Loi de probabilité du Khi carré (χ2)

Loi de probabilité du Khi carré (χ2)
La loi du Khi carré (ou Khi deux) est une loi de probabilité que suivent certaines
variables aléatoires continues. De façon générale, si une variable aléatoire X suit une loi
normale quelconque, alors le carré de celle-ci (X2) suivra une loi du Khi carré. De même,
si n variables aléatoires indépendantes X1, X2, X3,…, Xn suivent des lois normales alors la
somme des carrés de chacune de ces variables suit une loi du Khi carré.
On écrit alors :
n
Si Y = X 12 + X 22 + X 32 + ... + X n2 = ∑ X i2 alors Y suit une loi du Khi carré avec un
degré de liberté υ (nu) égale à n-1.
i =1
NB : Le degré de liberté représente le nombre de variables aléatoires dans la somme,
moins le nombre de paramètres estimés. Nous reviendrons en détail sur le degré de liberté
dans les applications de la loi du Khi carré.
Propriétés des variables aléatoires suivant une loi du Khi carré
Propriété 1 : La somme de variables aléatoires suivant une loi du Khi carré suit une loi
du Khi carré. Le degré de liberté de cette nouvelle variable aléatoire est
égal à la somme des degrés de liberté de chacune des variables aléatoires
présentes dans la somme.
Propriété 2 : La somme d’une variable aléatoire suivant une loi du Khi carré avec une
variable aléatoire quelconque, suit une loi du Khi carré. Le degré de liberté
de cette nouvelle variable aléatoire est égal à la valeur positive de la
différence des deux degrés de liberté.
Propriété 3 : Soit S2 la variance d’un échantillon de n variables aléatoires tirées d’une
(n − 1) S 2
population normale N ( μ , σ 2 ) . Alors
suit une loi du Khi carré
2
avec un degré de liberté de (n-1).
σ
Propriété 4 : L’espérance mathématique (ou la moyenne) d’une variable aléatoire X
suivant une loi du Khi carré est : E(X) = υ (nu). La variance de cette
variable aléatoire est : Var(X) = 2υ.
NB : Si n est assez grand (donc υ>30), alors la variable aléatoire X suivant
une loi du Khi carré suivra aussi une loi normale de paramètre.
X ∼> N (ν , 2ν )
Propriété 5 : La courbe représentative de la fonction a la forme d’une cloche présentant
une dissymétrie positive qui diminue à mesure que n augmente. Elle est
totalement située à droite de l’axe vertical. Comme le précisait la note de
la propriété 4, lorsque n est grand la courbe s’approche d’une courbe
normale.
Densités de probabilités de la fonction du Khi carré pour différentes valeurs de υ.
υ=5
υ = 10
υ = 15
υ = 20
υ = 25
υ = 30
Utilisation de la table de probabilités de la loi Khi carré.
Il est possible d’obtenir, grâce à une table, les valeurs théoriques d’une variable
aléatoire suivant une loi du Khi carré pour des valeurs de degré de liberté υ et de
probabilités α données.
Exemple : Trouvons la valeur théorique d’une variable aléatoire X suivant une loi du Khi
carré telle que son degré de liberté υ est 10 et telle que 2.5% des valeurs lui sont
supérieures. Graphiquement cela correspond au dessin suivant.
2
On peut écrire aussi P( X > χ (10,0.025)
) = 0, 025
En consultant la table à la fin de votre volume avec υ = 10 et α = 0.025 on trouve que le
2
χ (10,0.025)
théorique recherché est égal à 20,4832. Donc la probabilité qu’une variable
aléatoire suivant une loi du Khi carré de degré de liberté υ = 10 soit plus grande que
20,4832 est de 2.5%. Nous pouvons écrire mathématiquement ceci
P ( X > 20, 4832) = 0, 025 (si ν = 10)
Exercices
1) En utilisant la table de la loi du Khi carré, trouver la valeur de c telle que :
a) P(X>c)=0,01, si υ = 20
b) P(X>c)=0,25, si υ = 1
c) P(X>c)=0,005, si υ = 10
d) P(X>c)=0,05, si υ = 200 (truc : utilisez la propriété 4) considérez υ=n-1
2) Toujours à l’aide de la table du Khi carré, donner la valeur de :
a) P(X>39,0875) si υ = 29
b) P(X<112,0220) si υ = 89
c) P(26,0393<X<40,2894) si υ = 22
Solutions
No1
a) 37,5663
b) 1,3233
c) 25,1881
d) Puisque υ est grand X ∼> N (200, 400)
P(X>x)=0,05 =P(Z>z) d’après la table de la loi normale z=1,645
x − 200
On sait que z = x − μ donc 1, 645 =
σ
400
alors x = σ z + μ → x = 400 ⋅1, 645 + 200 = 232,9
c=232.9
No2
a) 10%
b) 95%
c) 24%