TD Ondes

TD Ondes
TPC2
Ondes électromagnétiques dans les métaux et les
plasmas
Exercice no 1 : Effet de peau
On considère un métal de conductivité σ pour lequel on cherche une solution des équations de Maxwell.
On rappelle que dans un métal, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction.
~ une expression de la forme :
De façon plus précise on cherche pour E
~ = E0 f (x)cos(kx − ωt)~uz
E
~ = E0 f (x)ei(kx−ωt)~uz ,
soit E
où f (x) est une fonction que l’on se propose de déterminer.
~ déterminer celle de B.
~ Vérifier que ces deux vecteurs satisfont à
1 – À partir de l’expression de E,
~ = ~0 et div B
~ = ~0.
div E
2 – En écrivant l’équation de Maxwell-Ampère où l’on néglige le courant de déplacement, montrer que
l’on obtient une équation différentielle portant sur f (x) et montrer que cette fonction est de la forme :
f (x) = Aexp(−x/δ). Donner les expressions de δ et de k.
3 – Dans le cas du cuivre : σ = 5, 8.107 Ω−1 .m−1
Calculer numériquement δ pour les fréquences ν = 10n avec n = 2, 3, 4, 5.
Exercice no 2 : Effet de peau dans un métal
On étudie la propagation dans un métal d’une onde plane monochromatique électromagnétique de pulsation
ω et de vecteur d’onde ~k, dont le champ électrique est noté :
~ 0 ej(ωt−~k~r) avec E
~ 0 réel.
~ r, t) = E
E(~
Le domaine spectral envisagé correspond à des ondes centimétriques.
Pour les applications numériques, on se placera dans le cas du cuivre de conductivité γ0 = 6, 0.107 S.m−1
en régime indépendant du temps.
1 – Quel est l’ordre de grandeur de la fréquence des ondes étudiées ? Que peut-on penser de la conductivité γ, a priori complexe, du métal dans ce domaine de fréquences ? Comparer les amplitudes des
vecteurs densité de courant électrique de conduction ~jvc et densité de courant de déplacement ~jvd .
Écrire la forme approchée des équations de Maxwell dans le milieu métallique pour le cadre de notre
étude.
2 – Quelle est la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le métal ? Donner l’expression
du champ électromagnétique de l’onde, qui se propage dans la direction de l’axe (Ox), à x croissants,
dans le métal qui occupe la zone x > 0.
3 – Déterminer la puissance moyenne cédée par l’onde au métal dans un volume cylindrique élémentaire,
de section S perpendiculaire à (Ox), dont les faces planes sont situées aux abscisses x et x + dx.
4 – La comparer au flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant ce volume et vérifier le
bilan énergétique local attendu.
1
Exercice no 3 : Réflexion d’une OPPM sur un plan conducteur
Une onde plane progressive monochromatique (de pulsation ω), se réfléchit normalement sur un plan
~ et B
~ sont nuls au sein du
métallique parfaitement conducteur (on pourra admettre que les champs E
métal).
1 – Quels sont les champs réfléchis et les champs totaux ?
2 – Que se passe-t-il dans le plan métallique ?
3 – L’onde est polarisée circulairement ; calculer le vecteur de Poynting.
Exercice no 4 : Oscillations de la densité de charge dans un métal ou un plasma
Pour décrire les propriétés électriques d’un métal, on adopte le modèle du gaz d’électrons libres (électrons
de conduction) dans une matrice d’ions positifs et fixes. Seule l’interaction du champ électromagnétique
avec les électrons est pour l’instant considérée, le reste de la matière étant assimilé au vide. Les électrons
sont supposés non relativistes, leurs interactions mutuelles sont négligées et les pertes d’énergie par collision
m
avec le réseau sont modélisées par une force d’amortissement F~f = − ~v . La densité électronique est n0 à
τ
l’équilibre ; sa valeur n hors équilibre reste très proche de cette valeur n0 .
1 – Établir l’équation différentielle liant le vecteur densité volumique de courant électrique ~jv et le champ
~
électrique E.
2 – En déduire l’équation régissant l’évolution de la densité volumique de charge électrique ρv au sein
du milieu.
3 – Un milieu métallique est initialement perturbé ; sa répartition de charges initiale fausse localement
sa neutralité électrique globale. Quel ordre de grandeur peut-on prévoir pour le temps de retour à la
neutralité électrique du milieu métallique ?
4 – Montrer que si l’on néglige les forces d’amortissement, il peut exister dans le gaz d’électrons un mode
propre d’oscillations de charges, de pulsation ωp à préciser (ωp est la pulsation plasma).
5 – Calculer ωp pour le sodium et l’aluminium (en considérant que tous les électrons de valence d’un
atome deviennent électrons de conduction) dont les concentrations atomiques sont CN a = 2, 65.1028 m−3
et CAl = 6, 02.1028 m−3 .
Situer ces valeurs dans le spectre électromagnétique.
6 – Pour un plasma, où les collisions sont négligées, discuter l’influence du possible mouvement des ions,
de masse M et de charge αe, sur la valeur de ωp . Évaluer et commenter l’ordre de grandeur de la
modification apportée à la valeur de la pulsation de plasma pour la prise en compte des mouvements
des ions.
Exercice no 5 : Propagation d’une onde dans le plasma interstellaire
Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse m, de charge électrique −e, de densité particulaire n, et d’ions de charge électrique q et de densité particulaire N . La densité de charge totale est nulle.
le mouvement des ions est négligé et celui des électrons, non relativistes, est décrit par le vecteur ~v .
Avec ces hypothèses, on cherche des solutions des solutions des équations de Maxwell (à l’exclusion des
champs statiques) sous la forme d’ondes planes monochromatiques de vecteur d’onde ~k, dont le champ
électrique est noté :
~ 0 ej(ωt−~k~r) .
~ r, t) = E
E(~
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1 – Montrer que le champ magnétique de l’onde est aussi décrit par une onde plane de mêmes pulsation
et vecteur d’onde.
~ B,
~ ~k) de l’onde ?
Quelle est la structure du trièdre (E,
~
2 – Déterminer l’amplitude ~jv0 du vecteur densité volumique de courant ~j v de l’onde ~j v (~r, t) = ~jv0 ej(ωt−k~r)
en fonction de celle du champ électrique de l’onde.
α~
3 – En étudiant le mouvement des électrons, exprimer la constante α telle que ~j v = −j E.
ω
4 – En déduire la relation de dispersion ω = ω(k) liant la pulsation de l’onde et la norme de son vecteur
d’onde.
5 – En posant α = ε0 c2 K 2 , calculer les vitesses de phase et de groupe de l’onde en fonction de k et K.
Quelle est la relation liant ces vitesses ?
6 – Deux trains d’onde de longueurs d’onde λ1 et λ2 sont émis au même instant par un objet stellaire
situé à la distance L du récepteur. En supposant K 2 λ21 et K 2 λ22 « 1, montrer que ces signaux sont
reçus avec un décalage δt = t2 − t1 à déterminer en fonction de L, K, c et des longueurs d’onde λ1
et λ2 .
Exercice no 6 : Oscillations de plasma
Le but de cet exercice est d’introduire simplement la grandeur ωp , pulsation plasma.
Un plasma gazeux, globalement neutre, comprend, placés dans le vide, des ions positifs fixes et des électrons
de masse m et de charge −e susceptibles de se déplacer. Soient n le nombre d’électrons par unité de volume
du plasma au repos, supposé homogène, et ξ(z, t) un petit déplacement d’ensemble suivant l’axe (Oz) des
électrons situés en z quand le plasma est au repos. L’agitation thermique et le poids sont négligés.
1 – En raisonnant sur une tranche comprise entre z et z + dz quand le plasma est au repos, donner
la densité d’électrons n− lors du déplacement en supposant ∂ξ/∂z petit devant 1, et en déduire la
densité de charge ρ du plasma.
~ et que sous l’action de ce champ les électrons effectuent
2 – Montrer qu’il apparaît un champ électrique E
q
des oscillations sinusoïdales avec la pulsation ωp = ne2 /mε0 .
A.N. : calculer fp = ωp /2π pour n = 106 cm−3 (ionosphère) et n = 1015 cm−3 (décharge dans un gaz
à forte densité).
Exercice no 7 : Temps de relaxation - Application du modèle du fluide de charges libres dans
un métal
Le cuivre, de numéro atomique Z = 29, de masse molaire M = 29 g.mol−1 , a une masse volumique
µ = 8, 9.103 kg.m−3 .
1 – Exprimer la densité particulaire n des électrons de conduction dans ce métal.
On admettra (pour simplifier) que chaque atome de cuivre libère deux électrons de conduction.
2 – La conductivité du cuivre, soumis à un champ électrique permanent est γ0 = 5, 9.107 S.m−1 .
m
On rappelle l’expression de la force de frottement fluide qui s’exerce sur un électron : F~f = − ~v .
τ
Estimer la valeur du temps de relaxation τ du métal.
3 – Proposer un ordre de grandeur de la distance moyenne d entre les charges libres.
4 – Dans quel domaine spectral le modèle du fluide de charges libres semble-t-il acceptable pour décrire
l’interaction entre les charges libres et le champ électromagnétique d’une onde ?
La plus grande gloire n’est pas de ne jamais tomber,
mais de se relever à chaque chute.
Confucius, philosophe chinois, v. 551-479 av. J.C.
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