BCPST 1B 2015/2016 Feuille 42 : Variables aléatoires. Exemples

BCPST 1B
2015/2016
Feuille 42 : Variables aléatoires. Exemples de loi.
1) 20 bovins se répartissent au hasard et indépendamment les uns des autres, dans 3 étables E1 , E2 et E3 .
On suppose que chaque étable peut abriter la totalité du troupeau.
Soit Xk la variable aléatoire définie par le nombre d’animaux ayant choisi l’étable Ek .
a. Déterminer les lois de probabilité de ces trois variables.
b. Quelle est la loi de X1 + X2 + X3 ?
c. Quelle est la loi de X1 + X2 .
2) On lance dix dés pipés et dix dés normaux ; la probabilité d’obtenir 6 sur un dé pipé vaut 12 .
On note X le nombre de 6 obtenus.
a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X.
b. Quelle est l’espérance de X ?
3) Sur un stock de 100 dés, 25 sont pipés ; la probabilité d’obtenir 6 sur un dé pipé vaut 12 .
On choisit un dé au hasard et on le lance 10 fois et on note X la variable aléatoire comptant le nombre
de 6 obtenu.
a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X.
b. Ecrire un programme permettant d’estimer l’espérance.
c. Quelle est la loi de X et son espérance ?
4) On estime à N le nombre de poissons vivant dans un lac. On effectue une première capture de n poissons
que l’on bague avant de les remettre dans le lac. Peu de temps après, on capture à nouveau n poissons,
en prenant soin de les prélever un par un et de rejetter le poisson prélevé avant de prélever le suivant. On
note B la variable aléatoire qui compte le nombre de poissons bagués prélevés.
a. A chaque prélèvement d’un poisson, quelle est la probabilité de prélever un poisson bagué ?
b. Quelle est la loi de cette variable ?
c. Quel est le nombre moyen de poisson bagués prélevés ?
d. On capture maintenant n poissons simultanément et on note X la variable aléatoire qui compte le
nombre de poissons bagués prélevés.
Quelle est la loi de X ?
5) Lors d’un concours d’équitation, un cavalier effectue un parcours de 1 500 m à la vitesse de 10 km/h et
franchit sur ce parcours six obstacles indépendamment.
Pour ce cavalier, la probabilité de franchir ”sans faute” un obstacle est 32 ; le passage sans faute d’un
obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu’un passage avec faute lui fait perdre une minute.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre d’obstacles franchis sans faute.
a. Déterminer la loi de X.
b. Donner la durée moyenne du parcours.
6) Soit X ,→ B 10 ;
1
2
a. Donner l’espérance et la variance de X.
b. Quel majorant de P (|X − 5| > 4) obtient-on en appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
c. Calculer P (|X − 5| > 4).
7) Dans une population de 500 personnes, la moitié possède un ordinateur. On fait un sondage auprès de
n personnes de cette population. On note Yn la proportion de sondés ayant un ordinateur. Déterminer
à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une valeur de n à partir de laquelle cette proportion se
trouve dans l’intervalle ]0,48 , 0,52[, avec une probabilité supérieure à 0,5
8) Dans une population, la moitié possède un ordinateur. On fait un sondage auprès de n personnes de
cette population. On suppose que la population est suffisamment importante pour assimiler ce sondage à
un tirage avec remise. On note Yn la proportion de sondés ayant un ordinateur. Déterminer à l’aide de
l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une valeur de n à partir de laquelle cette proportion se trouve dans
l’intervalle ]0,48 , 0,52[, avec une probabilité supérieure à 0,5
9) Un mobile se déplace de façon aléatoire sur un axe gradué. A l’instant 0, il est à l’origine. A chaque instant
entier, son abscisse varie de +1 avec la probabilité p (on parle de ”pas vers la droite”) et de −1 avec la
probabilité q = 1 − p (on parle de ”pas vers la gauche”). On note Xn l’abscisse du point occupé par le
mobile à l’instant n.
a. Donner Xn (Ω)
b. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de Xn . (n étant un argument de cette
fonction).
c. On note Dn le nombre de pas vers la droite effectuées par le mobile jusqu’à l’instant n. Exprimer Xn
en fonction de n et de Dn .
d. En déduire, à l’aide de la loi de Dn , la loi de Xn .
e. Déterminer l’espérance et la variance de Xn .
f. Pour quelle valeur de p la variable est-elle centrée ? Interpréter.
10) Une urne contient 5 dés truqués et 15 dés normaux à six faces. Les dés truqués donnent 6 avec une
1
probabilité égale à . On prélève au hasard 5 dés de l’urne et on les lance et on note X le nombre de 6
3
obtenus.
Le but de cet exercice est de déterminer l’espérance de X.
a. Donner l’ensemble des valeurs prises par X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de X.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de dés truqués prélevés dans l’urne.
c. Déterminer la loi de Y et son espérance.
d. Sachant que dans l’urne on n’a prélevé que des dés normaux, quelle est la loi de X et son espérance ?
e. Sachant que dans l’urne on n’a prélevé que des dés truqués, quelle est la loi de X et son espérance ?
f. Pour i ∈ [[1; 4]], on suppose que l’événement (Y = i) est réalisé,
décrire alors l’expérience et déterminer pour la probabilité conditionnelle P(Y =i) l’espérance de X.
g. Montrer que :
E(X) =
5
X
i=0
h. En déduire que : E(X) =
25
24
P (Y = i) ×
5
X
k=0
!
k P(Y =i) (X = k)