"des liaisons" -acides -orbital

ETUDE DE
LA BORNE REGLABLE
Liaisons, Cinématique, Statique et
hyperstatisme
1
I. Définition
On appelle système mécanique un ensemble organisé de pièces
reliées par des liaisons et destiné à remplir une fonction bien
déterminée.
Exemple: Buté réglable
II. Fonction globale:
La fonctions principale correspond
au service rendu par le système mécanique
en vue de répondre à un besoin
La borne réglable peut être utilisé
comme élément de montages d’usinage. Il réalise
un contact localisé réglable en position verticale.
Pour cela, la semelle est fixée sur le montage
d’usinage, et le contact avec la pièce à usiner se
fait par la butée 6. La position verticale de cette
butée 6 est réglée en actionnant la vis moleté 4. Le
même système peut être utilisé pour le
dégauchissage des pièces mécanique en
métrologie (réglage de planéité dans le TP de
métrologie par exemple).
2
3
3
2
1
5
4
5
7
6
4
5
6
PRESENTATION DES LIAISONS DANS LA BUTEE REGLABLE
1. Liaison pivot entre 5 et 1
Pièces intervenantes
dans la liaison glissière
1 = {1,
{ 2, 3}}
1
7
1
5
3
2
7
Montage des pièces pour
assurer la liaison
Cinématique
de la liaison
8
2. Liaison hélicoïdale entre 5 et 4
Pièces intervenantes
dans la liaison hélicoïdale
9
Montage des pièces pour
assurer la liaison
Cinématique de la liaison
10
3. Liaison glissière entre 4 et 1
Pièces intervenantes
dans la liaison glissière
1 = {1,
{ 2, 3}}
1
7
1
4
3
2
11
Montage des pièces pour
assurer la liaison
Cinématique
de la liaison
12
4. Liaison appui-plan entre 4 et 6
Pièces intervenantes
dans la liaison glissière
6
4
13
Montage des pièces pour
assurer la liaison
Cinématique de la liaison
14
5. Liaison pivot-glissant entre 6 et 1
Pièces intervenantes
dans la liaison glissière
1 = {1,
{ 2, 3}}
1
7
1
6
3
2
15
Montage des pièces pour
assurer la liaison
Cinématique
de la liaison
16
GRAPHE DE LIAISONS
Le graphe de liaisons d’un mécanisme
est construit de la façon suivante :
Toute les piéces qui sont lièes par une
liaison complète représente la même
classe d’équivalence. Dans la borne
réglable, nous avons 4 classes
d’équivalences qui sont les suivantes :
{1}={1, 2, 3 }
{5}={5}
{4}={4}
{6}={6}
L51 : Liaison pivot d’axe X
L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X
L41 : Liaison glissière d’axe X
La pièce est représentée par un
sommet : Cercle numéroté
L46 : Liaison appui-plan de normale –X1
L61 : Liaison pivot-glissant d’axe X
La laison est représentée par un arc
non orienté noté Lij
17
Sortie : PS
Entrée-Sortie de la chaîne :
Un mécanisme reçoit généralement une puissance PE
à l’entrée sur l’une de ses pièces mobiles de la chaîne.
Cette puissance est transmise par la chaine à une
pièce de sortie, soit PS cette puissance en sortie.
L’élément d’entrée dans notre mécanisme borne
réglable est la vis de manœuvre 5. en effet un
opérateur tourne manuellement l’élément 5 et
entraine cet élément à un vitesse de rotation d’entrée
notée ωe et applique en même temps un couple
d’entrée désigné par Ce. Cette Puissance d’entrée, PE
= Ce. ωe , transite à travers le système de
transformation de mouvement vis écrou et la liaison
en plan incliné et arrive à l’élément de sortie 6. La
puissance de sortie PS = -FS.VS est généralement
inferieure à la puissance d’entrée à cause de la
dissipation d’énergie par frottement, imperfection
des liaisons et autre facteurs. Si les liaisons sont
considérées parfaites, on peut admettre que PE =-PS
Entrée : PE
Sortie : PS
Entrée : PE
18
SCHEMA CINEMATIQUE
L51 : Liaison pivot d’axe X
L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X
L41 : Liaison glissière d’axe X
L46 : Liaison appui-plan de normale –X1
L61 : Liaison pivot-glissant d’axe Y
19
L51 : Liaison pivot d’axe X
L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X
L41 : Liaison glissière d’axe X
L46 : Liaison appui-plan de normale -X1
L61 : Liaison pivot-glissant d’axe Y
20
ETUDE CINEMATIQUE DE LA BORNE REGLABLE
OBJET :
Parmi les objectifs visés par l’étude cinématique d’un système mécanique est la détermination des composantes de la vitesse de rotation et de
translation de chaque pièce, connaissant la vitesse d’entrée ou de sortie du mécanisme, et d’établir la loi d’entrée-sortie de ce mécanisme.
L 31
Rappels : Etapes pour réaliser l’étude
Modéliser le système mécanique
par un graphe de liaison
1
L51
L52
Sortie : PS
2
Calculer le Nombre Cyclomatique
(nombre de boucles indépendantes à étudier)
Etablir le système d’équations
4
γ=NL-(Np-1)
Spécifier les boucles à étudier
Appliquer la relation de
Fermeture Cinématique à chaque
boucle
L43
L42
L54
5
Entrée : PE
3
L52
1
2
5
1
2
5
4
2
1
3
4
2
1
2
5
1
2
5
4
2
1
3
4
2
γ=7-4=3
1
}
}
{V }
+ {V
+ {V
{V }
}
}
+ {V
+ {V
1 {V
}
+ {V
}
+ {V
}
S1 / S 2
S 2 / S5
→ 
=
0 
S 2 / S5 ( O , x , y , z )
S5 / S1 ( O , x , y , z )
(O , x , y , z )
 
→ 
=
0 
S
/
S
S
/
S
5
4 (O , x , y , z )
4
2 (O,x, y ,z )
(O, x , y , z )
 
→ 
S1 / S 3 ( O , x , y , z )
S3 / S 4 (O , x , y , z )
S 4 / S 2 ( O , x , y , z ) + {VS 2 / S1 }( O , x , y , z ) =  0 
 
ω xS
1
/ S2
+ ω x S2 / S5 = 0
ω yS
1
/ S2
+ ω yS
2
/ S5
+ ω yS
5
/ S1
= 0
.......... .......... .......... .......... ....
.......... .......... .......... .......... ....
V z S 1 / S 3 + V z S 3 / S 4 + V z S 2 / S 1 + ... = 0
Résoudre le système d’équations
Détermination des vitesses de chaque
solide et de la loi d’entrée-sortie
21
A- Graphe de liaison de la borne réglable :
Le graphe de liaison (déjà établi) de ce système est donné par :
Entrée : PE
Sortie : PS
B- Nombre Cyclomatique :
Le nombre Cyclomatique qui défini le nombre de chaîne fermée
(boucle) à étudier est donné par :
γ=NL-(Np-1)
AN
γ=5-(4-1)=2
22
B- Spécification des boucles d’étude :
B.1 Signification d’une boucle :
Une boucle représente un sous mécanisme (petit système) qui assure une fonction bien
déterminée. Cette fonction paraît être conserver sans la présence des autre sous systèmes
(boucles) adjacents.
Pour illustrer cette vision nous allons confronter la notion de boucle au sous système qu’il
représente. Comme on peut le voir d’après l’animation de dessous la boucle 1 représente en fait
un sous système autonome. La même constatation peut être formuler pour la boucle 2 et 3.
Sous système 1 : Boucle 1
Sous système 2 : Boucle 2
5
Sous système 3 : Boucle 3
4
4
5
1
4
1
1
6
6
23
B.2 Directives pour choix d’une boucle :
Il faut noter que n’importe qu’il combinaison de boucles indépendantes, en tenant compte de
nombre cyclomatique amènera à la fin au même résultat. Néanmoins, pour alléger les calculs,
on pourra toujours choisir les boucles qui contiennent le moins de solides. Par exemple , dans
notre cas, on peut privilégier les deux boucles 1-5-4-1 et 1-4-6-1 à la boucle 1-5-6-4-1 .
B.3 Spécification de boucles d’étude :
Notre choix s’est porté donc sur les deux boucles suivantes:
Boucle 1
5
1
5
4
1
ou
4
1
Boucle 2
4
1
4
6
1
ou
6
1
24
B.4 Schéma cinématique et paramétrage :
L51 : Liaison pivot d’axe X
L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X
L41 : Liaison glissière d’axe X
Vs6/1
L46 : Liaison appui-plan de normale -X1
L61 : Liaison pivot-glissant d’axe Y
O61
x
O51
O46 x
x
x
O41
O45
ωs5/1
x
25
B.5 Relation de fermeture appliquée au deux boucles
B.5.1 Etude de la boucle :
1
5
4
1
La relation de fermeture pour la boucle 1 s’écrit :
{V }
S1 / S5 ( O , x , y , z )
15
{
+ VS5 / S4
}
( O15 , x , y , z )
{
+ VS4 / S1
}
( O15 , x , y , z )
→ 
= 0 
 
Bilan des torseurs cinématiques :
{V }
S1 / S5 ( O , x , y , z )
15
ωx15

= 0
0

0

0
0
{V }
S5 / S4 ( O , x , y , z )
54
ωx 54

= 0
0

α.ωx 54 

0 
0 
{V }
S1 / S4 ( O , x , y , z )
14
0

= 0
0

v x14 

0
0 
Relation de transport en O15 :
Le vecteur distance défini par le centre de chaque liaison concernée par la
RT et O15 est situé suivant la même direction que celle des inconnues
cinématiques du torseur de cette liaison et par conséquent, dans ce cas
particulier, les torseurs restent inchangés:
26
{V }
S1 / S5 ( O , x , y , z )
15
ωx15

= 0
0

0

0
0
{V }
S5 / S4 ( O , x , y , z )
15
ωx 54

= 0
0

α.ωx 54 

0 
0 
{V }
S1 / S4 ( O , x , y , z )
15
0

= 0
0

v x14 

0
0 
La RF donne :
{V }
S1 / S5
ωx15

= 0
0

ωx 54

+ 0
0

15 , x , y , z )
0

0
0( O
ωx15 + ωx 54 = 0


α.ω + v = 0
x14
 x 54
α.ωx 54 

0 
0 ( O
0

+ 0
0

15 , x , y , z )
v x14 

0
0 ( O
{}
r
= 0
14 , x , y , z )
(1)
(2)
27
B.5.2 Etude de la boucle :
1
4
6
1
La relation de fermeture pour cette boucle s’écrit :
{V }
S1 / S4 ( O , x , y , z )
46
{
+ VS4 / S6
}
( O 46 , x , y , z )
{
+ VS6 / S1
}
( O 46 , x , y , z )
→ 
= 0 
 
Bilan des torseurs cinématiques :
{V }
S1 / S4 ( O , x , y , z )
14
0

= 0
0

v x14 

0
0 
{V }
S 4 / S6 ( O , X , Y , Z )
46
1 1 1
0

= − ωy 46

0
v x 46 

0

v z 46 
{V }
S6 / S1 ( O , x , y , z )
61
0

= ωy 61

0
0

v y61 

0
Relation de transport en O46 :
Le vecteur distance défini par le centre de chaque liaison concernée par la
RT et O46 est situé suivant la même direction que celle des inconnues
cinématiques du torseur de cette liaison et par conséquent, dans ce cas
particulier, les torseurs restent inchangés:
28
{V }
S1 / S4 ( O , x , y , z )
46
0

= 0
0

v x14 

0
0 
{V }
S 4 / S6 ( O , X , Y , Z )
46
1 1 1
{
Changement de base pour : VS4 / S6
r
Y
θ
r
Y1
θ
r
X1
{V }
S 4 / S6 ( O , X , Y , Z )
46
− ωy 46 .sinθ

= − ωy 46 .cosθ

0
r
X
0

= − ωy 46

0
v x 46 

0

v z 46 
{V }
S6 / S1 ( O , x , y , z )
46
0

= ωy 61

0
0

v y61 

0
}
r
r
r
X1 = cos θ. X − sin θ.Y


r
r
r
Y1 = sin θ. X + cos θ.Y
v x 46 . cos θ 

- v x 46 . sin θ

v z 46 
29
La RF donne :
0

0
0

v x14  − ωy 46 .sinθ
 
0  + − ωy 46 .cosθ
0  0

− ωy 46 .sinθ = 0


− ω .cosθ + ω = 0
y 61
 y 46


v x14 + v x 46 . cos θ = 0


− v x 46 . sin θ + v y61 = 0


v = 0
 z 46
v x 46 . cos θ  0
 
- v x 46 . sin θ + ωy 61
 
v z 46  0
0
 r
v y61  = 0

0
{}
(3)
(4)
(5)
(6)
(7 )
30
En résumé
ωx15 + ωx 54 = 0

α.ωx 54 + v x14 = 0
− ω .sinθ = 0
 y 46
− ωy 46 .cosθ + ωy 61 = 0

v x14 + v x 46 . cos θ = 0
− v x . sin θ + v y61 = 0
46

v z 46 = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Entrée-sortie du mécanisme
Pour la borne réglable, l’entrée du mécanisme est affectée à 5 et la sortie est donnée à 6.
Le calcul d’avant projet suppose la connaissance des paramètres de sortie du
mécanisme (VS et FS→
→6) qui sont en général, précisés dans le cahier de charge (rôle assuré par le
mécanisme et l’objet de sa création). La résolution du système d’équation, issu de l’étude
cinématique, permet d’une part de calculer toutes les inconnues des torseurs cinématiques et
d’autre par de formuler la loi d’entrée-sortie du mécanisme qui est d’un intérêt fondamental pour
le dimensionnement et le choix de l’actionneur qui va fournir la puissance d’entrée.
31
Connaissant VS (cahier de charge), cette vitesse est affectée à la
pièce 6 et donc à l’inconnue cinématique Vy6/1 :
Vy6/1 = VS
(6)
⇒ v x 46 =
⇒ v x 46 =
(5)
v y61
(2)
sin θ
vS
sin θ
⇒ v x14 = − v x 46 . cos θ
En remplaçant vx46 par son expression en
fonction de VS, on obtient
⇒ ωx 54 = −
1
v x14
α
En remplaçant vx14 par son expression en
fonction de VS, on obtient
⇒ ωx 54 =
(1)
1
cot θ . vS
α
⇒ ωx15 = −ωx 54
En remplaçant ωx14 par son expression en
fonction de VS, on obtient
⇒ v x14 = − cot θ . vS
⇒ ωx 54 = −
1
cot θ . vS (∆)
α
32
(3)
⇒ ωy 46 = 0
(4)
⇒ ω y 61 = ω y 46 .cos θ
(7 )
⇒
v z 46 = 0
D’où, d’après (3) :
ωy 61 = 0
Loi d’entrée-sortie
L’entrée du mécanisme est attribué à la vis de manœuvre 5. La vitesse d’entrée ωe sera affectée
par conséquent ω5/1 :
ω 5/1 = ω e
Attention : Ne jamais confondre l’inconnue cinématique ω 5/1 avec
la vitesse d’entrée ω e
du mécanisme . En fait, la première composante est propre à la liaison et donc c’est un élément
interne au mécanisme, par contre la deuxième est une vitesse donnée par un élément externe au
mécanisme à savoir un moteur ou un opérateur par exemple.
33
D’après (∆), et en affectant la vis de manouvre à l’entrée, nous arrivons à
la loi liant l’entrée et la sortie du système :
1
ωe = − cot θ . v S
α
34
ETUDE STATIQUE DE LA BORNE REGLABLE
OBJET
:
Parmi les objectifs
visés par l’étude statique d’un système mécanique est la détermination des efforts qui s’applique à chaque composant du
système mécanique, en vue d’aborder un dimensionnement de RDM par exemple. Analyser l’hyperstatisme du mécanisme, en cas de la non
possibilité de détermination de tous les inconnus statiques , Agir sur ces inconnus pour assurer l’isostaticité ou prendre les mesures nécessaires en
phase de la cotation si le concepteur juge nécessaire de préserver les inconnus hyperstatique ou si le fonctionnement correcte du mécanisme sera
affecter par de telles modifications .
L 31
1
Rappels : Etapes pour réaliser l’étude
L12
L51
Modéliser le système mécanique par un
graphe de liaison
Isoler chaque
solide i du
système, autre
que le bâti
Sortie: PS
1
L12
L52
5
3
2 L
42
4
Appliquer le PFS à chaque solide isolé, en tenant compte de tous
les efforts extérieurs à i : efforts de liaisons {τSj→Si } et efforts
d’entrée-sortie {τext→Si } du système
5
2 L
42
L54
L43
4
{τE→ 3}
L 31
1
L52
Entrée : PE
3
L43
1
M
L52
{τS→ 5}
4
2
5
4
{}
r
∑ {τext →Si }+ ∑ {τSj →Si } = 0
i≠ j
X 12 + X 52 + X 42 = 0
Y 12 + Y 52 + Y 42 = 0
Etablir le système d’équations
Résoudre le système d’équations
.......... .......... .......... .......... ....
.......... .......... .......... .......... ....
− FS + N 15 + N 25 + a . sin θ . Y 15 + N 45 ... = 0
Détermination des inconnues statiques en cas de possibilité
en fonction des paramètres fixés et connus du système
35
Identification des inconnues hyperstatiques
(inconnues non déterminées en résolvant le système)
X 12
ou X 52
Y 52
ou
Y 42 = 0
.......... .......... .......... .......... ....
.......... .......... .......... .......... ....
N 15 ouN 25 ... = 0
Analyse des inconnues hyperstatiques
Garder ou diminuer l’hyperstaticité et
prendre les mesures nécessaires :
Cotation, Réglage, Introduction des
éléments élastiques…
Rendre le système isostatique :
annuler les inconnues hyperstatiques,
Introduire des mobilités internes, des
pièces intermédiaires…
Revue de la conception
36
A- Graphe de liaisons
B- Bilan des solides à isoler
Entrée : PE
{τe}
5
4
5
1
1
4
6
4
Sortie : PS
1
6
{τS}
37
C- Schéma cinématique et paramétrage :
L51 : Liaison pivot d’axe X
L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X
L41 : Liaison glissière d’axe X
L46 : Liaison appui-plan de normale -X1
Vs6/1
OS x
O61
x
O51
O46 x
r
O 45O 51 = a.X
→
r
O 46O 61 = d.Y
→
r
O 46 O 41 = c.X
→
r
O 46 O 45 = f .Y
→
r
O 46 OS = b.Y
→
x
x
O41
O45
x
ωs5/1
38
D- PFS appliqué aux pièces isolées :
D- 1 PFS appliqué à 5
{τ
}
S1 →S5 ( O , x , y , z )
51
{
+ τS4 →S5
}
( O 51 , x , y , z )
+ {τe }( O51 ,x , y ,z )
→ 
= 0 
 
1-Bilan des efforts appliqués à 5
{τ
}
S1 →S5 ( O , x , y , z )
15
X15

= Y15
Z
 15
0

M15 
N15 
{τ
}
S4 →S5 ( O , x , y , z )
45
β.X 45 

M 45 
N 45 
X 45

= Y45
Z
 45
{τe }(O
15 , x , y , z )
0

= 0
0

- Ce

0
0 
2-Relation de transport en O51
RT Pour le torseur {τ45}
r
M 45 (O15 ) = M 45 (O 45 ) + O15O 45 ∧ R 45
→
→
→
 β.X 45   − a   X 45   β.X 45


   
 

M 45 (O15 ) =  M 45  +  0  ∧  Y45  =  M 45 + a.Z 45 
 N   0   Z   N − a.Y 
45 
 45     45   45
→
{τ
}
S4 →S5 ( O , x , y , z )
45
X 45

= Y45
Z
 45
β.X 45 

M 45 + a.Z 45 
N 45 − a.Y45 
39
3- PFS appliqué à 5
X15

Y15
Z
 15
β.X 45  0
 
M 45 + a.Z 45  + 0
N 45 − a.Y45  0
0  X 45
 
M15  + Y45
N15  Z45
- Ce
 r
0 = 0
0 
{}
4- Equations de la statique obtenues en isolant 5
X15 + X 45 = 0
Y15 + Y45 = 0
Z15 + Z45 = 0
β.X 45 − Ce = 0
M15 + M 45 + a.Z45 = 0
N15 + N 45 − a.Y45 = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
40
D- 2 PFS appliqué à 4
{τ
}
S5 →S4 ( O , x , y , z )
46
{
+ τS1 →S4
}
( O 46 , x , y , z )
{
+ τS6 →S4
}
( O 46 , x , y , z )
→ 
= 0 
 
1-Bilan des efforts appliqués à 4
{τ
}
S5 →S4 ( O , x , y , z )
45
− X 45

= − Y45
− Z
 45
- β.X 45 

- M 45  τS1 →S4
- N 45 
{
}
( O14 , x , y , z )
0

= Y14
Z
 14
L14 

M14  τS6 →S4
N14 
{
}
( O 46 , x1 , y1 , z1 ≡ z )
X 64

= 0
0

0

M 64 
N 64 
2-Relation de transport en O46
RT Pour le torseur {τ14}
r
M14 (O 46 ) = M14 (O14 ) + O 46 O14 ∧ R 14
→
→
→
 L14   c   0   L14


     

M14 (O 46 ) =  M14  +  0  ∧  Y14  =  M14 − c.Z14 
 N   0   Z   N + c.Y 
14 
 14     14   45
→
{τ
}
S1 →S4 ( O , x , y , z )
46
0

= Y14
Z
 14
L14 

M14 − c.Z14 
N14 + c.Y14 
41
RT Pour le torseur {τ54}
r
M 54 (O 46 ) = M 54 (O54 ) + O 54O 46 ∧ R 54
→
→
→
 − β.X 45   f   − X 45   − β.X 45


   
 

M 54 (O 46 ) =  − M 45  +  0  ∧  − Y45  =  − M 45 + f .Z 45 
 − N   0   − Z   N − f .Y

45   
45

 45   45

→
{τ
}
S5 →S4 ( O , x , y , z )
46
- X 45

= - Y45
- Z
 45
- β.X 45 

- M 45 + f .Z45 
- N 45 − f .Y45 
3- Changement de base pour {τ64}
r
Y
θ
r
Y1
θ
r
X1
{τ
}
S6 →S4 ( O , x , y , z )
46
X 64 .cosθ

= − X 64 .sinθ
0

r
X
r
r
r
X1 = cos θ. X − sin θ.Y


r
r
r
Y
=
sin
θ
.
X
+
cos
θ
.
Y
 1
M 64 .sinθ

M 64 .cosθ 
N 64 
42
4- PFS appliqué à 4
0

Y14
Z
 14
L14  - X 45
 
M14 − c.Z14  + - Y45
N14 + c.Y14  - Z45
- β.X 45  X 64 .cosθ
 
- M 45 + f .Z 45  + − X 64 .sinθ
- N 45 − f .Y45  0
M 64 .sinθ 
 r
M 64 .cosθ = 0
N 64 
{}
5- Equations de la statique obtenues en isolant 4
− X 45 + X 64 . cos θ = 0
Y14 − Y45 − X 64 . sin θ = 0
Z14 − Z45 = 0
L14 − β.X 45 + M 64 . sin θ = 0
M14 − c.Z14 − M 45 + f .Z45 + M 64 . cos θ = 0
N14 + c.Y14 − N 45 − f .Y45 + N 64 = 0
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
43
D- 3 PFS appliqué à 6
{τ
}
S4 →S6 ( O , x , y , z )
46
{
+ τS1 →S6
}
( O 46 , x , y , z )
+ {τS }( O 46 , x , y ,z )
→ 
= 0 
 
1-Bilan des efforts appliqués à 6
{τ
}
S4 →S6 ( O , x , y , z )
46
− X 64 .cosθ

= X 64 .sinθ
0

- M 64 .sinθ 

- M 64 .cosθ τS1 →S6
- N 64 
{
}
( O16 , x , y , z )
X16

= 0
Z
 16
L16 

0
N16 
}
X16

= 0
Z
 16
{τS }( O ,x , y,z )
S
0

= - FS
0

0

0
0
2-Relation de transport en O
RT Pour le torseur {τ16}
r
M16 (O 46 ) = M16 (O16 ) + O 46 O16 ∧ R 16
→
→
→
 L16   0   X16   L16 + d.Z16 

   
 

M16 (O 46 ) =  0  +  d  ∧  0  =  0

 N   0   Z   N − d.X 
16 
 16     16   16
{τ
S1 →S6 ( O , x , y , z )
16
L16 + d.Z16 

0

N16 − d.X16 
→
44
RT Pour le torseur {τs}
La direction de la résultante FS est la même direction y que celle du vecteur
distance OSO46 est par conséquent :{τS }( O ,x , y,z ) = {τS }(O , x , y,z ) d’où
S
{τS }( O
46 , x , y , z )
0

= − FS
0

46
0

0
0
3- PFS appliqué à 6
− X 64 .cosθ

X 64 .sinθ
0

- M 64 .sinθ  X16
 
- M 64 .cosθ + 0
- N 64  Z16
L16 + d.Z16  0
 
0
 + - FS
N16 − d.X16  0
0
 r
0= 0
0
{}
4- Equations de la statique obtenues en isolant 6
− X 64 .cosθ + X16 = 0
(13)
X 64 .sinθ − FS = 0
(14)
Z16 = 0
(15)
- M 64 .sinθ + L16 + d.Z16 = 0
(16)
- M 64 .cosθ = 0
(17)
- N 64 + N16 − d.X16 = 0
(18)
45
Résumé de PFS
N14 + c.Y14 − N 45 − f .Y45 + N 64 = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7 )
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
− X 64 .cosθ + X16 = 0
(13)
X 64 .sinθ − FS = 0
(14)
Z16 = 0
(15)
- M 64 .sinθ + L16 + d.Z16 = 0
(16)
- M 64 .cosθ = 0
(17)
- N 64 + N16 − d.X16 = 0
(18)
X15 + X 45 = 0
Y15 + Y45 = 0
Z15 + Z 45 = 0
β.X 45 − C e = 0
M15 + M 45 + a.Z 45 = 0
N15 + N 45 − a.Y45 = 0
− X 45 + X 64 . cos θ = 0
Y14 − Y45 − X 64 . sin θ = 0
Z14 − Z 45 = 0
L14 − β.X 45 + M 64 . sin θ = 0
M14 − c.Z14 − M 45 + f .Z 45 + M 64 . cos θ = 0
46
Nous allons nous procédé de la même façon que l’étude cinématique en supposant
que FS est donnée par le cahier de charge et par la suite, essayer de déterminer tous
les inconnus statiques e en fonction de cette force.
(5),
⇒
(13) et (19)
(7)
(1)
X 64 =
FS
(19)
⇒
sinθ
X16 = FS .cotθ
(20)
et (19)
⇒
X 45 = FS .cotθ
(21)
et
⇒
X15 = −FS .cotθ
(4)
⇒
X 45 =
(15)
⇒
Z16 = 0
(23)
(17)
⇒
M 64 = 0
(24)
(16), (23) et (24)
⇒
(25)
(10),
L16 = 0
⇒
L14 = β.FS .cotθ
(21)
(21) et (24)
(8) et
et (9)
(11), (24)
(2) ,
(3)
(14)
(19)
Ce
β
⇒ Y45 = −Y15 = Y14 − FS
⇒ Z15 = − Z 45 = − Z14
et (27)
(6)
(18) , (20) , (12) et
(26)
(22)
(26)
(27 )
⇒ M 45 = -M15 − a.Z 45 = M14 + (f − c).Z 45
⇒
N 45 = − N15 + a.Y45
⇒
N 64 = N16 − d.FS . cot θ = (f − c).Y45 + N 45 − N14 − c.FS
47
E-IDENTIFICATION DES INCONNUS HYPERSTATIQUES
Qualitativement le nombre d’inconnus statiques est donné par :
h = IS − rS
Où Is est le nombre total d’inconnus statique qui est donné par :
n
IS = ∑ N Si
i =1
Avec Nsi est le nombre d’inconnus statiques relatif à
chaque liaison i
I = 22
Et rS est le nombre d’équations linéairement indépendantes
est significatives obtenues en appliquant le
PFS à chaque solide du système mécanique.
S
Pour notre système :
pivot
↑
IS = 5 +
⇒
hélicoïdale
↑
5
glissière
↑
+ 5 +
appui − plan
↑
3
+
pivot − glissant
↑
4
IS = 22
48
En analysant les 18 équations obtenus par la statique (page 46 et 47), ont peux conclure que les deux
équations (21) et (22) sont linéairement dépendantes et par conséquent, il reste 17 équations
indépendantes. Ce qui permet d’écrire :
rS = 17
D’où
h=5
L’identifications des inconnues hyperstatiques peut être menée à la base de la résolution des
équations de la statique effectuée à la page 47 :
Les inconnues hyperstatiques sont :
Y45 ou Y15 ou Y14
Z15 ou Z 45 ou Z14
M 45 ou M15 ou M14
N 45 ou N15
N 64 ou N16 ou N14
49
F- Solutions constructives pour remédier à l’hyperstaticité
En inspectant les solutions constructives mises en place pour la conception de la borne réglable, en vue de
remédier au problème de l’hyperstatisme, on peut conclure que :
Les jeux J1 suivant
l’axe Y et J2 suivant
l’axe Z entre le bâti 1
et la vis de manœuvre
5 ont été introduits
volontairement par le
concepteur dans l’objet
d’annuler
respectivement
les
inconnues
hyperstatiques Y15 et
Z15
.
En
comptabilisant
Ces
deux jeux la liaison
entre 5 et 1 est rendue
rotule au lieu de pivot.
50
Pour annuler les autres inconnues hyperstatiques relatives à la même liaison L15 , beaucoup de
solutions constructives, utilisant le système vis-écrou comme moyen de transformation de mouvement,
prévoient un guidage en rotation flottant de la vis (voir l’écrou). Cela permet donc de ramener la
Liaison initiale pivot en une liaison souhaitée ponctuelle.
Les parties sphériques
réalisées sur la vis 5,
associées au deux jeux
J1 et J2 permettent
d’ajouter deux degrés de
liberté de rotation
suivant les axes Y et Z.
ces
deux
degrés
permettent d’annuler
les deux inconnues
hyperstatiques
M15
suivant l’axe Y et N15
suivant l’axe Z. Cet
arrangement permet de
réduire l’hyperstaticité
de la borne réglable à 1
Calottes
sphériques
51