I Cosinus, sinus et tangente d`un angle aigu - Fichier

D É F I N I T I O N On considère un triangle
ABC rectangle en A :
Le côté est appelé côté adjacent à l'angle .
[
AC
]
ACB
ˆ
Le côté est appelé côté opposé à l'angle .
[
AB
]
ACB
ˆ
Le côté est appelé l'hypoténuse du triangle ABC .
[
BC
]
I Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
A Cosinus
Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle
La trigonométrie dans le triangle rectangle Troisième
Mathématiques
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D É F I N I T I O N Cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :
cos (α) =
côté adjacent
hypoténuse
Dans le triangle ABC rectangle en A , on a :
cos ( ) = = =
ABC
ˆ
AB
BC
6
10
3
5
cos ( ) = = =
ACB
ˆ
AC
BC
8
10
4
5
R E M A R Q U E Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur
d'un des cotés du triangle.
P R O P R I É T É Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
B Sinus
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La trigonométrie dans le triangle
rectangle
La trigonométrie dans le triangle rectangle Troisième
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D É F I N I T I O N Sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :
sin (α) =
côté opposé
hypoténuse
Dans le triangle ABC rectangle en A , on a :
sin ( ) = = =
ABC
ˆ
AC
BC
8
10
4
5
sin ( ) = = =
ACB
ˆ
AB
BC
6
10
3
5
R E M A R Q U E Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur
d'un des cotés du triangle.
P R O P R I É T É Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
C Tangente
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rectangle
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D É F I N I T I O N Tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :
tan (α) =
côté opposé
côté adjacent
Dans le triangle ABC rectangle en A , on a :
tan ( ) = = =
ABC
ˆ
AC
AB
8
6
4
3
tan ( ) = = =
ACB
ˆ
AB
AC
6
8
3
4
R E M A R Q U E La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une
longueur d'un des cotés du triangle.
P R O P R I É T É La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure
à 1 comme le sinus et le cosinus.
La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
D Déterminer la mesure en degrés d'un angle
A S T U C E Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de
cet angle à l'aide des fonctions , et de la calculatrice.
co
s
−1
si
n
−1
ta
n
−1
P I È G E Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.
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rectangle
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II Relations trigonométriques
P R O P R I É T É Pour tout angle aigu , on a :
α
+ = 1
(cos (α))
2
(sin (α))
2
On considère un angle tel que . On peut alors écrire :
Soit :
α
cos (α) =
3
4
co (α) + si (α) = 1
s
2
n
2
si (α) = 1− co (α)
n
2
s
2
si (α) = 1− = 1− =
n
2
( )
3
4
2
9
16
7
16
R E M A R Q U E Pour simplifier les notations, on peut noter à la place de , et à la place de
.
co (α)
s
2
(cos (α))
2
si (α)
n
2
(sin (α))
2
P R O P R I É T É Pour tout angle aigu non droit :
α
tan (α) =
sin (α)
cos (α)
On considère un angle tel que :
On a :
α
cos (α) =
3
⎯⎯
√
2
sin (α) =
1
2
tan (α) = = × = =
1
2
3
⎯⎯
√
2
1
2
2
3
⎯⎯
√
1
3
⎯⎯
√
3
⎯⎯
√
3
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rectangle
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