Feuille d`exercices

EXERCICES ET PROBLÈMES
Ch. 14 : Angles inscrits, angles au centre
: Oral
. : Application
Vocabulaire
Les points A, B , E et D sont sur le cercle
(C ) de centre O .
1
C
? : Approfondissement
3 ? Le point A est le centre du cercle passant
par les points B , C , F , E et D.
B
C
D
A
( )
A
D
F
O
E
B
En s’aidant éventuellement d’une figure à main levée :
1. Citer des angles inscrits qui interceptent l’arc
_
BD.
E
1. Citer deux angles au centre du cercle (C ) en
précisant l’arc de cercle qu’ils interceptent.
2. Citer deux angles inscrits du cercle (C ) qui
_
interceptent l’arc AB .
3. Citer, dans le cercle (C ), un angle inscrit et
_
l’angle au centre qui interceptent l’arc BE .
2 . La figure ci-dessous représente un cercle (C )
de centre A.
2. Citer l’angle au centre qui interceptent l’arc
_
CF .
3. Citer l’angle au centre et un angle inscrit qui
_
interceptent le même arc EF .
Propriétés
4 Dans un cercle, un angle inscrit et un angle
au centre interceptent le même arc.
1. Quelle est la mesure de l’angle au centre
lorsque l’angle inscrit mesure :
(a) 36˚?
(b) 78˚?
(c) 90˚?
(d) 121˚?
2. Quelle est la mesure de l’angle inscrit lorsque
l’angle au centre mesure :
(a) 36˚?
Pour chaque angle inscrit cité ci-après, indiquer
l’angle au centre qui intercepte le même arc et préciser le nom de l’arc.
[
[
[
[
1. Z ER
4. RKL
2. RZL
d
5. RIE
3. K EL
d
6. IKZ
(b) 80˚?
(c) 90˚?
(d) 140˚?
[
5 . Dans la figure ci-dessous, I , J et K sont trois
d = 65˚
points du cercle C de centre O tels que : IJK
et J OK = 110˚.
C
J
65
O 110
U
K
I
x + 45 O
x
2
I
L
d et JIK
d.
Calculer la mesure des angles IOK
1. Calculer x .
6 . Les points B , C et D sont sur le cercle (C )
de centre O.
2. En déduire la nature du triangle OUI .
(C )
C
123
B
9 ? Sur la figure ci-dessous, les droites (EB )
et (CN ) se coupent en R, point d’intersection des
cercles (C1 ) et (C2 ). Le point O est le centre du
cercle (C1 ).
O
D
[
1. (a) Reproduire la figure à main levée, puis
colorer en rouge l’angle B DC et l’arc
qu’il intercepte.
[ [
(b) Colorer en vert l’arc intercepté par
l’angle au centre B OC .
2. Quelle est la mesure de l’angle B DC ? Justifier.
7 . La figure ci-dessous représente un cercle de
centre I .
\
Calculer la mesure de l’angle N OB . Justifier votre
démarche.
10 ? Les points B , C , D et E sont sur le cercle
de centre A.
E
B
A
[
70
D
Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle M IR.
8 ? Dans la figure ci-dessous, les points I , L et
U appartiennent au cercle C de centre O tels que :
d = 2x et UOI
d = x + 45˚, x strictement positif.
ULI
C
[BC ]
est un diamètre de ce cercle.
[
[
1. (a) Quelle est la nature du triangle BDC ?
(b) En déduire la mesure de l’angle E DC .
2. Déterminer la mesure de l’angle E AC .
[
3. (a) Quelle est la nature du triangle AEC ?
(b) Déterminer la mesure de l’angle AEC .
11
C
( ).
?
Les points A, B , E et D sont sur le cercle
E
0
0
1. À l’aide de considérations sur les angles, démontrer que le triangle ABI est isocèle.
2. Démontrer que la droite (IO) est perpendiculaire à la droite (AB ).
C
( )
14 ? Soit T RI un triangle et (C ) son centre circonscrit. On appelle J le point d’intersection de la
hauteur issue de I et de (T R), et S le point d’intersection de la hauteur issue de R et de (T I ). Soit
H l’orthocentre du triangle T RI . La droite (RH )
recoupe le cercle (C ) en AA.
D
B
A
[
[
1. Déterminer la nature exacte du triangle
ABE .
2. Déterminer la mesure des angles E DB et
B DA puis celle de l’angle E DA.
[
On appelle I le point d’intersection des droites
(AA ) et (BB ).
12 ? Sur la figure à main levée ci-dessous, les
droites (AC ) et (BD) se coupent en E .
1. Tracer une figure, éventuellement avec un
logiciel de géométrie dynamique (si le travail est fait à la maison).
[
2. Que pouvez-vous dire des angles T RA et
Td
IA ?
[
3. En comparant les angles des triangles T RS
et T IJ , démontrer que Td
IJ = T RS .
4. En déduire que A est le symétrique de H par
rapport à la droite (T I ).
5. En procédant de la même façon, que peut-on
démontrer concernant les trois symétriques
de l’orthocentre par rapport à chacun des
côtés du triangle ?
[
[
[
1. Calculer la mesure de l’angle AED puis celle
de l’angle ADB . Justifier votre démarche.
2. Le point E est-il le centre du cercle ? Justifier.
B
E
C
13 ? Deux droites parallèles coupent un cercle
de centre O respectivement en A et B et en A et
B.
F
I
Problèmes
35
25
D
0
0
[
15 ? Les points C , B , E , F et D sont sur le cercle
de centre I . On donne B DE = 25˚ et B DC = 35˚.
[
[
1. Déterminer la mesure des angles C F B et
C EB .
d et
2. Déterminer la mesure des angles CIB
d
BIE .