Le calcul sur les caractères de l`algèbre M(G) et le

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -F RANÇOIS M ÉLA
Le calcul sur les caractères de l’algèbre M(G) et
le problème « µ ∗ L1 fermé ? »
Séminaire N. Bourbaki, 1978-1979, exp. no 534, p. 151-169
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Séminaire
BOURBAKI
année, 1978/79,
31e
Février 1979
n° 534
CARACTÈRES
LE CALCUL SUR LES
PROBLÈME
ET LE
[d’après
L’algèbre
1.1.
désigne
G
l’algèbre
toute
de
Radon p
m
=
la
Jean-François MÉLA
m
de Radon
mesures
G ,
sur
on
bornées
de Haar de
r
G ,
L1(m)
M(G)
=
S .
Pour
avec
le sous-espace des
En
particulier, si on
M(G) noté encore
.
idéal
un
M
G , d’unité
sur
à
est
dual,
son
identifiera
absolument continues par rapport
mesure
PARREAU]
HOST et F.
M(G)
=
de convolution des
mesure
M(G)
fermé ?"
groupe abélien localement compact,
un
mesures 03BD ~ M(G)
note
M
L1
*
les travaux de B.
par
1.
"
L’ALGÈBRE
DE
de
L1 = L (G) .
1.2.
M
M(G)
=
Notons ~ = LBM
et ~
avec
Un
élément
gie
à
avec
r
dual de
et de
les groupes
lyse
de
un
caractère fort de
transformée
est
la
de
déterminée
topologie
l’algèbre
l’algèbre
de convolution
L1
sait,
soit
déterminée
par
n’est pas dense dans A
sa
été
a
transformée
(c’est là le
La restriction
de
~1~,
dans
et KAKUTANI
[6], à
été jusqu’ici
[4] [5],
la suite
puis
desquels
ceux
G.
les travaux
déjà
très importants
BROWN et W.
anciens de
de J.
L.
MORAN ont obtenu
151
de l’ana-
comme
de Wiener-Pitt").
SREIDER [2] [3],
TAYLOR
à
y
Bien que toute
Fourier-Stieltjes,
"phénomène
que
chose
plus grand
M .
de la
près
privilégié
le domaine
a
théorie
à ceci
description raisonnable de à a pû sembler longtemps hors d’atteinte et,
coup, la théorie de Gelfand difficile à mettre en oeuvre. Les principales
butions avaient
topolo-
La
et coïncide donc
sont les notations usuelles de la
l’algèbre
r
s’identifie
A .
de Gelfand de
il n’en est pas de même de
mesure p E M
M .
fonctions ~
qu’il n’y
En tout cas,
.
l’algèbre,
de
Fourier-Stieltjes de p .
par les
commutative moderne. Certains peuvent penser
rajouter.
r
Le groupe dual
l’analyse harmonique commutative utilisées
sont notés ici multiplicativement.
L’étude
1.3.
G
définies
Les notations non
mesure
appelé
sera
topologie induite par
la
=)
norme
par la relation
n’est autre que la
comme
la
avec
spectre de Gelfand, ensemble des caractères
.
r C ~
de
r
de
son
de Banach commutative
de Gelfand d’une mesure ~ .
partie de ,
une
de
pM(G)
transformée
la
algèbre
est une
=
synthétisés
l’on
Une
du même
contriHEWITT
dans
d’intéressants résultats,
notamment sur les mesures de Bernoulli et les
aussi mentionner les travaux de GLICKSBERG
(3)
Dans
donnerons
nous
l’algèbre
res" de
assez
C’est
M .
qui permet
et
problème dont nous allons parler maintenant.
référence, les travaux de B. HOST et F. PARREAU
d’exposés du Séminaire [14].)
2.1. On
dans r
une
partie fermée
L
ments de
M~
A
conjecturée
THÉORÈME 1.-
E M
mesure
par GLICKSBERG
Soit
E M .
*
de
ou
a
L
*
est
*
L
L1
*
idéal
un
des
LA
A .
*
B.
est
éléet
contenu dans
est une mesure
L =
LA
est
HOST et F.
il existe
convoluée
est la
L
de
inversible,
inversible et d’une
mesure
fermé,
est
et
A
Si
Fourier-Stieltjes.
contenu dans
Si
.
vérifier que
été établie par
Si w
L= ~
d’une mesure » t M ,
respectivement.
M ,
convoluée d’une
la
ou
fermé.
PARREAU
La
mesure
réciproque,
[11].
une mesure
idempotente
mesure ~
de la
et d’une
inversible.
2.3. Dans
ses
classiques,
a) w
*
Si
Soient
t
sujet,
et A
M
son
résumer
comme
par des
méthodes
suit.
spectre de Fourier.
*
*
établit
GLICKSBERG
que l’on peut
L est fermé si et seulement si
L1 est fermé, il existe d >
~
L est f ermé , ~, L 1 L A
*
c)
le
premiers travaux sur
série de résultats
une
PROPOSITION 1.-
b)
ou
il est facile de
telle que ~
et
spectre de Fourier de
est le
idempotente,
L1
L1
f E
ayant leur spectre de Fourier
de
en
série
dans une
respectivement, l’ensemble
et
mesure ~ t M,
une
idempotente,
une mesure
~
M
pousser
"
de Fourier
LÂ
note
on
idéaux fermés
2.2. Etant donné
f ermé ?
L
transformée
sa
r,
de
et de
sont des
où
de
1
*
~y
su
particulier à
en
développés
sont
de Fourier d’une fonction
appelle spectre
le support
"
problème
et
publications citées
(Outre les
un
2. Le
les clarifiant
en
"calcul des caractè-
un
à de nombreuses questions
réponse
loin pour obtenir la
qui reprend
développer
de
calcul que B. HOST et F. PARREAU ont
ce
Il faut
[9] [10].
description de à
une
descriptions antérieures,
les
[7] [8].
de Riesz
produits
=
*
0
et ~
fermé.
est
M
que
tel
*
M
=
d
si
Mn .
Remarques.
2.4.
D’après
la
proposition 1,
l’existence d’une
En effet
~ (Dans
alors,
la
mesure
d’après
suite,
on
pour
établir
idempotente ?
la prop.
prend
d
=
1
1
.)
(c),
le
théorème 1, il suffira
de prouver
ayant le même spectre de Fourier que
il existe
v
E M
telle
que ? = w
~,
* V .
.
Soit
w _ ~1
2.5.
(6 -
+
a
Alors
.
est inversible
o
car
*
(v
* ’~
s -
+
’C~ )
6
=
et
* ? .
D’après
cipaux fermés
de type fini
2.6. La
de
(a), le théorème 1 caractérise du même coup les idéaux prin-
1
la prop.
caractérisation
obtient la même
On
M .
des
idéaux fermés
[11].
1
proposition
(b)
évidence
met en
une
classe de
remarquables
mesures
que
nous
appellerons quasi-idempotentes :
(2.6.1)
DÉFINITION.-
Y t r ,
on
Les mesures
6 M(G)
Une mesure p
~~,(Y), >
a
1
est
quasi-idempotente si, pour
quasi-idempotentes jouent
un
rôle
privilégié
dans
classification des espaces de fonctions invariants par translation,
trent les
récents
où
1 est
le th.
travaux de S. KWAPIEN et A.
reformulé
tout
0 .
ou
dans
ce
PELCZYNSKI (voir
l’étude
et la
le
comme
mon-
particulier [12]
en
contexte).
2.7. La preuve du théorème 1
a)
Donner
le même
établi
un
se décompose en deux parties :
critère qui permette de déterminer si une mesure quasi-idempotente
spectre de Fourier qu’une
en
(6).’ Ceci
problème " ~
*
b) Appliquer
1
L
ce
est
un
mesure
résultat
idempotente.
concernant
a
Ce sera le "lemme du
l’algèbre
M ,
indépendamment
du
f ermé ?".
critère dans
l’hypothèse où
*
L1
est
fermé ;
ce
sera
l’objet
de (7).
3. Le calcul
3.1. Les
"caractères
sur
les
caractères
généralisés"
de
de
M
SREIDER
chaque W E M , la restriction d’un caractère X ( 6 , à
de
élément X
L (~,) . Le caractère X peut être décrit par
Pour
L1(~,) ,
définit
un
la famille
W
(~ ) ~M
qui vérifie les conditions suivantes :
et ces conditions sont suffisantes pour
L (~)
comme
sur
définisse
limite
un
caractère.
Tout ceci revient
X~
dans
L~( ) .
â
se
(X )
W ~tM
de fonctions de
donner le dual de
M(G)
description de 0394 mettait l’accent
l’espoir d’exploiter la propriété (3.1.2) qui généralise
projective d’espaces
les fonctions
qu’une famille
Cette
la relation fonctionnelle des
Néanmoins
cette direction.
comme
on
va
caractères
la
voir, la façon la
de
M .
De
si
plus
c’est-à-dire dans
un
naturellement,
le notera
on
caractères de groupe.
de
description
plus élémentaire
on
"localise"
(3.2.1) Si
y E
mesure B1,
on
(3.2.2)
qui
est le
r , ~
simplement
On
en
en
On
0394+ ,
écrivant
façon équivalente,
par la
étend
xp
pour
opération
cette
X
E ~ ,
en
une
opération
de
par
le
des
produit
opérateurs,
A
une
positive p
conjugaison sur 0394
généralement,
même manière par
éléments positifs de ~ ,
des
et
un
ordre
sur
( M ,
pour toute mesure ~ t M ,
Enfin le module d’un
Plus
de la
y
pour tout ~ £ M ,
(3.2.4) On définit
(3.2.5)
usuel de la fonction
produit
On
si et seulement si, pour toute mesure
de
mesure p"
(X e 0394) , s’introduit
~ ,
semi-groupe commutatif par
définit l’ensemble
(3.2.3)
ou,
les
sur
"au-dessus d’une
posant, pour tout p £ M ,
structure à
est tel que,
en
D’abord, c’est,
a
opère sur l’algèbre M .
l’algèbre M , en définissant
tout
pas très loin dans
d’introduire le calcul
problème
l’ensemble des
espace
Ainsi r
ou
un
va
ne
reste utile.
semi-groupe A
3.2. Le
sur
On
Sreider
caractère
pour tout
z
se
£ C
par
= ~
~
définit
avec
le
Re
z
ou
encore
~ = ~ où ~ M.
plus simplement par
> 0 ,1
on
peut définir
Ix~z
chaque
Dans
un
caractère
est
aussi introduire
L (p.)
développer un calcul fonctionnel
C*-algebre engendrée par A , que l’on
sous
sur
son
conduirait dans le
de
M(G)
Topologies
(3.3.1)
On
cas
(3.3.2)
L 1(
La
spectre. C’est le point de
représenter
de J.
vue
comme
L.
ou
mieux,
espace
TAYLOR, qui
à d’inutiles complications.
projections
L~( )
de A dans
X ~ ~
Gelfand, c’est la plus
de
muni de la
topolo-
))
.
forte sur ~
topologie
sur
d’opérateur
forte
topologie simple
est la
restriction,
Elle induit par
M .
sur
C*-algèbre,
dans cette
peut
appellera topologie faible sur A , la topologie
o(L
obtient bien
forte et faible sur
faible qui rende continue les
gie
qu’on
de montrer
propriétés (3.1.1.) (3.1.2) (3.1.3). On peut
structure de
c*-algèbre héritée des C*-algèbres
une
de fonctions continues
3.3.
plus élémentaire
vérifier les
M(G)’
sur
la
façon
de
E M) , et
(
dans la
la
cas,
encore
chaque
A(t-L) ,
pas, il
s’agit toujours
la
topologie
de
forte de
L1 (W) .
Dans la
suite, lorsqu’on
ne
précise
de la
topologie
faible.
(3.3.3)
Pour la
lement,
si
topologie faible : A
03C6 , 03C8
plication de A
cation
X
(3.3.4)
Pour
la
ne
vérifiées
grand
l’espace
On
des
L~( ) ,
peut les
~03B1 désigne
b) Si
~03B1
et
généra-
plus
03C6 ~ ~ ~ 03C8;
la multi-
continue ; la conjugaison est continue mais
topologies
dans
chaque
usage dans la
PROPOSITION 2.-
et
l’appli-
l’est pas.
suite,
lorsqu’on
d’une part, et de la
part.
~ 0394+
X
que 0394+ ,
tels que
est
semi-groupe topologique
un
et
l’applica-
devient continue.
propriétés
Les
un
séparément
topologie forte : A
~X~
elles sont
de
,
IXII
2014~
tion
fait
~ 0394+
est
compact ainsi
est
l’ensemble des
faible et forte sont des
A()JL) , (~,
sont
en
a) Si
X
suite
X
fait des
le munit de la
topologie induite par
énoncer dans A ou dans
une
t M) .
la
un
convergent faiblement,
propriétés
résultats
propriétés,
faciles à
C(L ( ) ,
faible
topologie
forte de
A(p,)
et
particulier.
de 0394
ou
de
"locales" :
suivants dont
topologie
généralisée d’éléments
converge faiblement
Les
L (~i)
on
établir,
L1 ( ))
d’autre
=
PROPOSITION 3.- La convergence faible de
des
propriétés
la convergence forte si l’une
implique
X
vérifiée :
suivantes est
d , les topologies faible et forte coïncident
que
IXII = cp . Ceci résulte de la prop. 3 (a).
(3.3.5) Remarque.- Si cp t
semble des
X
~ 0394
tels
PROPOSITION 4.- Toute
fermée
fortement
partie
non
vide
admet
de ~+
un
sur
l’en-
élément
minimal.
3.4.
Les
rie.
hM
Caractères idempotents
caractères positifs
h
h2 -
tels que
h
jouent
correspond
décomposition
l’idéal des mesures ~ telles que
Il leur
et de
de
une
X ~ 0394 . Pour tout
(3.4.1) Soit
réel 03B1
>
M
un
rôle important dans la théo-
somme
en
directe de la
sous-algèbre
0 .
0 ,
définit
on
t
(3.2.5).
A ,
Les
caractères
sont des
caractères idempotents tels que
3.5. Les caractères idempotents
h
Désignons
muni d’une
par
GT
le groupe
G
pact, plus fine que la topologie initiale.
M(G) , constituée des
res p E M(G)
compact
une
K
étrangères
de la
décomposition
avec
E
M(G )
phisme d’algèbres.
régulières
mesures
à
M(G )
pour la
s’identifie à la
topologie
T .
T , constituent
un
idéal.
com-
sous-algèbre
L’ensemble des
c’est-à-dire telles que
M(GT) ,
topologie
de groupe localement
T
topologie
0
Toute mesure »
pour tout
E M(G)
admet
unique
et
On
(
-
) | M(G ) .
désigne
par
hT
La
le
projection
~
caractère de
est
M(G)
défini
un
par
de
mesu-
homomor-
Remarques.
(3.5.1)
Dans
logies
T
il
la
définies
correspond
soit
H
que
suite,
initiale,
on
une
topologie
logies
Mais
ne
H
obtient
une
G
.
Si
topologie
fine que la
idempotentes
aux mesures
s’imposera
=
On pourra le
restriction
aucune
ouvert pour la
plus fine. L’idéal
strictement
~ G . Dans toutes les
pour tout
quasi-idempotentes,
les
sur
x
comprend
~H
et
a
G,
topologie
M(G )
0
vérifier
de
H
compact
topologie initiale, telle
n’était pas
H
)p, (xH)
telles que
à considérer les topo-
limiter
se
A tout sous-groupe
H
interviennent.
qui
H
on
voulait,
unique,plus
T
ouvert dans
les mesures p, ~ M(G)
T
on
manière suivante :
de la
compact
questions relatives
si
pourrait,
on
posteriori
topologies
T
sont les
ce
dans les
topo-
résultats.
dans les
démonstra-
tions.
(3.5.2) Si
caractère
(3.5.3)
l’idempotent correspondant à
Tout
caractère fort
caractère fort, puisqu’il
un
généralement,
Plus
forte coïncide
4. Le
4.1. Dans les
dérer
tout le
les
,
on
’x
tifs de
la
avec
1
faible et
.
constituent
hT
le dual de
avec
G ,
la
L1(G) .
l’idéal
sur
de module
de module
topologie
avec
X
en
F =
~ 0393
des
un
sous-semi-groupe de fl
de
r
de 0394
ou
groupe
un
Sur
ce
topologie
IXI
f n
Pour toute mesure W £
;
à .
E
r ,
mais
on
stable par
même, à
est le
général
a
y ,
avec
y t r .
ceci
toujours
M ,
c’est aussi l’adhérence pour la
d’unité
groupe, la
de dual.
on
conjugaison.
près
que,
Le
si
x! =
note
topologie
0393( )
l’ensemble
03C3(L~( ) , L1( ))
est l’ensemble des
éléments posi-
0393( ) .
4.2. Les idempotents critiques de
un
s’annule pas
semi-groupe F
n’a pas
du groupe
Soit
ne
de
problèmes que nous envisageons ici, il n’est pas nécessaire de consispectre ~ , mais seulement l’adhérence f de r dans A pour la
On notera
des
caractères
avec
topologie faible. F- est
calcul sur les caractères
Er,
pour tout
caractère
Mais inversement tout
.
caractères
qui s’identifie, de la même manière,
topologie
X
est de module 1
est donc exactement le groupe des
h ,
topologie discrète,
la
B
module 1 est
r
est
hd
caractère idempotent
r
h f F . Les
caractères
X E f
tels que
,
=
h
constituent
un
d’unité
groupe
et faible coïncident
(3.3.5).
(4.2.1) DÉFINITION.-
Un
adhérent
h, qu’on
F, h
r+
h E
idempotent
caractères de
aux
note
est donc
peut prendre indifféremment
les
ih
r
critique dans
la
ou
topologies forte
topologique.
inférieurs. (Dans
faible
topologie
la
.
groupe
est
strictement
Sur
F,
un
s’il n’est pas
définition
cette
topologie
on
d’après
forte
prop. 3 (a).)
A
r
L’ensemble des
(prop.
que
x!
2
2
(a)}.
I
h ,
=
h
h
car
si
’x, 0( I 2
avec
tique. Ainsi
est faiblement
h
tels que
il
critique,
est
en
est de
convergeait faiblement
xa
THÉORÈME 2.-
E
F-+
h
et
est ouvert dans le
F, h
que localement
gie
Si
En fait
compact.
Si
h
est
compact
peut résumer l’argument
On
L’application
s’identifie
T
de dual, ainsi
identifié
au
1
M( GT ) ,
*2014~
définie
dual de
dans la
au
G ,
dualité
rh
avec
r ,
est
h =
[11] ~14~
fine
de
( GT , F, ) ,
,
par le
rh
la
soit cri-
h
groupe
topologi-
h
pour
plus
pour
topolo-
une
topologie
de
I’
GT.
initiale.
détails} :
dans
F .
ôX(x) .La topologie
initiale.
rh étant ainsi
dense de
couplage
topologie
Fourier-Stieltjes
coïncide
un
vers
le dual d’un groupe
homomorphisme d’image
un
que
transformée
la
le fait que
fine que la
G, plus
et
tendrait aussi
T’h
dans
suit (voir
dual de
plus
est
sur
comme
est
hy
algébriquement
G
~, E
y
peut identifier
tels
2
h.
compact
X E r
h
avec
et
qui contredirait
idempotent critique
un
de groupe localement
T
on
ce
X
vers
F
fermé dans
même de l’ensemble des
h , la convergence serait forte (prop. 3 ( a ) )
=
mais dans
T’ .
lieu de
au
définition d’idempotent critique,
donne exactement la même
Taylor
~,
avec
d’une
sur
.
mesure
On montre
que, pour ~, E M ,1
est
une
transformée
On
en
(3.5)
Mais
nous
peut
ce
de
Fourier-Stieltjes
sur
,
montrer que l’on obtient ainsi tous
qui
est
équivalent
à dire
n’aurons pas besoin de
ce
que tous les
résultat
qui prouve que
ce
les
idempotents
idempotents
[13] [14].
hT
h
M(G ) .
définis
sont dans
r .
5. Mesures
5.1. Dans la suite
énonce
idempotentes
ferons
nous
usage constant des
un
propriétés
suivantes, qu’on
leur forme "calculatoire" :
sous
Soit 11
PROPOSITION 5.-
E M ,
idempotente
plus
ou,
généralement
telle que
(Y E r~ .
On fait les remarques suivantes:
"
(5.1.1)
La
~~ ( Y ) -
La
(’y E r )
~~
et
a
r(Î~ )
forte de
topologie
Toute suite
03C6j~ ~ 03C6j+1~ ,
a
(p.
passe â la limite dans
la même
est
existe
tels que
(5.1.3)
_
(XY ) ~ Z , ( Y E r ) ,
( 5. 1 .2 )
on
_
propriété ~(03B3) ~ Z
discréte.
tel que
décroissante
dans
j
(1 ~ j ~ n) ,
on
propri été que11
En
F
(T!)
Si
’X, E
r,
1
.
X , X’
effet, si
’~ t’Y) ~ X’~(Y)
0393 .
E r
sont
et
est stationnaire.
En
effet, si
peut écrire
’
On voit donc que
Démonstration
On
de la
borné.
est
n
proposition 5.
déduit facilement (a) de(5,1.3)
Démontrons (b) :
de
r(~)
discrète, d’après
sur
,
forte
r
lequel
la
topologie
la suite
=
l’ensemble 03931(~)
faible coïncide
la remarque (3.3.5). Donc
’
F (T))
=
éléments
des
la
avec
topologie
’
r(~) .
conséquence évidente de (5.1.3) est l’existence d’un élément
1
dans
est le seul élément non nul
F (T~ )
0 . Alors
+
A partir de là, on peut démontrer le théorème des idempotents de
Une autre
minimal cpo
dans
considérant
est faiblement dense dans
de module 1
(5.1.4)
en
+
> 0
o
Cohen à titre d’exercice.
5.2. Le théorème des idempotents
Une
mesure ?
une
somme
telle que
-Y.
=
J
est dite
élémentaire
si elle est
m
H
J
H
avec
J
F) ,
finie
~
(5.2.1)
~(Y) ~ E ,
]
un
sous-groupe compact de
G, de
mesure
de Haar
m
H
.
?
f+ (?) .
PROPOSITION 6.non
nul de
élémentaire
est
1
si et seulement si
élément
est le seul
~
Soit ~
telle que
£ M
E , (y £ r) .
£
H
est le noyau de
l’homomorphisme
orthogonal
y->
est constante sur les classes
y,
=
é ;
mode
donc ?
est le seul
coïncide
X?
est
avec
un
?x> #
tels que
£
X?
=
par le
?)
qui
0393(~) .
élément
non
nul
~
0393(~)?(Y)
est de la forme
Réciproquement, si ~
# O ,
des
est donc fini.
i
1
classes
sauf
O
=
sur
O
est contenu dans
un
nombre fini de
(5.2,1).
élémentaire, ~
est dans
caractère du groupe
L1(m)H .
l’idéal
)x ?(
H , donc
1
=
Si
.
~
,
THÉORÈME
3.- Toute
finie de
mesures
mesure ? £
élémentaires.
un
_
élément
est le seul
élémentaire.
%
et,
et
on
Alors
03C62
comme
ou
=
[On
élément minimal 03C6
o
de 0393+ (tpo ’lÎ)
(5,1.4).
,
,
est une somme
r + (?)
dans
la prop.
la même
et
est
6, /p ’lÎ
o
propriété que
.
récurrence
finie.
peut aussi écrire directement la
en
> o
D’après
bien ~ = 03C6o~ ou bien ~ - 03C6o~ # o , a
11 - cp o11 £ ç o? . On aura
nul
non
pourra conclure par
élémentaires
Z , (y £ r) ,
£
,
cp o
o
?(y)
telle que
M
o , il existe
Dans le
1
1
Si
{03B3 |03B3~
=
le groupe discret
sur
_
, l’ensemble compact
de (l)r + ?>r(?)
discret ; il
x?
H| .
mod.
-
r
de
portée
est
H|
r ,
du sous-groupe ouvert de
groupe compact
0393
mesure ?
La
considérant
tous les
déoomposition de ?
éléments
r+(1~)
de
qui
somme
en
sont
de
nombre
en
mesures
fini.)
6. Le lemme du
6.1. Dans
ce
paragraphe
idempotente (2.6)
existe
un
Une telle
réel
ou
E ,
mesure
nous
supposons que
même, plus généralement à
O s
sera
£
dite
1
tel que, pour
même de
pour tout
Pour deux mesures
écrirons
F .
X ~
p,
une
affaire à
une
on
quasi-
pour laquelle il
mesure p E M
tout ? E r ,,
mesure p
ait
~-quasi-idempotente.
On remarquera que la dichotomie
pour les caractères de
avons
nous
De
(6.1.1) passe à la limite
plus, si
F ~
et 03BD
avec
le
est
même
du type
et reste valable
E-quasi-idempotente,
e , puisque
précèdent
et un
il
en
= ~(XY) ,
caractère
X ~
est de
(Y ~iD.
F ,
nous
nombres|(~)| et|(~)|
si les
écrira ~
si la
équivalente,
pour tout
propriété
sont tous deux
(6.1.2)
l$i
,
(mais la
pour tout
car
réciproque
’X E
qu’il
existe
ou
,
~ ~ . On
tous deux
X E r ,
de
ou
façon
w ~v
et si
une
mesure
c~ E
i ,
on
aussi
a
,
n’est pas vraie).
THÉORÈME.4 (Lemme
6.2.
1
’~ E r .
6.i.3. On remarquera utilement que, si
-
Z
est vraie pour tout
du
Soit
idempotente ?
une mesure
l’implication suivante,
x E r
pour
E-quasi-idempotente.
telle
C M
et ~
il suffit
de
idempotente
mesure
Pour
qu’on ait
M :.
.
Démonstration.
Nous ferons
usage constant de la
un
Désignons par A
idempotente ? telle
a)
déterminée par
est
et
vérifie
La
propriété
dire
qu’il
de
l’ensemble des 03C6 ~ F pour
~~ .
notera ?,
On
que
03C6~03C6 = ~03C6
.
Pour 03C6 , 03C8
n ,
E
possible
propriété
la
nous
(6.2.3) exprime que les mesures ?
est
lesquels il existe
mesure
une mesure
idempotente
~~
qui
propriété
plus
(y E r) ,1 telle
Cette
la
5 et des autres remarques de (5).
proposition
de trouver
.
de recollement
~’
une mesure
=
que
s’étend à
un
et
pouvons
écrire
"se recollent", c’est-à-
~03C8
~’(03B3)
avec
à valeurs entières
En l’occurrence il suffit de
nombre fini de
mesures T1
prendre
qui véri-
fient les relations (6.2.3).
b) Il s’agit de montrer que
remarques de (5) que
A
l’ensemble fortement fermé
h
est
existe
~
idempotent,
une mesure
~
h~ ,
donc
il
1
sera
F B A
A ,
vérifie
ce
possède
un
telle que
qui fournit
une
difficulté,
sans
fermé.
Dans le
élément minimal
critique (4.2.1). Sinon
idempotente ?
h ~
~ A . On
est fortement ouvert et
~3~
h ~ ~
on
h
a
~?~
,
h
h
et par
contradiction.
cas
en
utilisant les
où
1
~ A ,
(prop. 4).
et
h
(6.2.1)
~ A .
Si
Il
F ’+
tels que 03C6
et contenu dans
À .
On
correspondantes.
Pour
c) On considère l’ensemble
h
puisque
est
critique,
mesures ~
bre fini de
cp- ?
l’application
tf°OE tend vers 03C6
d’après
?
(5,1.2)
# ? ,
1
on
O
£ .
.h
aura 03C603B1~ tP = ? W
la
a
on
nom-
En effet supposons que
£.
vers
F(? )
1
dans
on
avait alors
et
Ç
assez
cy
pour
Si
grand.
aurait aussi
limite, pour
Ceci est
compact,
celà il suffit de vérifier que
tend fortement
Alors 03C603B1OE
est
qu’il n’existe qu’un
voir
est localement constante dans
dans
on
h , qui
va
03C6
c’est-à-dire qu’il existerait
A la
des 03C6 E
£
une
impossible
~ F
tel que
CY
d’adhérence
valeur
XI 2
car
y
X
de 03C6 y,
et, compte tenu de (6.2.3) qui s’écrit ici
E ~
propriété
qui implique, par (6.2.1)
d)
Les mesures
indiqué
précédemment
.
est
,
ce
des
éléments
en
nombre fini pour
un
qui, toujours
pourra
entières
,
compact
de module
h ,
pour tout
telle que
X
ouvert de
car
avec
se
une
même
des
K
r,
I~(,I
pour
-
recollent
h ,
’~ E r
mesure
comme
~’
tels que
l’a
on
telle que
l’XI
h
et
certainement contenu dans le groupe
h ,
~~(, ‘ 2
E 11
et
d’après (6.2.1) implique
h
corriger
et
t~
s’écrivent ~03C6 = 03C6~’
caractères
_
Puisque
on
et
(’Y E I-’ ) L’ ensemble
Îj’ (’~ )
rhh
étant
’~~
est
T)’
a support
tel que
critique,
par
dans
une
F
s’identifie
mesure
~" ~
avec
L (G )
le dual d’un groupe
telle que
TJ"
G
soit a valeurs
K , ceci de façon que
h .
On sait
qu’il
existe
une
mesure
et
idempotente ?
En
particulier,
ce
qui prouve
On
a
on
A ,
h E
que
pour tout
aura,
7. La solution du
1
E A ,
1
(b)).
l’hypothèse
fie alors
du
Indiquons d’abord
pour
support
X
égal à
dans
Nous allons
comment
X E F
démontrer
on
réduit
et une
les
présent
et coïncide avec
près
que la
on
un
5, la
H
L1
mod.
On
.
cas
où
H
=
E ~
X
et
peut transporter le
fermé"
" ~, *
dans le
de
projection
caractère fort qu’on peut
et w ). Alors
X
sur
propriété
(7.1.1)
évident
est
E M(G) ,1 telle que
Soit
a ~ ~ ( I~(, I 2~ ) ~ z
1
grandes lignes,
7.2. Construction de
0
car
dans le
produits
L1
*
la
passe
~1~ .
au
quo-
Il suffira donc
de Riesz
cas
détails
où
adaptés
G
de la
est
au
1
X 2~ -
signifie
0 ,1
proposition suivante.
fermé.
est
alorsW (~(, ) I z
,
Nous n’entrerons pas dans tous les
donnerons les
véri-
détails.
est le groupe
H
.
à prouver (7.1.2) c’est-à-dire
Reste
PROPOSITION 7.-
j_11]
pour les
quasi-
problème. Supposons
le
les classes
sur
vérifiant
reportera à
idempotente ? . Si
d’après la proposition
1
est
façon résumée pourquoi 1-1
de
se
qui implique que
ce
implications :
cas
0 .
tout
en
fermé,
mesure
translation
b).
en
fermé ?"
". On
ramené à prouver le théorème
Dans le
donc
une
L1
expliquer
|~|2
lemme du
est constante
G/H
tient. On est
de
(à
*
est
idempotente
1
X I ~I ( Y ) - X~ (’Y )
problème
L
*
été donnée
a
en
qui termine la démonstration du théorème 4.
1
est de module
dans
supposer
un
de la mesure
"
ce
problème " ~
7.1. On suppose maintenant que
idempotente (prop.
définition qui
contrairement à la
nécessairement
donc
r ,
y E
Soit
X E
F.
Si pour
.
démonstration ;
mais
nous
en
compact métrisable.
problème
L’hypothèse
peut être
exploitée
de
façon à
de Fourier contenu dans celui
construire des
,
et
même
produits
un
peu
de Riesz
mieux,
ayant leur spectre
comme
on
va
voir.
brève description des produits
Donnons ici une
[.14]
pour
Riesz,
renvoyant a
en
8
[_
]
détails.
de
plus
de
Une suite
@
suite d’entiers
E
=
d’éléments
(9.)..
avecJS.jj’
....,E n
1
F
de
toute
la relation
~ 2 ,
’
dissociée si, pour
est dite
u,
vérifiée
est
F ,
infinie de
03B8jj =
si et seulement si
on
peut extraire
1
1
tout j ,
pour
dissociée.
suite
une
De toute
n .
éléments
Les
partie
F , qui
de
s’écrivent
des entiers
avec
on
Elle
a
de la suite de
G
sur
a démontrer
(7.2.3) si
cp
sera
on
supposé
0393( )
dans
de construire
p
=
p
la
sur
- ,
Qf
définie
comme
(Y
Nous utiliserons seulement le
résultat
sui-
adhérent à
de
la suite
0. ,
cpp
est
cons-
une
’Y
On
aura
compact
r(ti) ,
de
par
hm
=
O
puisque
métrisable,
on
et telle que
*y
aussi
est
peut toujours
n03B3 P
,
une
A
partir
de
’Y
vers
(7.2.1) il
de telle sorte que, pour tout
Y
n z 1
qui converge
|~ |2
.
est
des entiers
e,
encore
tels que
à
une
3 .
Il
ne
et tout
coûte rien de supposer alors,
sous-suite, que la suite
0
=
(8 )
J
avec
Mais
possible
s’écrivant
quitte à passer
,
produit étant
Le
suite
n) , converge
h =
O .
métrisable.
trouver
(p
façon plus précise.
récurrence
tpm
=
n ,
pour tout
avec
.
continu dans
pL
choisit la suite
p
1
étant
X
1
norme
0
considère alors le caractère idempotent défini (3.4.1) par
hP=
séparément
vers
on
tel que
G
réel 03B1 ,
nulle.
non
(7.2.4) Si
il
de
positive
les mots construits
Pour tout
[8] :
élément
est un
Q(0) .
mesures
~i(0) .
pour spectre de Fourier
vant facile
tante
mesure
appelés
sont
,
note
des mots est
de Riesz la
appelle produit
limite vague
1
tels que
E.
(3 . L’ensemble
suite
-
0j
=
y 2j+11
Q(©)
l’ensemble
dissociée.
est
,
près.
(7.2.5)
est contenu dans l’e
correspondant
nombre fini de termes
un
Les conditions
Si
choisit
on
pn
n ,
à
spectre de Fourier de 03B3n ,
P
=
assurent que, pour tout
le
,
OE
de Riesz
produit
défini
n
(7.2.2),
en
avec
trique 03C3n
p’n
pn
=
)(O n ()
norme
ait
OE
-
K
le caractère
h
on
1 +a ,
spectre
son
n
Soit
petit,
assez
OE
n
de
idempotent.
,
et
~p ~ ~
~n~~~ ~ ~
n
Comme, d’autre part,
I
=
pn
a
un
par
arbitrairement
petit,
de Fourier contenu dans celui de 03B3 .
~
1
corriger
pourra
avec
construit
i
" donc
en
comme
polynôme trigonoméde
façon
que
n
(7.2.4).
Pour tout
n ,
2
htQ
et
t~ ,
=
7.3. Fin de la démonstration de la proposition 7
~(X)
Supposons
(prop.
P’n
1
(a)).
(prop.
Puisque ~ * L
tout
n, l’idéal
0 .
=
Pour
1
(c)).
par
y
est
fermé,
y n~
*
M
=
aussi ~
a
on
Y n (~
*
M)
étant uniformément bornée
La suite
p’
étant
isométrie,
*
fermé
est
norme
en
fermé
M
et contient
et la multi-
n
plication
une
résulte
il
théorème
du
de
l’application
ouverte, que l’on peut écrire
avec
Pour tout
En
particulier,
pour tout
ce
C , où
À n EMet
caractère
si
on
est
on
cp
choisit pour tp
une
constante.
aura
le
caractère
h
construit
(7.2)
en
on
aura,
n ,
qui fournit
7.4. Dans le
une
cas
contradiction.
général,
compact, orthogonal
duits de Riesz
sur
on
construit les
produits
de Riesz
du stabilisateur de l’ensemble des
7.5. La construction de
problèmes
C
produits
de Riesz
(tels qu’ils
p
sur
zéros
de 1
sont
définis
le groupe
dans
en
F .
(7.2)
ou
généralisés) est une méthode extrêmement féconde dans beaucoup de
l’algèbre M , [17], (18~, [14J. C’est le principal outil dont on
pro-
pour construire des mesures ~
dispose
Fourier et les valeurs des
8. Mesures
8.1.
Soit
~ M(G)
priété
fortement continues
£-quasi-idempotente
on
E( ) = ~ .
sur
général
En
peut établir le résultat suivant
5.- Pour toute mesure
E M(G) ,
laquelle
ne
ne
on
y E r
l’ensemble des
E()
On notera
est triviale si
que
THEOREME
X ,
une mesure
(6.2.1), mais
contrôle à la fois le spectre de
on
(X E .A) .
quasi-idempotentes
d’hypothèse supplémentaire.
On dira
dont
fait pas
)p.CY)) ~
où
vérifie pas
1
.
la pro-
[15], [14]
~-quasi-idempotente
non
triviale de
norme
il existe
une
topologie
topologie initiale,
T
de groupe localement
et une mesure
idempotente
compact
non
G, plus fine que la
sur
nulle ?
E
L (G )
telle que
03C4 ~ .
Note.
ou
Dans le cas
|(03B3)| ~
bien
idempotente),
on
où
on
~ ,
ou
|(03B3) - 1| ~
bien
peut conclure
le "lemme du
", que
idempotente
résultat
précise et généralise
?~ , ~ î 6 ~ .
pour
(8.1.2) DÉFINITION.toute
la
topologie
Une
(on dira alors que
|(03B3)| ~ ~ ,
un
résultat
de K.
norme
Y ~
est
(8.1.1),
en
F ,
E-
utilisant
DE LEEUW et Y.
localement
compact
sur
le
G
on
cas
de
pour tout
’y E F . Ce
KATZNELSON
établi
est fortement continue
mesure ~ E M(G)
T de groupe
S
la même condition de
telle que
et V E M ,
topologie initiale. (Dans
=
T ,
G , strictement
pour
plus
fine que
retrouve la notion usuelle de
continue,)
mesure
Le
THEOREME
nue,
avec
forte : pour tout
peut s’écrire
avec ?
G =
l’hypothèse plus
fait sur
de
théorème 5
admet le corollaire
6.- Pour toute mesure ~ E
norme
l’ensemble
E(W)
est
compact.
immédiat
M(G) ,
suivant :
E-quasi-idempotente
et fortement conti-
Remarques.
Les conditions
( 8,1.4)
triviaux).
(8,1,1)
si
effet,
En
G
que les
un
topologies
T
possède
infini,
propriété
suivante qui
THÉORÈME
7
Dès
n+ 1 >
que
A1 A 2
...
An
théorème
Le
THÉORÈME
n+ 1
8.-
avec
E( )
A1
...
A
se
avec
A
°°°
cas
e-
qui
et
ne
véri-
avec
fait intervenir
partie
lorsqu’il
particulier
en
la
~-quasi-idempotente,
aucun
infinie quelconque de
reformulation du
fortement continue.
sous-ensemble de la forme
(1 ’ j
F
théorème
8
qui
K
n).
concerne
F .
continue. Dès que
dans
F,
ne
peut s’écrire
(1 ~ j ~ n) .
théorème 8 ;
ainsi du
infini
j
adhérent à Aj (1 ~ j ~ N) .
~l
ne
caractères, [14].
~-quasi-idempotente fortement
03C6 adhérent à E( )
déduit
n
ne
fortes,
caractère
03C6j ~ 0393B0393
théorème 7
Le
>
aucun
6
+
peut formuler les résultats
contient
ne
fait qu’une
en
î M(G)
Soit
’1’°"" 03C6n
une
caractères de
2~ ~/1-~ ,
>
è M(G)
E(yà)
,
désigne
7 n’est
des
on
des
/ 1 -e
Aj
et
continuité forte, qui
peut s’obtenir par le calcul
2
où
2|Log E)
propriétés "arithmétiques"
compact).- Soit
divisibilité
la
’
(G
et
mesure
une
compact. L’ensemble discret
G
cas:
peut construire
assez
des
G
(mis à part les
compact d’indice infini.
H
avec
,
H
8.2. Plaçons-nous dans le
est
de la
plus large
peu
du groupe
G
[14].
(3.5,1) s’applique ici
La remarque
définition
on
((pà)(
norme
théorème 6, [15]
fie pas la conclusion du
(8,1.5)
indépendantes
sont
compact infini,
est
fortement continue de
quasi-idempotente
une
(8,1.3)
et
d’être les meilleures possibles quel que soit
sont pas loin
K
(1 K j
si l’on suppose
n) , il suffit
Le
’l
"°°
de
03C6n
e F’F
prendre 03C6j
est alors
°
comment
Indiquons
Pour tout
on
obtient le
F , désignons
03C6 e
théorème 7 :
par
l’ensemble des caractères
A
W
jl
e
0393+
tels que
~~"~
~
(8.2,1)
À
W
F+
car
la
A
W
traire.
Si
multiplication (6,1.3).
est stable par
h #
1
,
propriété
possède
h
=
h
T
A
est fortement ouvert et
(8.2,1) passe à la limite forte, ainsi que
donc
un
pour
une
élément minimal
topologie
T
fermé dans
V
h
la
propriété condans
F .
idempotent critique
strictement
plus
fine que la
topologie
initiale. On
aura
c’est-à-dire
donc
E(t~,) - ~ .
1
Soient cp=
0 ~ k ~
k ,
tout
pour
E
B.
la
comme
on
r B r ,
PARREAU
propriété suivante,
gressions
N =
N(E ,
9.-
Soit ~,
(1 ~ j ~
cp. ~
1
nous
pouvons
n
+
et pour tout
1) . Si pour
écrire
03C6o...03C6k+1 ~ ~ (n+1)(1-~).
nécessairement
nécessairement positifs, on se ramène
si 03C6 ~ r’r , on peut écrire
en
démontrent
E M(T) ,
arithmétiques
remplaçant 03C8
qui s’étend à
"continue" par "fortement continue"
THÉORÈME
03C6k ) ~ ~ ,
a
non
précédemment
HOST et F.
avec
~1~
E(tp~) ~ 0 , A =
= ~03C6o. .03C6k -
la remarque suivante :
et raisonner
si
fortiori,
a
Pour
cédent par
...
... 03C6n+1 ~
~ ~/1- ~ ,
>
et
un
cp
03C6o03C61
+
n
~ F~
q~,...,cp .1
n ,
~~ ~ ~ -
Donc, si
,
En conclusion :
aussi par
1
par
une
tout groupe
G
cas
pré-
.
méthode élémentaire
compact
au
connexe
en
astucieuse
remplaçant
[19].
E-quasi-idempotente
contenues dans
est
continue. La
bornée
par
un
longueur
entier
des pro-
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