Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs) Plan de la

Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs)
Plan de la séquence :
I-
Rappels de 4ème:
1) Calculs
2) Fractions
3) Nombres relatifs
4) Puissances
a) Définition
b) Propriétés
c) Calculs d’expressions
d) Ecriture scientifique
II-
Les différents ensembles de nombres
III-
Les nombres entiers
1) Déterminer les diviseurs d’un nombre entier
a) Division Euclidienne
b) Diviseurs et Multiples
c) Propriété : Critères de divisibilité
2) Reconnaitre un nombre premier
3) Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
1
Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs)
Définition :
L'arithmétique est l'étude des nombres et des opérations élémentaires (soustraction, addition,
division, multiplication).
I.
Rappels :
1.
Calculs
Règle n°1 : Lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions on effectue les calculs dans
l'ordre d'écriture (de gauche à droite)
Exemple : 5 + 3 – 2 + 4 = 10
Règle n°2 : Les multiplications et les divisions sont prioritaires.
Exemple : 2 + 3 × 4 = 14
Règle n°3 : Si les calculs sont entre parenthèses, on les effectue en premier.
Exemple : 3 + 2 – (2 + 4) = - 1
2.
Fractions
Règle n°1 : Pour additionner ou soustraire des fractions je les mets sur le même dénominateur
et j'additionne ou soustraie les numérateurs.
Exemple :
1
7
+8=
4
2
7
9
+8=8
8
Règle n°2 : Pour multiplier deux fractions, je multiplie les numérateurs et les dénominateurs
entre eux.
Exemple :
2
7
6
×8=
2×6
7×8
12
= 56 =
6
28
=
3
14
Règle n°3 : Pour diviser par une fraction, je multiplie par son inverse.
Exemple :
1
3
2
÷5=
1×5
3×2
5
=6
Si deux fractions sont égales (
𝑎
=
𝑐
), alors on a l'égalité des produits en croix (a × d = c × b)
𝑎
𝑐
La réciproque est vraie (si a × d = c × b, alors
=
).
𝑏
𝑑
2
𝑏
𝑑
3. Nombres relatifs
Correction de la carte mentale :
4. Les puissances
a) Définition :
a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Le produit de n facteur égaux à a se nomme an et se lit « a exposant n ».
On dit que ce produit est une puissance de a.
Le nombre a-n désigne l’inverse du nombre an (avec a ≠ 0).
1
an = a × a × … × a
a-n = 𝑎𝑛
n facteurs
Par convention, on a a1 = a et si a ≠ 0, a0 = 1.
Exemples à compléter :
53 = 5×5×5=…. ; (-3)0 = ….. ;
71 = ….. ; (-2)5 =…………………………… .= …..
….. facteurs
5-2
3
…..
…..
= …… = …..
;
012 =
…. ;
62 =
…………=….. ; 8 =
…..3
;
Trois puissance quatre = ………. = ….. ;
(-3)….. = 81 ;
b) Propriétés :
Cas particulier :
 n désigne un nombre entier strictement positif. 10-n
=
10n = 10 × 10 × … × 10 = 100…0
1
10𝑛
=
1
10 ×10… ×10
n facteurs
n facteurs
n zéros
= 0,0…01
n chiffres
après la virgule
Exemple : 1000 000 000 = 109 (un milliard)
0,000 001 = 10-6 (un millionième)
Règles de calculs :
 a et b désignent des nombres relatifs et m et n des nombres entiers relatifs.
 am × an = am + n
𝑎𝑚
 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 avec a ≠ 0
 (a × b)n = an × bn
 (am)n = am × n
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
 (𝑏 ) = 𝑏𝑛
Exemples à compléter :
103×104 = 103+4 = 10…. ;
2
(3x) = 3
…..
…..
× x = ….x
3
10−5×(103)
10−2
=
107 × 1012 × 10-5 =
2
107×(102)
103×10−7
4
…..
=
;
123
12−2
(10-3)5 = 10…… ;
= 12……. = 12……. ;
2 -5
(3 ) = 3
………
2 3
2……
; (3) = 3……. ;
27 × 77 =
97 ×95
93
=
100² ×100-4=
c) Calculs d’expressions:
Propriété : Dans une expression numérique, on effectue en priorité :
- Les calculs entre parenthèses
- Les puissances, les multiplications et les divisions
- Les additions et soustractions
Exemple à compéter :
4
1 + 3 × 23 = 1 + 3 × …… =
4
=
103 – (190 +2 ×70 ) =
73-25÷16 =
8 2
(53−112)
7
( ) − ÷ =
7
7
3
25 × (7 − 4)2 =
(−1)15 + 5 × 102 =
d) Ecriture scientifique :
Rappel :
Soit n un entier positif :
 Pour multiplier un nombre décimal par 10n , il suffit de décaler la virgule
de n rangs vers la droite, en complétant par des zéros si nécessaire.
 Pour diviser un nombre décimal par 10n (ce qui revient à le multiplier par
10-n ), il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la gauche, en
complétant par des zéros si nécessaire.
Exemple à compléter :
15× 10² =
153
1
= 153 × 3 = 153 × 10−3 =
3
10
10
0,057× 105 =
0,91× 10-1 =
Définition : l’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est l’écriture de la
forme :
a × 10n où :
- a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10
- n est un nombre entier relatif
Exemple : L’écriture scientifique de 1 785 000 000 est 1,785 × 109 (un milliard 785 millions)
L’écriture scientifique de 0,000 028 est 2,8 × 10-5
5
II-
Les différents ensembles de nombres
Ensemble des...
Définition
Notation
Exemple
Entiers naturels
Ensemble des entiers positifs
N
Entiers relatifs
Ensemble des entiers positifs
et négatifs
Z
Nombres décimaux
Ensemble des nombres positifs
ou négatifs possédant un
nombre fini de décimales
D
2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5
Nombres rationnels
Ensemble des nombres
pouvant s'écrire sous forme
d'une fraction d'entiers relatifs
Q
2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5
Nombres réels
Ensemble de tous les nombres
que vous connaissez.
R
16
0 ; 1 ; 2 ou √4 ; 4
Compléter le tableau ci-dessous : Cocher la ou les bonnes cases :
3,5
7
3
7
π
230
5
1
2
√2
√100
Entier
Naturel
Décimal
Rationnel
Irrationnel
III - Les nombres entiers.
1)
(Activité centurion)
Déterminer les diviseurs d’un nombre entier
a) Division Euclidienne :
Dividende 574
Définition : La division euclidienne d’un entier
positif ou nul m par un entier n > 0, c’est de trouver
les entiers positifs appelés quotients q et le reste R
tel que m = q × n + R avec 0 ≤ R ≤ n.
36
214
180
034
Reste
Exemple : la division euclidienne de 574 par 36 :
6
36
Diviseur
15 Quotient
574 = 36 × 15 + 34
c’est-à-dire
Dividende = quotient × diviseur + reste
avec reste < diviseur
b) Diviseurs et multiples
Définition : soient m, n deux entiers naturels avec n ≠ 0, on dit que :
n est un diviseur de m ou que
m est un multiple de n
 s’il existe un entier naturel q tel que :
m = q × n.
Conséquence : q est alors un autre diviseur de m
Exemple : 48 = 4 × 12
donc 4 est un diviseur de 48 (4 divise 48)
48 est un multiple de 4 (48 est divisible par 4)
12 est un diviseur de 48
48 est un multiple de 12.
Remarque :
 Si n est un diviseur de m, alors le reste de la division euclidienne de m par
n est nul.
 Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
 Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.
c) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par :
0 : Jamais !
1 : Toujours !
2 : si et seulement si le chiffre des unités est pair
3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
5 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 ou 5
10 : si et seulement si le chiffre des unités est 0
6 : si et seulement si il est divisible par 2 et par 3
4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un
multiple de 4
Ex : 00 ; 04 ; 08 ; 12 ; … ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96
7
Pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier N, on teste la
divisibilité de N par tous les nombres entiers ≤ √𝑵.
Exemple :
Pour trouver les diviseurs de 18, on calcule √18 :
√18 ≈ 4,2 : il faut donc tester la divisibilité par 1, par 2, par 3 et par 4.
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6 : les diviseurs de 18 sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices  page 24 exercices
9/11/12 (oralement en classe) 18/19/24 (au tableau)
2)
Reconnaître un nombre premier
Définition : on dit qu’un nombre est premier quand il a exactement 2 diviseurs,
1 et lui-même (distincts).
Exemple : 13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 13 et 1.
Il existe une infinité de nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 …
Attention: 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui même
Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices  page 25 exercices
31/32/33 (oralement) 35’au tableau)
3)
Décomposer un entier en produits de facteurs premiers
Propriété : un nombre entier ≥ 2 se décompose en un unique produit de facteurs
premiers. (Si l’on ne tient pas compte de l’ordre de ces facteurs)
Méthode :
 Pour décomposer un nombre N en produits de facteurs premiers, on
cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre N.
8
 On divise N par ce nombre premier et si le quotient obtenu est différent de
1, on recommence… jusqu’à obtenir pour quotient 1..
Exemple :
La décomposition en produit de facteurs premiers de 2088 est :
2 × 2 × 2 × 3× 3 × 29 = 23 × 32 × 29
Application : Fractions irréductibles
Trouver la fraction irréductible de
84
30
=
22 × 3 × 7
2×3×5
=
2×2×3×7
2×3×5
84
30
=
:
2×7
5
=
14
5
Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices  page 25 exercices
38/39 (oralement) et 46(au tableau)
Faire le problème 78 page 31
9