Ecriture formelle

Projet Prép. Préguidance – Cours du professeur G. De Meur 2005
Ecriture formelle
Système de numération : les principes de groupement et de position
Ce qu’est un système de numération
Sur le plan de la REPRESENTATION des nombres, on s’est vite rendu compte de la
difficulté
1° d’associer à chaque nombre un symbole
0 1 2 …….etc
ou a l’inverse, de répéter un signe unique pour représenter un nombre
I II III IIII IIIII ……….
2° de leur donner un nom
Ces obstacles ont obligé les diverses civilisations d’autrefois à combiner les nombres et les
symboles pour désigner des nombres supérieurs
Exemple
chez les Romains :
XXIV =X +X+(V-I )=24
Règle :
Un petit chiffre précédant un plus grand que lui est soustrait en priorité, ensuite tout chiffre est
additionné au suivant
UN SYSTEME DE NUMERATION EST UN ENSEMBLE DE SYMBOLES ET DE
REGLES PERMETTANT D ECRIRE ET DE NOMMER LES NOMBRES
Pour des raisons d’économie de noms et de symboles, les systèmes les plus efficaces sont
ceux qui reposent sur des REGROUPEMENTS en un certain nombre d’éléments, toujours le
même.
Ce nombre est appelé BASE de numération.
Les chiffres qui indiquent le nombre de différents groupements obtenus sont placés les uns à
côté des autres dans un ordre bien précis
Ce mode de regroupement où chaque chiffre prend une valeur différente selon la place qu’il
occupe s’appelle SYSTEME DE NUMERATION DE POSITION
Tous les systèmes de numération ne se valent pas.
Chantal Marchal – Chargée d’exercices
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Il y en a de plus pratiques et de moins pratiques .
remarque
Une petite incursion dans le système japonais de numération nous apprend qu’ils écrivent :
327 trois cent deux dix sept.
3027 trois mille deux dix sept
Leur système nécessite des symboles inexistants chez nous pour désigner les puissances de
dix
La différence essentielle avec notre système de numération est l’absence du zéro
Il leur est impossible de distinguer 327 et 3027 sans les signes « dix » « cent » et « mille »
Le ZERO symbolise l’absence d’un rang et constitue une caractéristique importante dans un
système de numération de POSITION
Système décimal
Notre système de numération en base dix repose sur deux mécanismes élémentaires :
1° le mécanisme de groupement
2° le mécanisme de position
Le mécanisme de groupement veut dire que 10 unités d’un rang sont toujours regroupées en
une unité du rang supérieur.
Le mécanisme de position veut, lui, que ce soit la place d’un chiffre dans un nombre qui lui
confère sa valeur.
NB : Le rang occupé par un chiffre dans la représentation d’un nombre naturel est la place,
comptée à partir de la droite, occupée par ce chiffre dans la série des puissances successives
de 10.
Exemple : 8352, le chiffre 5 occupe le second rang.
3027=(3x103)+ (0x102) + (2x101) + (7x100)
Système binaire
Est le système de numération en base deux
Il ne comprend que les chiffres 0 et1,indiquant l’absence ou la présence d’une unité à un
RANG
Commentaires
La richesse d’un système de numération positionnel avec base c’est de permettre de :
1° décoder un nombre
108 signifie en base dix, un groupement de dix au carré et huit unités. Le zéro est important
car il indique qu’il n’y a pas d’unité au rang des bases :108 ≠ 18
2° comparer deux nombres
201 > 189 car le premier possède deux groupements de cent tandis que le second n’en a
qu’un.
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3° Intercaler des nombres non entiers :
entre 920 et921 par exemple on a : 920,1 (un dixième d’unité en plus)
920,02 (deux centième d’unités en plus)
Remarque
Le système romain ne permet pas, lui , d’intercaler des nombres entre XIV et XV par
exemple, ou encore rend difficile les opérations ( il suffit pour s’en convaincre d’essayer de
résoudre par écrit XVII x XXIV )
D’autres systèmes de numération ont étés utilisés jadis . Voici du plus ancien au plus récent :
Le système babylonien
Le système égyptien
Le système phénicien
Le système grec
Le système hébreux
Le système romain ; vers la même époque, les Celtes utilisent un système de numération qui
repose sur la base vingt. Ce système influence encore les noms des nombres(quatre-vingttrois)
Ce n’est qu’au 6ième siècle après J.-C. que l’on trouve dans un traité hindou ,écrit
en sanscrit , les premières traces d’un système de numération en tout point semblable au nôtre,
c’est –à - dire qui repose sur l’existence d’une base unique, la base dix, ainsi que sur le
principe de position grâce notamment à l’emploi du chiffre zéro.
C’est ce système qui est considéré comme le précurseur de notre système de numération.
Le système des mayas
Le système des arabes de Bagdad
On peut se poser la question suivante :
Quelles sont les raisons qui ont poussé au choix d’une base dix, et non d’une base deux ou
d’une base trente par exemple ?
L’inconvénient d’une petite base, c’est un très grand nombre de regroupements, ce qui
simplifie le système mais alourdit l’écriture
Par exemple, 1110010110111 représente en base deux le nombre 7351
Par contre, une grande base nécessite un grand nombre de symboles(trente en base trente)
La base dix l’a probablement emporté en raison du nombre de doigts des deux mains !
Exercices de calcul dans le système binaire :
Exercice 1 :
Les nombres peuvent être convertis d’une base à l’autre. Voyons le cas où l’une des bases est
la base dix. Deux méthodes :
a) L’expression de nombre comme somme des puissances de la base employée.
b) La réduction.
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Exemple :
a) 23 = 16 + 7
= 16 + 4 + 3
= 16 + 4 + 2 + 1
donc 23 (base dix) = 10111 (base deux)
b) Pour transformer 234 (base dix) en un nombre de base sept : diviser par 7 (nouvelle base)
jusqu’à ce que le quotient soit zéro et le nombre recherché (base sept) est donné par les
restes successifs lus en remontant.
Cela donne
234 0
33
3
4
5
0
4
Ensuite lecture de bas en haut, ce qui donne 453
Donc 234 (base dix) c’est 453 (base sept).
NB : Pour revenir au système décimal, on peut employer le procédé inverse de l’une à l’autre
méthode.
Exercice 2 : Donner l’écriture en binaire du nombre 170 (base dix).
Réponse :
170
85
42
21
10
5
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Ensuite, lecture de bas en haut d’où 10101010
Exercice 3 : Exercice d’addition en système binaire :
NB : Même principe qu’en système décimal mais avec un report à 2.
Exemple :
1100 (12)
+ 1110 (6)
__________
10010 (18)
Exercice 4 :
a) Donner l’écriture binaire de 12 : réponse : 1100
de 13 : réponse : 1101
b) Si en binaire le nombre est 110, donner son écriture en décimal.
Réponse : 0x20 + 1x21 + 1x22 = 0 + 2 + 4 = 6
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c) Quelle est la particularité des nombres pairs dans le système binaire ?
Réponse : ils se terminent par un zéro.
d) Comment multiplie –t- on par 2 dans le système binaire ?
Réponse : on ajoute un zéro à droite
(car chaque puissance de 2 est multipliée par 2 d’où on décale tout d’un rang vers la
gauche)
.
Nombre pair/Nombre impair/Nombre premier
Un nombre entier quelconque est dit PAIR ssi on peut l’exprimer sous la forme 2n « n »
étant un nombre entier quelconque
Un nombre entier qui ne remplit pas la condition voulue pour être pair est IMPAIR
Remarque : un nombre entier est impair ssi on peut l’exprimer sous la forme 2n+1
Voyons :
7=2.3 + 1
11=2.5 + 1
tout nombre impair est un nombre entier supérieur exactement d’une unité, à un
nombre entier pair.
Exercices :
Si a est pair alors a2 est pair
En effet :
Soit a=2x a2 =(2x)2 = 4x2 =2(2x2) =2y
Si a est impair alors a2 est impair
En effet :
Soit a=2x+1 a2 = (2x+1)2 = 4x2 + 4x + 1
=2 (2x2 +2x ) + 1
=2 z + 1
indice
suite : u1,u2,…………,un-1,un,un+1,……..
succession illimitée de nombres
l’indice n indique le rang du nombre un dans cette suite
le terme xn est appelé le n-ième terme ou encore le terme général
xn-1 désigne son précédent tandis que xn+1 désigne son suivant
une suite peut se définir par son terme général
par exemple, la suite dont le terme général est « n/n+1 » est la suite 1/2 , 2/3 ,3/4, 4/5 , 5/6
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Suites particulières :
Suite arithmétique / Suite géométrique
Suite arithmétique :chaque terme est obtenu à partir du précédent par addition d’un nombre
constant appelé raison de la suite ( r )
Suite géométrique : chaque terme est obtenu à partir du précédent par multiplication par un
nombre constant appelé raison de la suite ( q )
NB : dans les deux , il y a donc un élément initial ( a )
NOTATION du terme général :
Suite arithmétique : un = a + n . r
Suite géométrique : un = a . qn-1
Exercices
Ecrire le 5ième terme, le 75ième terme, le terme de rang k, le terme de rang (k+1), le terme de
rang (k+6) d’une suite
Ecrire des suites dont le terme de rang n est :
4n 5n 2n-1 n(n+1)
Les différentes catégories de nombres
En particulier….
∠
9
Les fractions
Les rationnels
Fractions équivalentes
Une fraction est un symbole
a
--- a , b ∈∠ et b ≠ 0
b
4/6 2/3 6/9 8/12 constituent des symboles différents MAIS sont EQUIVALENTES
4/6 représente 4 des 6 parts égales d’un objet quelconque
4/6 = 2/3 . 2/2 on divise chacune des trois parts égales en deux et on en prend deux fois plus
6/9 = 2/3 . 3/3
8/12 = 2/3 . 4/4
théorème :
a/b et c/d sont équivalentes ssi
a.d = b.c
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ex : 20/24 et 30/36 sont équivalentes car
NB :
20/24 . 3/3 = 60/72
30/36 . 2/2 = 60/72
réduction au même dénominateur
20x36 = 24x30
Factorielle
On appelle « factorielle m » , dont le symbole est « m ! » , le produit de m par tous les
nombres entiers qui lui sont inférieurs.
Exercices :
6 ! = 6.5.4.3.2.1
9!=9.8!
9!=9.8.7!
Jouons avec les indices :
n ! = n . (n-1) !
(n+1) ! = (n+1) . n !
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