INDECIDABILITt DES CORPS DE COURBE REELLE 89
courbe elliptique plane E dffinie sur k, d'equation y2 = 4x3 - g2x - g3, telle qu'on
ait:
(1) il n'existe pas de morphismefini de C sur E,
(2) il existe un point de E, rationnel sur k, d'ordre infini (pour l'addition de E
dont l'elment neutre est le point a l'infini), alors K est indckidable.
DtMONSTRATION. Soit k' le sous-corps de k engendre sur k par g2, g3 et les
coordonnees du point d'ordre infini (a,f?). Puisque K' = K 0k k' = k'(u, v)
est traductible (avec un nombre fini de parametres) dans K, il suffit de traduire
(N, +, .), ou (N*, +, f), dans K' avec comme parametres u, g2, g3, a, et ,B.
Soit W une formule (a parametres) 'a 6 variables libres Xi, X2,Y1,Y2, zI, Z2, telle
que, si (ai,a2) et (b1,b2) sont des points de E, K satisfait O(al,.. .,C2) si et
seulement si (c1,c2) est le compose (pour la loi de E) de (al,a2) et de (b1,b2)
(voir [2] chapitre 5, ?6). Soit V, la formule a 4 variables libres XI, X2, yI ,y2:
3f3g{f f OAg /& OA f2 <8 (u - Xi)2 Ag2 <8 (u - X2)2
A VZIVZ2[(Z2 - 4z -g2zI -g3 A (ZI P YI V z2 7P Y2)
Af2 <8 (u - Xi)2 A g2 <8 (u -X2)2)
VVwIVw2(W (zI 5z2, a,fP, WI, W2) __ f2 <8 (u - wi)2 A g2 <8 (u- )2)].
On voit, comme precedemment, que, si (aI, a2) et (b1, b2) sont des points de E,
K satisfait Vt(a1, a2, b1, b2) si et seulement si (b1, b2) est un "multiple" de (ai, a2).
On traduit alors N* par l'ensemble des couples d'elements de K, (xi, X2) qui
satisfont la formule:
x2 = 4x3-g2x1 -g3 A /(atxix2)
Si a, et a2 sont des points de K satisfaisant a a2 = 4a3 - g2a, - g3, puisqu'il
n'existe pas de morphisme fini de C sur E, a1 et a2 sont des elements de k', et
donc la traduction de N* est l'ensemble des multiples de (a,flI). On traduit alors
l'addition par s et la divisibilite par Vi. O
Nous allons maintenant donner des conditions suffisantes des hypotheses de
cette proposition.
5. PROPOSITION. Si C est une courbe, il existe une courbe elliptique E dffinie sur
Q telle qu'il n'y ait pas de morphismefini de C sur E.'
D1MONSTRATION. Si le genre de C est nul, d'apres le theoreme de Hurwitz,
n'importe quelle courbe elliptique convient.
Supposons donc que le genre de C nest pas nul, et soit E est une courbe ellip-
tique (d'invariant modulaire j) telle qu'il y ait un morphisme dominant C -+ E.
De ce morphisme, on deduit un morphisme nontrivial des jacobiennes V: J(E) -+
J(C). La variety abelienne J(C) est isogene a un produit fini de sous-varietes
abeliennes simples AI x ... x An, uniques a isogenie pres ([4], chapitre I, theoreme
11, p. 19). Mais d'apres le theoreme de reductibilite complete de Poincare ([4],
chapitre I, theoreme 9, p. 15), il existe une sous-variete abelienne de J(C), A, telle
qu'on ait J(C) = Im Vt + A et que Im V n A soit fini; donc J(C) est isogene a
1 Merci A Arnaut Beauville, Jean-Yves Merindol, et les geometres d'Angers.
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