Loi de probabilité du Khi carré (χ2)
La loi du Khi carré (ou Khi deux) est une loi de probabilité que suivent certaines
variables aléatoires continues. De façon générale, si une variable aléatoire X suit une loi
normale quelconque, alors le carré de celle-ci (X2) suivra une loi du Khi carré. De même,
si n variables aléatoires indépendantes X1, X2, X3,…, Xn suivent des lois normales alors la
somme des carrés de chacune de ces variables suit une loi du Khi carré.
On écrit alors :
Si 222 2 2
123
1
...
n
ni
i
YXXX X X
=
=++++=
alors Y suit une loi du Khi carré avec un
degré de liberté υ (nu) égale à n-1.
NB : Le degré de liberté représente le nombre de variables aléatoires dans la somme,
moins le nombre de paramètres estimés. Nous reviendrons en détail sur le degré de liberté
dans les applications de la loi du Khi carré.
Propriétés des variables aléatoires suivant une loi du Khi carré
Propriété 1 : La somme de variables aléatoires suivant une loi du Khi carré suit une loi
du Khi carré. Le degré de liberté de cette nouvelle variable aléatoire est
égal à la somme des degrés de liberté de chacune des variables aléatoires
présentes dans la somme.
Propriété 2 : La somme d’une variable aléatoire suivant une loi du Khi carré avec une
variable aléatoire quelconque, suit une loi du Khi carré. Le degré de liberté
de cette nouvelle variable aléatoire est égal à la valeur positive de la
différence des deux degrés de liberté.
Propriété 3 : Soit S2 la variance d’un échantillon de n variables aléatoires tirées d’une
population normale 2
(, )N
σ
. Alors
2
2
(1)nS
σ
− suit une loi du Khi carré
avec un degré de liberté de (n-1).
Propriété 4 : L’espérance mathématique (ou la moyenne) d’une variable aléatoire X
suivant une loi du Khi carré est : E(X) = υ (nu). La variance de cette
variable aléatoire est : Var(X) = 2υ.
NB : Si n est assez grand (donc υ>30), alors la variable aléatoire X suivant
une loi du Khi carré suivra aussi une loi normale de paramètre.
(,2)XN
ν
>∼
Propriété 5 : La courbe représentative de la fonction a la forme d’une cloche présentant
une dissymétrie positive qui diminue à mesure que n augmente. Elle est
totalement située à droite de l’axe vertical. Comme le précisait la note de
la propriété 4, lorsque n est grand la courbe s’approche d’une courbe
normale.