Nombres Calculs Equations - Cours et exercices de mathématiques

Seconde
Nombres et calculs
I. Ensembles de nombres
1. N est l’ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 …}
2. Z est l’ensemble des entiers relatifs. Il comprend les entiers naturels et leurs opposés.
Z = {… – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 …} (Z comme zahl en allemand).
3. D est l’ensemble des décimaux. Ce sont les nombres dont l’écriture décimale ne comporte qu’un
nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent donc s’écrire sous la forme
signe partie entière , partie décimale comme par exemple 12,035.
Remarques.
Les entiers relatifs sont les décimaux dont la partie décimale est 0.
a
Les décimaux peuvent s’écrire sous la forme n avec a dans Z et n dans N comme par exemple 12,035
10
– 12 035 – 12 035
=
=
.
1000
103
4. Q est l’ensemble des nombres rationnels (Q comme quotients).
Ce sont les résultats de l’opération
a
b
avec a dans Z et b dans N (b
0) comme
2
.
7
Remarques.
Les décimaux sont des rationnels.
Lorsque qu’on effectue la division
a
b
on obtient signe partie entière , partie décimale…
La partie décimale peut être illimitée, mais dans ce cas le même groupe de chiffres se répète infiniment,
par exemple
25
11
 – 2, 27272727…
5. R est l’ensemble des réels. Ce sont tous les nombres qui correspondent à des longueurs et à leurs
opposés.
Remarques. Les rationnels sont des réels.
Les réels qui ne sont pas des rationnels sont appelés « irrationnels » comme
d’un cercle de diamètre 1,
ou
2 ( est la longueur
2 est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1).
L’ensemble des nombres réels est usuellement représenté par une droite munie d’un repère (O, I), O est
l’origine du repère, OI est l’unité de longueur.
Chaque point M correspond à un nombre réel x et chaque réel x correspond à un point M.
O
I
M
6. On constate que tous entiers naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal…
On dit que N est inclus dans Z, Z est inclus dans D… On le note N Z D…
7. Ecriture décimale d'un nombre. Exercice 1. Compléter le tableau.
Valeur …
exacte
4
12,0827
2
63
5
7
52
15
approchée à 0,01 prés par défaut
approchée à 0,01 près par excès
tronquée à 3 décimales
arrondie à 0,1 près (au plus proche)
arrondie à 4 chiffres significatifs (*)
(*) On compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul à gauche.
II. Puissances de dix, écriture scientifique, priorités
1. Les puissances de dix.
10 3 = 1 000 (millier)
10 3 = 0, 001 (millième)
10 6 = 1 000 000 (million)
10 6 = 0, 000 001
10 9 = 1 000 000 000 (milliard)
10 9 = 0, 000 000 001
2. Ecriture scientifique.
Un nombre décimal peut s’écrire de plusieurs façons.
Exemples.
a
734000
734 10 3
b
0,00456
0, 456 10
7 ,34 10 5
2
4,56 10
3
.
Parmi toutes ces écritures, on distingue l’écriture scientifique obtenue en plaçant la virgule juste après le
premier chiffre autre que 0.
Ainsi l’écriture scientifique de 716,28 est 7 ,1628 10 2 et celle de 0,00783 est 7,83 10 3 .
Exercice 2. Donner l’écriture scientifique les nombres suivants :
2478,34 =
67,167 =
260,045 =
0,00054 =
3. Écriture scientifique et calculatrice.
Pour écrire 1,1 10 5 je tape :
Pour écrire 1,2 10 9 je tape :
A l'écran de la calculatrice je lis 1.23 23,
A l'écran de la calculatrice je lis 5.2 6,
,
,
0,567 =
0,082 =
à l'écran je lis ..........................
à l'écran je lis ..........................
c'est le nombre : ...........................
c'est le nombre : ...........................
4. Priorités de calculs.
La calculatrice connaît les priorités d’opérations. En l’absence de parenthèses, l’ordre est le suivant
1. Les opérateurs et fonctions comme : opposé (-) ; racine carrée ; puissance ...
2.  et  dans l’ordre de lecture.
3. + et – dans l’ordre de lecture
 Il ne faut pas confondre (-) (opposé) et – (soustraction)
 La multiplication implicite est prioritaire sur . 123 donne
1
2 3
et 12 3 donne
1
2
3.
Exercice 3. Calculer avec 3 chiffres significatifs
3
D
3
A
E=
3
3
3
2
2
π
5
B
F
3
2
C
5
1
2 9
3
3
2
5
1
G
2
5
III. Arithmétique
Définition. a et b étant deux nombres entiers, on dit que a est un diviseur de b si le reste de la division
euclidienne de a par b est nul.
Exemples.
6 est un diviseur de 42 car 42 = 6 7.
5 n’est pas un diviseur de 17 car 17 = 5
3 + 2 (le reste de la division euclidienne est 2).
Vocabulaire. 6 est diviseur de 42. On peut aussi « 42 est un multiple de 6 » ou « 6 divise 42 ».
Exercice 4. Trouver la liste des diviseurs de 24, 42 puis le pgcd de 24 et 42.
Retrouver ce résultat en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Critères de divisibilité. Un entier est divisible par :
2
si il est pair.
3
si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
5
si il se termine par 5 ou 0.
9
si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
10
si il se termine par 0.
Exercice 5.
450 est divisible par ...........................
264 est divisible par ...........................
Définition. Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n’admet pas d’autres diviseurs que
1 et lui-même.
Exemples. 7 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7.
6 n’est pas un nombre premier car 2 3 = 6.
Exercice 6. Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 50.
Remarque. Ne pas confondre :
« Nombre premier » et « deux nombres premiers entre eux ».
(Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1).
Nous avons le théorème fondamental suivant, qui ne sera pas démontré.
Théorème.
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est soit premier, soit le produit de plusieurs nombres premiers.
Dans ce dernier cas, la décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre près des facteurs.
Exercice 7. Décomposer les nombres suivant en produit de nombres premiers.
12
26
50
30.
Seconde
Nombres et calculs
Correction des exercices du cours
Ensembles de nombres.
Exercice 1. Complétons le tableau.
Valeur …
exacte
12,0827
approchée à 0,01 prés par défaut
approchée à 0,01 près par excès
tronquée à 3 décimales
arrondie à 0,1 près (au plus proche)
arrondie à 4 chiffres significatifs (*)
12,08
12,09
12,082
12,1
12,08
4
2
63
0,06
0,07
0,063
0,1
0,06349
5
1,41
1,42
1,414
1,4
1,414
7
52
13,22
13,23
13,228
13,2
13,23
15
201,39
201,40
201,395
201,4
201,4
(*) On compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul à gauche.
Puissances de dix, écriture scientifique, priorités.
Exercice 2. Donnons l’écriture scientifique les nombres suivants :
2478,34 =
67,167 =
0,567 =
260,045 =
0,00054 =
0,082 =
Exercice 3. Calculons avec 3 chiffres significatifs. A 
C
F
3
2
3
1
2 9
2
B
E=
3
1
G
3
3
2
3
D
5
3
.
2
3
2
5
π
5
.
5
Arithmétique.
Exercice 4. Trouvons la liste des diviseurs de 24, 42 puis le pgcd de 24 et 42.
et
donc
Retrouvons ce résultat en utilisant l’algorithme d’Euclide.
La division euclidienne de 42 par 24 a pour quotient 1 et reste 18, donc
La division euclidienne de 24 par 18 a pour quotient 1 et reste 6, donc
La division euclidienne de 18 par 6 a pour quotient 3 et reste 0, donc
Le pgcd est le dernier reste non nul, donc
.
Exercice 5.
6.
.
.
.
450 est divisible par 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450.
264 est divisible par 1, 2 , 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264.
Exercice 6. Trouvons tous les nombres premiers inférieurs à 50.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
Exercice 7. Décomposons les nombres suivant en produit de nombres premiers.
12 =
.
26
.
50 =
37
41
.
43
30 =
47
.
Seconde
Nombres et calculs
Exercices
Ensembles de nombres.
Exercice 1. Les ensembles de nombres.
0
3,5
4,0
230
5
3,14
22
7
–7
7
3
12
3
1
2
N
Z
D
Q
R
–
2
100
1000
N
Z
D
Q
R
1. Mettre une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l’ensemble indiqué.
2. Comment interpréter ce que l’on a obtenu dans la dernière ligne ?
3. Comment appelle t-on les nombres pour lesquels seule la dernière case de la colonne est cochée ?
4. Comment ce tableau permet-il de retrouver les inclusions successives des ensembles N, Z, D, Q, R ?
Exercice 2. Calcul et calculatrice. La calculatrice ne travaille qu’avec des décimaux, mais elle a un
comportement satisfaisant avec la plupart des calculs. Quand on utilise une calculatrice, il faut garder en
2
tête le triple aspect d’un nombre. Par exemple, pour le rationnel :
7
2
● Le nombre exact que l’on pense entrer dans la calculatrice : la valeur .
7
● Le nombre affiché à l’écran de la calculatrice : valeur arrondie à 10 chiffres significatifs.
● Le nombre avec lequel la calculatrice travaille : valeur ayant 3 chiffres de plus en réserve.
A faire sur la calculatrice.
a. Taper sur la touche
de la calculatrice. Lire et noter la valeur affichée d à l’écran.
b. La valeur affichée pour π est-elle exacte ?
c. Effectuer à la calculatrice : touche
– valeur d affichée pour . Noter le résultat obtenu.
La valeur d affichée était-elle une valeur approchée de par défaut ou par excès ?
d. Trouver une façon d’obtenir la valeur de mise en réserve dans la calculatrice.
Puissances de dix, écriture scientifique, priorités.
Exercice 3. Puissances de 10.
1. Écrire sous forme de puissance de 10 :
a.
b. Un milliard
c.
d. Un cent-milliardième
e.
g.
h.
f.
.
2. Ranger dans l’ordre croissant les trois nombres :
le carré d’un milliard.
Exercice 4. Effectuer et donner le résultat en écriture scientifique.
a.
b.
d.
e.
g.
h.
c.
f.
.
Arithmétique.
Exercice 5. Le crible d’érathostène1. Cet algorithme (programme de calcul) permet de déterminer tous les
nombres premiers (inférieurs à 100 par exemple). La procédure est la suivante :
1. On construit un tableau dans lequel on dispose tous les nombres impairs inférieurs à 100 (sachant que 2
est le seul nombre premier pair).
11
21
31
41
51
61
71
81
91
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
2. Le premier nombre, 3 est premier. On élimine tous les multiples de 3 du tableau (le faire…)
3. Le nombre suivant, non éliminé, est 5. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 5 du
tableau (le faire…).
4. Le nombre suivant, non éliminé, est 7. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 7 du
tableau (le faire…)
5. Le nombre suivant, non éliminé, est 11. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 11
du tableau (le faire…)
6. Justifier que le procédé est terminé. Noter alors tous les nombres premiers obtenus.
1
Ératosthène (v. 276-v. 194 av. J.-C.), mathématicien, astronome, géographe et poète grec.
Il est le premier à donner une évaluation précise de la circonférence de la Terre. Il est ainsi capable par
des calculs trigonométriques de déterminer la circonférence de la Terre (près de 40 000 km). Il constitue
un catalogue (aujourd’hui perdu) de 675 étoiles. Il est surtout connu pour avoir mis au point une
méthode, dite «crible d’Ératosthène», permettant de déterminer les nombres premiers.
Exercice 6.
Décomposer les nombres proposés en produits de nombres premiers (utiliser les puissances si besoin).
A = 48 17
B = 70
C = 72
D = 56 14
E = 23 36.
Exercice 7. Simplifier les fractions suivantes en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
A
20
14
B
24 18
60
C
15 25
50
22
D
18 14
56
.
Remarques et énigmes sur les nombres premiers.
 Euclide a démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers (considérer par exemple les
diviseurs premiers de
).
 Pourtant, les nombres premiers sont de plus en plus rares dans l’ordre croissant. (Il y a 4 nombres
premiers entre 1 et 10 mais seulement 1 nombre premier entre 90 et 100).
 On ne sait toujours pas s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux (comme 11 et 13).
 Goldbach a conjecturé (en 1742) que tout nombre entier pair supérieur ou égal à 4 était la somme
de deux nombres premiers
Seconde
Nombres et calculs
Correction des exercices
Exercice 1. Les ensembles de nombres.
0
3,5
4,0
–7
7
3
12
3
1
2
N
x
x
Z
x
x
x
x
D
x
x
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
3,14
22
7
–
230
5
x
2
100
1000
x
N
Z
x
x
D
x
x
Q
x
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1. Mettons une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l’ensemble indiqué.
2. Tous les nombres appartiennent à l’ensemble des réels.
3. Les nombres pour lesquels seule la dernière case de la colonne est cochée sont les irrationnels.
4. Ce tableau permet de retrouver les inclusions successives des ensembles N, Z, D, Q, R. Lorsqu’une
cellule est cochée, il en est de même de toutes celles situées en dessous.
Exercice 2. Calcul et calculatrice.
La calculatrice ne travaille qu’avec des décimaux, mais elle a un comportement satisfaisant avec la
plupart des calculs. Quand on utilise une calculatrice, il faut garder en tête le triple aspect d’un nombre.
2
Par exemple, pour le rationnel :
7
2
● Le nombre exact que l’on pense entrer dans la calculatrice : la valeur .
7
● Le nombre affiché à l’écran de la calculatrice : valeur arrondie à 10 chiffres significatifs.
● Le nombre avec lequel la calculatrice travaille : valeur ayant 3 chiffres de plus en réserve.
A faire sur la calculatrice.
a. Tapons sur la touche
de la calculatrice. On lit la valeur affichée d à l’écran
.
b. Non, la valeur affichée pour π n’est pas exacte car est un nombre irrationnel, la suite de ses
décimales est infinie et ne se répète pas périodiquement.
c. Effectuons à la calculatrice : touche
– valeur d affichée pour .
On note le résultat obtenu :
.
La valeur d affichée était-elle une valeur approchée de par excès car
donc
.
d. Trouvons une façon d’obtenir la valeur de mise en réserve dans la calculatrice.
Comme
alors
.
Donc
.
Puissances de dix, écriture scientifique, priorités.
Exercice 3. Puissances de 10.
1. Écrivons sous forme de puissance de 10 :
a.
b. Un milliard
c.
d. Un cent-milliardième
e.
f.
g.
h.
.
2. Rangeons dans l’ordre croissant les trois nombres :
le carré d’un milliard
Donc :
.
.
Exercice 4. Effectuons et donnons le résultat en écriture scientifique.
a.
b.
.
.
Arithmétique.
Exercice 5. Le crible d’érathostène. Cet algorithme (programme de calcul) permet de déterminer tous les
nombres premiers (inférieurs à 100 par exemple). La procédure est la suivante :
1. On construit un tableau dans lequel on dispose tous les nombres impairs inférieurs à 100 (sachant que 2
est le seul nombre premier pair).
11
21
31
41
51
61
71
81
91
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
2. Le premier nombre, 3 est premier. On élimine tous les multiples de 3 du tableau (en rouge).
3. Le nombre suivant, non éliminé, est 5. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 5 du
tableau (en bleu).
4. Le nombre suivant, non éliminé, est 7. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 7 du
tableau (en vert).
5. Le nombre suivant, non éliminé, est 11. C’est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 11
du tableau (il n’y en a déjà plus !)
6. Le procédé est terminé. S’il existait un nombre non premier dans le tableau, deux de ses facteurs
premiers seraient au moins égaux à 11, donc ce nombre serait supérieur à 121.
Les nombres premiers sont : 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59
– 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97.
Exercice 6.
Décomposons les nombres proposés en produits de nombres premiers (utilisons les puissances si besoin).
A = 48 17
.
B = 70
.
C = 72
.
D = 56 14
.
E = 23 36
.
Exercice 7. Simplifions les fractions suivantes en utilisant la décomposition en facteurs premiers.