Nombres complexes : rappels

UNIVERSIT´ E D’ORLEANS Ann ´ ee universitaire 2004-2005
UFR Sciences Licence de Physique, 1 ` ere ann ´ ee
Cours d’´ electricit´ e
Nombres complexes : rappels
Les nombres complexes sont abondamment utlis´es en ´electronique car ils simplifient consid´erablement
l’analyse de circuits constitu´es de dipˆoles lin´eaires.
D´efinitions
A tout couple de nombres r´eels (a, b) on peut faire correspondre un nombre complexe unique
z=a+jb
tel que j2=−1. Les variables complexes sont d´esormais not´ees en soulign´e. On appelle :
– partie r´eelle de z: le nombre r´eel Re z=a
– partie imaginaire de z: le nombre r´eel Im z=b
– module de z: la quantit´e ρ=|z|=√a2+b2
– argument de z: l’angle φ=6z(parfois aussi not´e arg z) tel que tan φ=b/a
– complexe conjugu´e de z: le nombre complexe z∗=a−jb
Comme dans les fonctions trigonom´etriques, l’argument n’est d´efini qu’`a un facteur 2πpr`es
et s’exprime en radians.
Il est commode de r´epr´esenter un nombre complexe z=a+jb dans le plan par un point Mde
coordonn´ees (x=a, y =b). Le module du vecteur −−→ OM ´equivaut alors au module du nombre
zalors que l’angle que fait le vecteur −−→
OM avec l’axe des abscisses ´equivaut `a l’argument φ
du nombre z.
Multiplier un nombre complexe z=a+jb par jrevient `a la faire tourner de π/2 dans ce
plan. En effet, j z =j(a+jb) = −b+ja. Prendre le complexe conjugu´e revient `a prendre
le sym´etrique par rapport `a l’axe des abscisses.
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Op´erations arithm´etiques
Les op´erations arithm´etiques s’effectuent s´epar´ement sur les parties r´eelle et imaginaire des
nombres complexes. Si z1=a1+jb1et z2=a2+jb2, on peut d´efinir
– addition :z1+z2= (a1+a2) + j(b1+b2)
– soustraction :z1−z2= (a1−a2) + j(b1−b2)
– multiplication :z1z2= (a1a2−b1b2) + j(a1b2+a2b1)
– module au carr´e :z1z∗
1=a2
1+b2
1=|z|2
– division :z1
z2=z1z∗
2
z2z∗
2=(a1a2+b1b2)+j(a1b1−a2b1)
a2
2+b2 2
Notation exponentielle
En ´electronique, il est souvent plus commode de repr´esenter les nombres complexes en termes
d’exponentielles, sachant que
ejφ = cos φ+jsin φ
On en tire que
z=ρejφ et z∗=ρe−jφ
et
a=ρcos φet b=ρsin φ
Notons enfin que ejπ/2=j,ejπ =−1 et ej3π/2=−j.
Le recours `a la notation exponentielle (ou polaire) simplifie consid´erablement le calcul des
produits et des divisions. En effet, pour deux nombres complexes z1=ρ1ejφ1et z2=ρ2ejφ2
on peut ´ecrire
– multiplication :z1z2=ρ1ρ2ej(φ1+φ2)
– module au carr´e :z1z∗
1=ρ2
1
– division :z1
z2=ρ1ejφ1
ρ2ejφ2=ρ1
ρ2ej(φ1−φ2)
– ´el´evation `a une puissance :zn
1=ρn
1ejnφ
Autrement dit, multiplier deux nombres complexes revient `a faire le produit de leurs modules
et la somme de leurs arguments. Les diviser revient `a faire le rapport des modules et la
diff´erence des arguments. Pour les additions et les soustractions, en revanche, il est pr´ef´erable
de recourir `a la notation standard z=a+jb.
Lien avec la physique
En physique, les quantit´es mesur´ees ne sont jamais des nombres complexes. Seuls les nombres
r´eels ont un sens. Toutefois, et par abus de notation, on repr´esentera souvent des quantit´es
physiques (courant, tension, ...) par des nombres complexes. Cela sous-entend toujours que
seule la partie r´eelle de ces nombres nous int´eresse. La complication du formalisme qui en
r´esulte est largement compens´ee par la simplification des calculs.
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