Une loi de probabilité sans mémoire.

Chapitre 14
Une loi de probabilité sans mémoire.
I Présentation.
La moitié de la quantité d’iode 131 se désintègre en 8, 02070 jours par la réaction ci dessous.
131
53 I
β − 6006 ev
8, 02070 jours
131
54
γ 364 kev
Xe∗
131
54 Xe
On peut décrire la décroissance radioactive en termes de probabilités.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps de désintégration d’un noyau d’iode 131.
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 8, 0207 jours ? P (X > 8, 0207) =
avant 8, 0207 jours ? P (X 6 8, 0207) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 16, 0414 jours ? P (X > 16, 0414) =
avant 16, 0414 jours ?P (X 6 16, 0414) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 24, 0612 jours ? P (X > 24, 0612) =
avant 24, 0612 jours ? P (X 6 24, 0612) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après n × 8, 0207 jours ? P (X > n × 8, 0207) =
avant n × 8, 0207 jours ? P (X 6 n × 8, 0207) =
Bien sûr, la désintégration est un phénomène continue dans le temps. On doit donc pouvoir calculer ces probabilités
à l’aide d’une densité de probabilité.
151
CHAPITRE 14. UNE LOI DE PROBABILITÉ SANS MÉMOIRE.
152
Appelons f la densité de probabilité cherchée sur l’intervalle [0; +∞[.
@On doit avoir P (X 6 8, 0207) =
Z
8,0207
f (t) dt = · · · · · ·
0
@On doit avoir P (X 6 16, 0414) =
Z
16,0414
f (t) dt = · · · · · ·
0
@On doit avoir P (X 6 n × 8, 0207) =
Z
n×8,0207
f (t) dt = · · · · · · · · · · · ·
0
n
1
à l’aide de la fonction exponentielle,
2
plus précisément sous la forme e−λt où t est le temps et λ
un réel strictement positif.
On va écrire le
1.0
0.9
0.8
@On doit avoir :
0.7
P (X 6 8, 0207) = 1 − e−λ×8,0207
1
=
2
0.6
0.5
Calculons le nombre λ.
b
A
0.4
0.3
b
B
0.2
b
C
0.1
b
D
b
10
20
30
E
40
b
F
50
b
G
60
−0.1
Par analogie avec cette dernière formule, on doit avoir
@P (X 6 x) = 1 − e−0,0824×x =
Z
x
f (t) dt.
0
Autrement dit la fonction x 7−→ 1 − e−0,0824×x est une · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · de la fonction f .
@Ainsi, f (x) =
On peut maintenant calculer la probabilité que le noyau d’Iode 131 se désintègre la première journée.
b
H
b
70
I
II. DÉFINITION ET CALCULS DE PROBABILITÉ.
153
@P (X 6 1) =
II Définition et calculs de probabilité.
♠ Propriété k est un nombre réel strictement positif. La fonction f : t 7−→ ke−kt est une densité de probabilité sur
[0; +∞[.
suite que f est une fonction positive et continue sur [0; +∞[.
Preuve: On voit tout
Z de
x
x
• Pour tout réel x,
ke−kt dt = −e−kt 0 = 1 − e−kx .
0
Z x
−kt
• lim
ke
dt = 1.
x→+∞
0
f est donc bien une densité de probabilité.
Définition La loi de probabilité qui a pour densité la fonction f : t 7−→ ke−kt est appelée loi exponentielle de
paramètre k.
Cette loi a de nombreuses applications pratiques :
w elle régit la durée de vie des composants d’une machine (un transistor par exemple) ;
w elle permet de donner la loi de décroissance radioactive comme on l’a vu en introduction.
⋆ Remarque Si X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre k, alors :
si 0 ≤ x1 ≤ x2 :
P (x1 < X 6 x2 ) =
Z
x2
x1
y=
x2
ke−kt dt = −e−kt x = −e−k x2 + e−k x1
1
1 −1x
e 2
2
0.5
1
−1
2
P (2 < X 6 4) =
−0.5
3
Z
2
4
4
5
6
i4
h
1
1 −1t
e 2 dt = − e− 2 t = −e−2 + e−1 ≈ 0, 50
2
2
On a alors, en utilisant le fait que (x1 < X) a pour évènement contraire (0 6 X 6 x1 ),


Z x1
x1
 = e−k x1
ke−kt dt = 1 − −e−kt 0 = 1 − −e−k x1 + |e−k×0
P (x1 < X) = 1 − P (0 6 X 6 x1 ) = 1 −
{z
}
0
=1
CHAPITRE 14. UNE LOI DE PROBABILITÉ SANS MÉMOIRE.
154
y=
1 −1x
e 2
2
0.5
1
−1
2
P (X > 2) = lim
x→+∞
−0.5
Z
x
2
3
4
5
6
ix
h
1
1 −1t
− e− 2 t = lim (−e−x + e−1 ) = e−1 ≈ 0, 37
e 2 dt = lim
x→+∞
x→+∞
2
2
Exercices sur le livre : faire les exercices n◦ 13, n◦ 14 et n◦ 15 page 418.
III Espérance mathématique.
♠ Propriété Si la variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre k, alors E(X) = X =
Preuve:
On sait que E(X) = lim
Z
1
.
k
x
t ke−kt dt.
1
e−kt est une primitive de f : t 7−→ t ke−kt .
Montrons que la fonction F : t 7−→ − t +
k
′
1
1
− t+
e−kt = −e−kt + k t +
e−kt = −e−kt + kte−kt + e−kt = kte−kt
k
k
Rx
1
1
e−kx +
Ainsi 0 t ke−kt dt = F (x) − F (0) = − x +
k
k
1
1
1
E(X) = lim
− x+
+ =
e−kx
x→+∞
k
k
k
{z
}
|
x→+∞
0
limite nulle par
croissance comparée
Ainsi, quand on connait l’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, on connait
toute la loi, il suffit de calculer le paramètre k puis de donner la densité.
Exercices sur le livre : faire les exercices n◦ 17 et n◦ 18 page 418.
IV Une loi sans mémoire.
♠ Propriété La loi exponentielle de paramètre k est une loi sans mémoire, c’est à dire que, si x est une variable
aléatoire qui suit la loi exponentielle, alors :
P(X>a) (X > a + h) = P (X > h)
IV. UNE LOI SANS MÉMOIRE.
155
Preuve:
P(X>a) (X > a + h)
=
=
P ((X > a) ∩ (X > a + h))
P (X > a)
P (X > a + h)
P (X > a)
e−k(a+h)
e−ka
= e−kh
=
Exercice sur le livre : faire l’exercice n◦ 19 page 419.
Définition X est une variable aléatoire sans mémoire. On appelle demi-vie de X (ou médiane) le nombre x tel
1
que P (X < x) = . C’est ce que nous avons utilisé dans l’introduction du chapitre.
2
Dans le cas particulier d’une variable qui suit la loi exponentielle de paramètre k, on obtient :
P (X < x) =
1
2
⇐⇒
1 − e−kx =
⇐⇒
e−kx =
⇐⇒
⇐⇒
Exercice sur le livre : faire l’exercice n◦ 16 page 418.
1
2
1
2
−kx = − ln 2
ln 2
x=
k