Le produit scalaire

1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Le produit scalaire
1.c
Le produit scalaire : introduction
Notion de travail d’une force
On considère quatre situations, dans lesquelles on tente de tirer un chariot mobile
d’un point O vers un point A, avec la même intensité F.
Notion de vecteur
Définition 1
un vecteur est un objet mathématique représenté par un segment orienté. Il est définit par
une direction, un sens et une longueur.
La translation qui transforme A en A0 est
l’application qui, à chaque point du plan,
associe le point M 0 tel que AA0 M 0 M est un
parallélogramme.
é
rm
ra
tt
A
es
A
/
A
en
A0
// I
//
A
O
−
→
O F4
A
A
2. Dans les deux autres cas, le travail n’est pas efficace, mais le chariot avance tout
de même. Si on voulait modéliser cette efficacité à l’aide d’un nombre, à quel
intervalle appartiendrait-t-il ? Que représente-il en fin de compte ? Sur quel axe
peut-on le lire et à quelle fonction trigonométrique fait-il référence ?
→
−
3. Si on voulait définir la notion de travail d’une force F le long du trajet OA, à
quoi devrait-il être proportionnel ?
0
/
M 0n M
ée
rm
fo
ns
tra
M t
es
L’application qui transforme un point A en un point A0 est appelée
M translation de
−−→0
vecteur AA
−−→
La translation de vecteur AA0 possède une infinité de représentants. On désigne alors par
−−→
−→
−u = −
une seule lettre (minuscule en général) le vecteur AA0 . Par exemple : →
AA0
Définition 3
2
Théorème 1
Coordonnées et norme d’un vecteur
→
− →
−
x
x
Soient A et B deux points de coordonnées A et B dans un repère (O; i , j ).
yA
yB
−−→
x B − xA
Le vecteur AB a pour coordonnées
y B − yA
Définition 2
1.b
O
−
→
F3
1. Dans quelle situation le travail est-il le plus efficace ? Dans laquelle ne l’est-il
pas ? Quels nombres très simples permettent de modéliser ces deux situations ?
0
fo
ns
−
→
F2
−
→
F
O 1 A
Soient deux points A et B du plan muni d’un repère orthonormé. On a alors :
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Projection orthogonale et produit scalaire
Soient A, B et C trois points quelconques. Dans le triangle ABC, le pied de la hauteur
issue de C est le projeté orthogonal de C sur (AB).
C
C
A
H
B
H
A
B
Grâce au théorème de Thalès, on peut démontrer que :
N
Rsin(θ)
M
sin(θ)
θ
O
−−→
−−→
La norme du vecteur AB noté AB, est par définition égale à la longueur de ce
−−→
vecteur : AB = AB
OM = 1
ON = R
1/3
Rcos(θ)
1.a
Produit scalaire et travail d’une force
cos(θ)
1
Activité 1
Le produit scalaire
les coordonnées des points M et N sont :

!

cos(θ)


M



sin(θ)







N
!
R cos(θ)
R sin(θ)
1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Le produit scalaire
Application 2
Soient trois points du plan O, A et B distincts deux à deux. On s’intéresse au point H, projeté
orthogonal du point B sur la droite (OA), orientée de O vers A.
On rencontre essentiellement deux cas de figure, selon que l’angle est aigu ou obtus (les
autres possibilités - angle nul, angle droit et angle plat - sont des cas particuliers).
−−→
OA
−−→
OH
H
−−→
OB
3
Expression analytique du produit scalaire
−−→
OA
A
−−→ −−→
Angle aigu : OA et OH ont même sens
−−→ −−→
OA × OB × cos OA , OB = OA × OH
|
{z
}
H
−−→
OH
O
Théorème 3
O
B
B
−−→
OB
ABCD est un carré de longueur de côté 2 cm. O est son centre. Calculer les produits
scalaires suivants :
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
1. AB · AD
2. AB · AC
3. BC · BD
4. OB · DC
A
−−→ −−→
Angle obtus : OA et OH ont des sens contraires
−−→ −−→
OA × OB × cos OA , OB = −OA × OH
|
{z
}
−u
Soient deux vecteurs →
0
− →
−
x
−v x dans un repère orthonormé O; →
et →
i, j .
0
y
y
→
−u · →
−v = xx0 + yy0
−OH
Propriété 1
OH
−−→ −−→
Ce nombre particulier OA × OB × cos OA, OB est appelé produit scalaire, et on peut
Exercice 1
1
4
2
Soient A
,B
et C
. Placer ces trois points dans un repère orthonormé,
1
2
3
d
puis déterminer une valeur approchée de l’angle BAC.
4
2/3
→
p
−u = x2 + y2
Orthogonalité et colinéarité
−u
Soient →
0
x
−v x deux vecteurs non nuls dans un repère orthonormé.
et →
y
y0
−−→ −−→
−−→ −−→
si OA et OH sont de sens contraire, alors OA · OB = −OA × OH
et donc
−
−u ⊥ →
−v ⇔ →
−u · →
−v = →
Orthogonalité : →
0 ⇔ xx0 + yy0 = 0
−−→ −−→
−−→ −−→
si OA et OH sont de même sens, alors OA · OB = OA × OH
→
−u · →
−u = x2 + y2
−u 2 = →
Théorème 4
Soient trois points du plan O, A et B distincts deux à deux, et H le projeté orthogonal
du point B sur la droite (OA), orientée de O vers A.
Application 1
ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm, et I est le milieu du segment [BC].
Calculer les produits scalaires suivants :
−−→ −−→
−−→ −
→
−
→ −
→
1. AB · AC
2. AB · AI
3. IA · BI
Définition 4
−u et →
−v le nombre réel noté →
−u · →
−v tel
On appelle produit scalaire de deux vecteurs →
que :
− →
−u · →
−v = −u −u , →
−v →
× →
v × cos →
Théorème 2
généraliser les résultats.
Produit scalaire et norme
− →
−
−u x dans un repère orthonormé O; →
Soit un vecteur →
i, j .
y
−u colinéaire à →
−v ⇔ ∃k ∈ R : →
−u = k→
−v ⇔ cos →
−u , →
−v = ±1
Colinéarité : →
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Exercice 2
−−→ −−→
3
1
−2
4
Soient A
,B
,C
et D
. Calculer AB · CD. Que peut-on en dé−1
2
−1
3
duire pour les droites (AB) et (CD) ?
Exercice 6
−−→ −−→
3
1
−2
4
Soient A
,B
,C
et D
. Calculer AB · CD. Que peut-on en dé−1
2
−1
3
duire pour les droites (AB) et (CD) ?
Exercice 3
−−−→ 1 −−→
Soit ABCD un carré et M le point de [BD] tel que DM = DB. On note H et K les
4
projetés orthogonaux respectifs de M sur (AB) et sur (AD).
Exercice 7
Le produit scalaire
−−−→ 1 −−→
Soit ABCD un carré et M le point de [BD] tel que DM = DB. On note H et K les
4
projetés orthogonaux respectifs de M sur (AB) et sur (AD).
Montrer que (CM) et (HK) sont orthogonaux.
Propriété 3
Exercice 4
Produit scalaire et relation de Chasles
−−→
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 et BC = 5. En décomposant les vecteurs AC
−−→
−−→ −−→
et BD, calculer AC · BD.
Exercice 8
Produit scalaire et relation de Chasles
−−→
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 et BC = 5. En décomposant les vecteurs AC
−−→
−−→ −−→
et BD, calculer AC · BD.
Mouvement d’un solide sur un plan incliné avec frottements
Exercice 9
→
−u · →
−v = →
−v · →
−u (symétrie du produit scalaire)

− →
→
−u · →
−v + →
−
−u · →
−

w =→
u · −v + →
w
(bilinéarité du produit scalaire)
→
−u · k→
−v = k→
−u · →
−v = k →
−u · →
−v 
Exercice 5
→
−u · →
−v = →
−v · →
−u (symétrie du produit scalaire)

− →
→
−u · →
−v + →
−
−u · →
−

w =→
u · −v + →
w
(bilinéarité du produit scalaire)
→
−u · k→
−v = k→
−u · →
−v = k →
−u · →
−v 
Symétrie et bilinéarité du produit scalaire
Symétrie et bilinéarité du produit scalaire
Propriétés du produit scalaire
5
Propriétés du produit scalaire
Propriété 2
5
Montrer que (CM) et (HK) sont orthogonaux.
Mouvement d’un solide sur un plan incliné avec frottements
On considère un solide qui glisse sur un support AB, incliné avec un angle α. Le
→
−
−−→
solide est soumis à des forces extérieures Fext , dont des forces de frottements f .
Déterminer l’expression de l’intensité de cette force de frottement f , en appliquant le
théorème de l’énergie cinétique entre A et B :
−−→
1 2 1 2 X
mvB − mvA =
WA→B Fext
2
2
A
Déterminer l’expression de l’intensité de cette force de frottement f , en appliquant le
théorème de l’énergie cinétique entre A et B :
−−→
1 2 1 2 X
mvB − mvA =
WA→B Fext
2
2
→
−
R
→
−
f
On considère un solide qui glisse sur un support AB, incliné avec un angle α. Le
→
−
−−→
solide est soumis à des forces extérieures Fext , dont des forces de frottements f .
A
h
→
−
R
→
−
f
h
α
→
−
P
α
B
→
−
P
3/3
B