Changements de représentation en physique quantique 1

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected]ytechnique.fr)
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 3 (23 janvier 2017)
Changements de représentation en physique quantique
La représentation de l’état d’un système en physique quantique n’est pas unique. Un exemple
trivial est l’indétermination de la phase globale du système. Plus généralement, il existe une
infinité de représentations d’un même système. Un choix adéquat de représentation permet parfois
de simplifier considérablement le problème étudié. Après avoir introduit la notion de changement
de représentation en physique quantique, nous l’appliquons à la représentation de Heisenberg puis
à la représentation du champ de rayonnement en présence d’un champ laser cohérent.
1 Propriétés générales
On considère un système quantique quelconque régi par le hamiltonien ˆ H(t)et on note |ψ(t)i
son état à l’instant t. On appelle changement de représentation toute opération unitaire ˆ T(t),
dépendant éventuellement du temps, qui transforme l’état |ψ(t)ien le nouvel état
|ψ′(t)i=ˆ T(t)|ψ(t)i.(1)
1. Justifier que le ket |ψ′(t)iest normalisé et contient toute l’information physique relative
au ket |ψ(t)i.
2. Montrer que dans la nouvelle représentation le hamiltonien s’écrit
ˆ
H′(t) = ˆ T(t)ˆ H(t)ˆ T(t)†+i~dˆ
T(t)
dt ˆ
T(t)†(2)
et vérifier que c’est un opérateur hermitien.
3. Montrer que les opérateurs autres que le hamiltonien sont transformés selon la loi
ˆ
O′(t) = ˆ T(t)ˆ O(t)ˆ T(t)†(3)
lors du changement de représentation.
4. Pour deux observables ˆ O1et ˆ O2, démontrer la relation [ˆ O′
1,ˆ
O′
2] = ˆ
T[ˆ O1,ˆ O2]ˆ T†.Qu’en
déduire lorsque le commutateur [ˆ O1,ˆ O2]est un nombre ?
2 Représentation de Heisenberg et application au rayonnement libre
On considère un système quantique quelconque d’état |ψS(t)ien représentation de Schrödinger
(S). La représentation de Heisenberg (H) est obtenue par le changement de représentation ˆ T(t) =
ˆ
U(t, t0)−1où ˆ U(t, t0)est l’opérateur d’évolution entre les instants t0et t.
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1. L’opérateur d’évolution est défini de manière à ce que |ψS(t)i=ˆ U(t, t0)|ψS(t0)iquelque
soit l’état initial |ψS(t0)i.
(a) Justifier que l’opérateur ˆ U(t, t0)existe et est unique et unitaire.
(b) Montrer que pour trois instants tjquelconques, on a ˆ U(t2, t0) = ˆ U(t2, t1)ˆ U(t1, t0).
(c) Etablir l’équation d’évolution de ˆ U(t, t0).
2. Ecrire les expressions de l’état et des observables autres que le hamiltonien en représen-
tation de Heisenberg en fonction de leurs expressions en représentation de Schrödinger.
3. Etablir l’équation d’évolution d’une observable autre que le hamiltonien,
i~dˆ
OH
dt =hˆ
OH,e HHi+i~ dˆ
OS
dt !H
où e HH=ˆ U†ˆ
HSˆ
U. (4)
4. On s’intéresse à présent au rayonnement libre en représentation de Heisenberg.
(a) Etablir les équations d’évolution explicites des opérateurs ˆaℓ(t)et de ˆa†
ℓ(t).
(b) En déduire les expressions de ces opérateurs.
(c) Ecrire les expressions de l’opérateur champ électrique ˆ
~
E(~r, t)et de sa valeur moyenne
h~ E(~r, t)i. Pour chaque mode ℓ, on posera αℓ≡ hˆaℓ(0)iet ϕℓ=arg(αℓ).
3 Représentation du rayonnement adaptée à la présence d’un champ laser
On considère un champ de rayonnement libre monomode de mode ℓquelconque. On rappelle que
pour deux opérateurs ˆ Aet ˆ Bet une fonction analytique fquelconques, on a
1. Si ˆ Bcommute avec [ˆ A, ˆ B], alors [ˆ A, f (ˆ B)] = [ ˆ A, ˆ B]f′(ˆ B) = f′(ˆ B)[ ˆ A, ˆ B];
2. Si ˆ Aet ˆ Bcommutent avec [ˆ A, ˆ B], alors exp( ˆ A+ˆ B) = exp( ˆ A) exp( ˆ B) exp(−[ˆ A, ˆ B]/2).
1. On introduit l’opérateur déplacement
ˆ
Dℓ(α) = exp αˆa†
ℓ−α∗ˆaℓ.(5)
(a) Etablir la double égalité ˆ Dℓ(α)†=ˆ Dℓ(α)−1=ˆ Dℓ(−α).
(b) Exprimer l’opérateur ˆ Dℓ(α)en séparant les opérateurs ˆaℓet ˆa†
ℓdans deux exponen-
tielles différentes.
(c) Calculer le commutateur [ˆaℓ,ˆ Dℓ(α)].
(d) Montrer que ˆ Dℓ(α)|0i=|αiℓ.
2. On effectue à présent le changement de représentation défini par la transformation ˆ T(t) =
ˆ
Dℓ[α(t)]−1avec α(t) = α(0)e−iωℓt.
(a) Montrer que dans la nouvelle représentation les expressions du hamiltonien et de l’opé-
rateur d’annihilation d’un photon dans le mode ℓsont respectivement
ˆ
H′
ℓ=~ωℓ(ˆa†
ℓˆaℓ+ 1/2) et ˆa′
ℓ= ˆaℓ+α(0)e−iωℓt.(6)
(b) En déduire les expressions des opérateurs ˆ
~
A′(~r, t),ˆ
~
E′(~r, t)et ˆ
~
B′(~r, t).
(c) Si l’état du rayonnement dans la représentation initiale est l’état cohérent |αiℓ, quel
est-il dans la nouvelle représentation ?
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4 Lame séparatrice optique
Une lame séparatrice est un dispositif optique qui sépare des faisceaux d’entrée selon les voies 1
et 2en des faisceaux de sortie selon les voies 3et 4(voir la figure 1). D’un point de vue classique,
les relations de continuité au passage des dioptres impliquent que, pour des faisceaux de même
fréquence et polarisés perpendiculairement aux axes d’incidence, on peut écrire
(E(+)
3cl (~r, t) = ρ E(+) 1cl (~r, t) + τ E(+) 2cl (~r, t)
E(+)
4cl (~r, t) = τ E(+) 1cl (~r, t)−ρ E(+) 2cl (~r, t)(7)
aux points ~r situés sur la lame. Les quantités réelles ρet τsont respectivement les coefficients
de réflexion et de transmission de la lame et vérifient la relation ρ2+τ2= 1. Par argument
de complémentarité, on postule alors qu’en représentation de Heisenberg, les champs quantiques
ˆ
E(+)
ℓ(~r, t)sont transformés comme leurs équivalents classiques par les relations (7).
1. Montrer que la version quantique des équations (7) conserve les relations de commutation
des modes du rayonnement ℓ3et ℓ4ainsi que le nombre de photons.
2. Exprimer ˆ E(+)
1(~r, t)et ˆ
E(+)
2(~r, t)en fonction de ˆ
E(+)
3(~r, t)et ˆ
E(+)
4(~r, t).
3. On suppose que la lame est éclairée au point ~r = 0. Déterminer l’état du champ en sortie
de lame pour les états entrants suivants :
(a) L’état à un photon selon ℓ1et le vide selon ℓ2, i.e. |1,0i= ˆa†
1|0,0i.
(b) L’état à un photon selon ℓ1et un photon selon ℓ2, i.e. |1,1i= ˆa†
1ˆa† 2|0,0i. Que se
passe-t-il lorsque la lame est semi-réfléchissante, i.e. pour ρ=τ= 1/√2? Commenter.
(c) Un état cohérent |αiselon ℓ1et le vide selon ℓ2. On pourra montrer que l’état de sortie
est un état propre commun à ˆa3et ˆa4.
Figure 1 – Lame séparatrice. Les deux voies d’entrée
sont notées 1et 2et les deux voies de sortie sont notées
3et 4. On place un détecteur de photons sur chacune
des voies de sortie.
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