immédiate et on a :
ý
ù ûú üý ï ÷ ý ù ûü avec
ï ÷ ý/þ ÿ (4.26)
avec l’impulsion totale. On en conclut que si un système physique est invariant
par translation, l’impulsion totale est une constante du mouvement.
4.3.3
Opérateur de rotation ( )
@èë
é
÷
ï è ë
è%$Fè'& ()Ké+*Ÿë%) , -@é ë.$2ðPè') , -@é#*Ÿë/& ()é 0$1
(4.27)
et pour une rotation infinitésimale, telle que 3
é 254 ,
è $36è *Ÿë9é .
/
ë $3ëð§è@é 6$1
(4.28)
ú ë " !÷ 7 û ï .
Soit û ï è#" è *5
ë9é " ëðŸè@é " ÷ la transformée de û ï #è " ë " ÷ . En développant au premier
÷
ordre autour de ï +
è " ë " , on aura :
8
8
÷
÷
û ú ï è#" ë" ÷ ý<û ï è+" ë" ÷ * û ï 8 #è " ë " ëéqð û ï 8 #è " ë " è:é
(4.29)
è
ë
qu’on peut écrire :
û ú ï è+" ë" ÷ ý ï 99ð§ñ é: ; ôAö:õ ÷ û ï è#" ë" ÷
(4.30)
, d’angle autour ! et dans le sens trigonométrique.
Soit une rotation du reférentiel Pour un point #" " on aura la transformation :
avec
: ;
ý
öõ
<
8
8
ñ è 8 ë ð§ë 8 +è =
(4.31)
étant la composante de l’opérateur moment cinétique orbital en mécanique quantique.
?
Pour une rotation finie d’angle > , on peut decomposer la transformation en un produit de
?
$A@ rotations infinitésimales d’angle >
. On a alors :
E
>/: ;
C
B
#" " ?LK
#" " (4.32)
EG, F3D HJI 9G*
ô
ûú ï è ë ÷ ý
ðPñ
Aô öõ
û ïè ë ÷
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
30
et en utilisant M N O6PQSR6T UGVJWX Y/Z
On a donc :
PJ[\ ]
, on obtient :
_ ^ T `#a ba WZ [c\ de f+g h i jk _ T `#a ba WZ
(4.33)
_ ^ T `#a ba WZ [l ] T m!Z _ T `+a ba WZ
(4.34)
où on a introduit l’opérateur de rotation :
l ]
[c\ de f+g h i jk
T m!Z
(4.35)
On voit alors que l’opérateur de rotation représente une transformation continue et unitaire, avec
n
] le générateur des rotations autour de l’axe W . En notation ket on écrira donc :
o _
o
o
^ p [l
]qT m!Z _p [\ de fg h i jk _p
(4.36)
Remarque : La transformation définie par (4.27) correspond à un changement de repère en
effectuant une rotation d’angle V!r autour de l’axe s!W en laissant le système fixe (point de vue
passif ). On peut également l’interpréter comme une rotation du système physique d’angle tur
autour de l’axe s!W en gardant fixe le système de référence (point de vue actif ). Les deux points
de vue sont équivalents. En général, le référentiel est défini par l’appareil de mesure : le point
de vue passif consiste donc à faire tourner l’appareil de mesure.
Av
Action de l’opérateur de rotation sur un harmonique sphérique :
Les fonctions w g x y+z T {a |#Z , où { et | sont les angles polaires du vecteur position } , tels que :
`
[~€
N u{€‚ ƒ

|+„…b
[~€
N u{

N u|+„…W
[~
‚ƒ

{
(4.37)
n
‡Sˆ
sont des fonctions d’onde propres de ] avec valeurs propres †
g . En coordonnées sphériques
n [ ‡
]
T † X ‰ ZŠXqŠ‹| . On a donc :
\
w g x y+z T {a |#ZŒ e y+z 
(4.38)
L’application d’un rotation du système de référence, d’angle m autour de l’axe W , implique
la transformation {0Ž1{ et |/Ž|.tJm . Donc
^
w g x y+z T {a |#Z [c\ de y+z f w g x y+z T {a |#Z
(4.39)
qui est conforme à la transformation (4.36), puisque :
o^
o
o
w g x y+z p [c\ de f+g h i kj w g x y+z p [c\ de y+z f w g x y+z p
(4.40)
4.3. TRANSFORMATIONS CONTINUES ET GÉNÉRATEURS
B
31
Rotation autour d’un axe quelconque et produit des rotations
Considérons une rotation d’angle infinitésimale ‘ autour d’un axe de vecteur unitaire ’ . On
“%”“.•
“
a la transformation :
‘ ’—–
(4.41)
On a donc, au premier ordre en ‘ ,
“ œž
#
“#œ+•
“+Ÿ ˜ š “#œ ™›š “.•
™›
›
™
š
‘ ’—–
‘ ’—–
“+Ÿ ¡ž
Ÿ“
ž“
œ ¤š ¥
¦
’
–
– £
et ¢
on obtient :
En utilisant ’—–
“#œž
• ¦
Ÿ ¥ ¤ œ “#œ
˜ š
™›
š§
‘ ’ ¢ £ ™›š
et pour une rotation finie d’angle ¨ : ©
™˜ ª
žc« ¬­ ®+¯‹° ± ² ³´
™›š
“#œ
(4.42)
(4.43)
©
™ª
(4.44)
L’opérateur de rotation autour d’un axe ’ est donc :
ž « ¬­ ®¯ ° ± ² ³´
µ.¶ š œ
¨
(4.45)
Considérons maintenant une rotation autour de l’axe · suivie par une rotation autour de
©
©
l’axe ¸ . On aura :
˜™ª ž µ.¹ š œ µ.» š œ ™ª
(4.46)
¨Sº
¨
©
mais
¼ « ¬­ ½ ® ¾ ¿ À Á ®¿ Â Ã ² ³´
µ ¹ š œ µ » š œužc
™ª
¨ º
¨
(4.47)
µ ¹ š œ µ » š œuž ¼ µ » š œ µ ¹ š œ
¹
»
œ
¨ º
¨
¨
¨ º : le
En effet, les deux opérateurs Ä et Ä ne commutent
pas et
š
Ç
groupe de rotations dans l’espace, dénoté śÆ
, est continu et unitaire mais les rotations autour
d’axes différents ne commutent pas en général; seules commutent entre elles les rotations autour
d’un même axe et forment donc un sous-groupe Abélien du groupe de rotations.
C
Spin et plusieurs particules
©È
Les expériences montrent que le spin se comporte de la même manière vis-à-vis des rotations. Pour un ket de spin ª , on aura© È la transformation© È :
¬­ ®+¯ ° É ² ³´
˜ ª žc«
ª
(4.48)
et donc, pour une particule avec spin :©
© È (4.49)
™ª ª est le produit d’un ket orbital ™ª et d’un ket de spin © ª .
où Ì
Ê ª
©
©
žcun
Ñ3Ò système
Ð
Ceci se généralise trivialementÊ pour
de
particules
:
le
vecteur
d’état
de ce
­ ÓÔ Ê ­ ª
ª
système étant le produit tensoriel
, on aura
alors :
©
©
Ê ˜ ª žc« ¬­ ®¯ ° Õ² ³´ Ê ª
(4.50)
žc×
­ ­
Ì le moment cinétique totale. On en conclut que si un système est invariant par
avec Ö
rapport aux rotations, le moment cinétique total se conserve.
ž
©
Ê ª ž
¢SÍÏÎ et où
©
©È
©
Ê ˜ ª žc« ¬­ ®+¯‹° Ë ² ´³ Ê ª
©
32
4.4
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Symétries discretes
4.4.1 Opérateur parité (Ø )
L’opération parité consiste à renverser le signe des coordonnées : ÙcÚÜÛ3Ù . Les vecteurs
polaires comme la position, l’impulsion ou le champ électrique changent de signe, les pseudovecteurs comme
moment
cinétique ou le champ magnétique sont invariants. En effet, si
ãä å leæ ç
è
ÙJÚÝÛSÙ ,ç
Þî ï ßáà â
ç ÚÝï Û›Þ et éêßë
ä Ù/ì.ÞíÚCé . De la même manière, les équations de
Maxwell
ì
ßòÛuó‹ô ó õ , montrent que si on admet que ð est invariant par
ï ßñð etï
parité, alors
ÚÜÛ
et ôÝÚöô . On admet que le spin se comporte comme un moment
cinétique et donc ÷JßcéJøÏùÚ1÷ . On a donc les trasformations :
ú
ú0û
Ù
ßüÛSÙ
(4.51-a)
ú
ú û
Þ
ßüۛÞ
(4.51-b)
ú
ú0û
÷
ßý÷
(4.51-c)
ï
ú ï ú0û
ßüÛ
(4.51-d)
ú
ú û
ô
ßþô
(4.51-e)
Ces transformations donnent des limitations sur le type de termes qu’on peut avoir dans
l’Hamiltonien décrivant un système invariant par parité (interactions
î
î ï électromagnétiques et interactions nucléaires fortes) : des termes de la forme Þ ô ou ÷
par exemple, ne sont pas
permis.
ú
ú û ú
Montrons que l’opérateur associé à cette transformation est unitaire. On a ÿ ú û ß
ú
ú û
ÿ ú æ où
æ . En appliquant la définitionú deû ú l’adjoint d’un opérateur : ÿ ß
ß
à ÿ ßêà ÿ ßêÿ . On a donc ÿ Sßêÿ , et si on explicite
les intégrales :
à Ù æ ú û ú à Ù æ ß à Û3Ù æ à ÛSÙ æ
Ù
Ù
(4.52)
Mais avec le changement de variables Ù ßÛSÙ on a :
æ
æ
à ÛSÙ æ à Û3Ù æ ßíÛ Ù
Ù à Û3Ù à Ù (4.53)
ú û ú
ú
%ß¡ÿ : l’opérateur parité es unitaire. En outre, commeú ßú ,
et donc ÿ ß
puisque deux opérations parité successives redonne le système d’axes d’origine,
ú
ú û
et on en déduit que
ß
parité est également hermitique. Si on dénote par
ú : l’opérateur
ú
ú
les vecteurs propres de tels ú que 0ß , alors 6ß ú 0ß , et on en
déduit que les valeurs porpres de sont ß! . Les états pour lesquels 6ßáø ú
sont appelés états paires et ceux pour lesquels 3ßñÛ" états impaires. Ces états sont
orthogonaux (vecteurs propres d’un opérateur hermitique correspondants à des valeurs propres
non-dégénérés) et constituent une base complète. En effet, n’importe quel état peut s’écrire
æä +
ú
ß #&
ø avec '(Gßëà æ #)#*
ø
#) . Le groupe correspondant à
sous la forme : #$%
ø ,Û et il est dénoté . .
l’opération parité a donc deux éléments à "
4.4. SYMÉTRIES DISCRETES
33
Comme /-01/%2%0 , / commute avec 34 et 365 . Les vecteurs propres 7 398 :<; doivent donc
être de parité définie. Cependant, pour un 3 donné, leur parité ne peut pas dépendre de la valeur
de : . En effet, si on pose /<7 398 :<;=2?>=@ 398 :<A(7 398 :<; avec >B@ 398 :<A2&C"D , on a :
IBJ
/?3E$/<7 398 :<;F2G>=@ 398 :<A/*3E7 398 :<;2?>B@ 398 :<AH 3=@ 3"K?DAL-:M@ :K?D A/<7 398 :NK?D;
IBJ
2G>=@ 398 :<A>B@ 398 :K?D AH 3=@ 3"K?DALO:M@ :K?DA(7 398 :K?D ;
(4.54)
mais par ailleurs, de (4.51-c) on tire :
I J
/*3 E /<7 398 :<;=2M3 E 7 398 :<;=2<H 3@ 3PK?DA(L-:M@ :K?DA(7 398 :K?D ;
et on en conclut que >B@
même parité.
AQ
398 :<A9>=@ 398 :NK-DA2&D
: pour un
3
donné, les états de :
(4.55)
différent ont la
Application aux harmoniques sphériques
Les harmoniques sphériques RS T UV@ W98 X(A sont des polynômes d’orde Y de Z6[
S
parité est donc donnée par @ LVA . On a par exemple :
\ 8 ][ \8 ^ _ `9[ \
. Leur
J
Ra aN2
D [ b>
J d
J d
R(c aN2
[ b>fe ghW2
[ b>`[ \
J d
J d
[ j >fh k lVW=^ m n2ML
[ j>P@ Z"KOo ]A [ \
R(c cF2iL
(4.56)
etc.
4.4.2
Cas du spin et de p -particules
Pour les états de spin, on ne sait pas comment l’opération parité va les transformer. Cépendant pour l’état de q2D [r on peut choisir le signe plus, ce qui fera que tous les états de
composition de spin seront paires. Pour s -particules, les vecteurs d’état pourront toujours s’exprimer par des produits des harmoniques sphériques et de fonctions de spin. La parité d’un de
S u . Si l’Hamiltonien du système est invariant par parité, seuls les
ces produits est donc @ LD A t
états de mémé parité pourront être combinés et les états stationnaires seront de parité définie.
4.4.3
Opérateur réfléxion par rapport à un plan (v
)
On appelle transformation-miroir la réflexion par rapport à un plan. Considérons par exemple
le plan wVZ] et dénotons la transformation par x@ Z8 ]A . On a après transformation : Z<yzZ ,
]y!] et `"yLV` . On note que :
/&2?{4@ >Ax@ Z8 ]A2?x@ Z8 ]A9{4 @ >A
(4.57)
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
34
En effet, l’opération de rotation d’un angle | autour de l’axe }~ change le signe de  et de
€ en laissant invariant le signe de ~ . Le produit des deux opérations inverse donc le signe de
toutes les coordonnées. On en conclut donc, que si le système est invariant par rotation autour
d’un axe donné la transformation parité est équivalente et la réflexion par rapport à un plan
perpendiculaire à l’axe de rotation. Souvent donc on associe à la parité l’image dans un miroir.
A partir de (4.57) on peut également écrire :
‚ € „…?†‡ ‚ ˆ „9‰&…?‰f†‡ ‚ ˆ „
(ƒ
|
|
(4.58)
‚ €„ Š ‚ €„… ‚ €„ ‚ €„ Š"…‹
(ƒ
ƒ
ƒ
(ƒ
et donc, en utilisant ‰Š9‰…F‰f‰"ŠP…‹ , on a
:
l’opérateur de la transformation est unitaire.
‚
(ƒ ~ „
sur un état propre
Œ <Ž
Considérons la réflexion sur le plan
}V~
Action de
et son action sur
‡
. On a :
’“
’“
ˆ €
‚ „
 ‚ „"”
‡
„
‘
…

…
 ‚ ƒ ~ „"” ˆ –
ƒ ~ 
(ƒ ~ –• €
•
 • €1˜ € •
(ƒ ~
 —

—
•
•
•
 ‚ „ •
… ˆ ‡ (ƒ ~
(4.59)
Donc, si Œ <Ž est un vecteur propre de  ‡ , on aura :
‚
‚
ˆ$‚ „ ‡
ˆ ’
‚
 ‡B™ (ƒ ~ „ Œ 9ƒ <Ž š …
(ƒ ~  Œ 9ƒ <Ž …   ™ ƒ ~ „ Œ 9ƒ <Ž š
(4.60)
‚ „
ˆ
(ƒ ~ Œ <Ž doit être proportionnel au ket Œ <Ž : l’action de l’opérateur
d’où on déduit que
réflexion sur un plan contenant l’axe }~ sur un état propre de  ‡ est de changer le signe de  .
‚ „ ›B…M‹
Comme
ƒ ~
la constante de proportionalité est œ ‹ .
Remarque : L’état Œ <Ž n’est pas obligatoirement un vecteur propre de  › et le théorème
s’applique à n’importe quelle combinaison :
ž
Œ <Ž …O ž%Ÿ Œ 9ƒ <Ž
4.5
(4.61)
Applications
4.5.1 Dégénérescence des sous-niveaux magnétiques
Pour un système isolé, l’Hamiltonien est invariant par rotation autour d’un axe quelconque. Le générateur des rotations étant le moment cinétique total ¡ , cette invariance implique
que ¡ commute avec . Considérons le commutateur ¢ 1ƒ £6¤ …–¥ appliqué sur un état propre
ž §¨
de  › et  ‡ :
…
<
…
¦
&£Œ 9ƒ <Ž £ –Œ 9ƒ <Ž
£Œ 9ƒ <Ž
(4.62)
4.5. APPLICATIONS
où on a posé
35
©«ª ¬9­ ®<¯=°<±V² ³ ´<ª ¬9­ ®<¯ . Comme
·B¸
¬µª ¬9­ ®<¯=°&¶ ¬=¹ ¬"º?»¼½-®M¹ ®¾?»¼(ª ¬9­ ®¾?» ¯
(4.63)
on en déduit que :
± ² ³ ´Vµ6¿ ª ¬9­ ®¾?»¯°<± ² ³ ´ ª ¬9­ ®¾?» ¯
(4.64)
et donc que les valeurs propres ne dépend pas de ® : les sous-niveuax magnétiques sont dégénérés en énergie.
4.5.2
Effet Stark
Considérons un système atomique soumis à l’action d’un champ électrique selon l’axe
L’Hamiltonien du système s’écrit :
©%°<©ÂB½fÃÄ(Å
ÀÁ
.
(4.65)
où © Â est l’Hamiltonien de l’atome libre, Ã est l’amplitude du champ et Æ1Ç Å °%È É=ÊÌËÁ Ë est
l’opérateur moment dipolaire électrique. L’Hamiltonien © commute avec ¬ Å mais il ne commute pas avec ¬6Í . Les états stationnaires sont donc de la forme (4.61) avec ©–ª ®<¯=°<±$´<ª ®<¯ .
Par ailleurs, ι Ï­ Á9¼ commute aussi avec © , et donc
©*ι Ï­ Á9¼(ª ®<¯=°?ι Ï(­ Á¼©–ª ®<¯=°<± ´ ι Ï­ Á9¼ ª ®<¯
(4.66)
Mais ι Ï­ Á9¼(ª ®<¯B°M¾"»­ ª ½*®<¯ et donc ©*ι Ï­ Á9¼(ª ®<¯B°&±Vдfι Ï(­ Á¼ª ®<¯ . On en conclut
de ces dernières équations que ±VдM°M±$´ : les états de nombre quantiques ¾® sont dégénérés.
Remarque : Les opérateurs ¬ Å et ι Ï­ Á9¼ commutent avec © , mais ils ne commutent pas
entre eux. Donc, on ne peut pas avoir de vecteurs propres communs aux trois opérateurs. Il faut
donc choisir entre des vecteurs propres communs à © et ¬Å (c’est ce qu’on a fait plus haut)
où des vecteurs propres communs à © et ι Ï(­ Á¼ . Ces vecteurs propres sont des combinaisons
linéaires des états dégénérés avec ¾® .
4.5.3
Eléments de matrice du moment dipolaire électrique
Considérons les éléments de matrice Ñ Ò¿ ª ÓfÔ?ÇVÓ1ª Ò ¯ où Ô<Ç est l’opérateur moment dipoÍ
laire électrique Õ-°<È É=ÊÌË(Ö Ë . Pour des états de parité définie, on aura :
Ñ Ò ¿ ª ÓOÕÓª Ò Í =
¯ °*× ¿ × Í Ñ Ò ¿ ª Õª Ò Í ¯
(4.67)
où ×6¿=°&¾» et × °&¾» sont les parités des états ª Ò¿ ¯ et ª Ò ¯ , respectivement. Mais l’opérateur
Í
Í
Ô<Ç change de signe sous l’action de l’opérateur parité : ÓOÕÓ«°«½$Õ et donc les éléments de
matrice de Õ sont nuls si × ¿ × °M½» .
ÍØ
Règle de Laporte : Les éléments de matrice du moment dipolaire électrique s’annulent si
les états on la même parité.
36
CHAPITRE 4. SYMÉTRIES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Le corollaire de cette règle est que les systèmes isolés dans des états non-dégénérés en énergie ne peuvent pas avoir un moment dipolaire électrique permanent. Pour des états dégénérés
de parité différente (états Ù9Ú et Ù Û de l’atome d’hydrogène, par exemple) il est possible de définir des combinaisons linéaires qui ont un moment dipolaire permanent non nul (effet Stark
linéaire).