Une loi de probabilité sans mémoire.

Chapitre 14
Une loi de probabilité sans mémoire.
I Présentation.
La moitié de la quantité d’iode 131 se désintègre en 8,02070 jours par la réaction ci dessous.
β−6006 ev
8,02070 jours
γ364 kev 131
54 Xe
131
54 Xe∗131 53 I
On peut décrire la décroissance radioactive en termes de probabilités.
On appelle Xla variable aléatoire qui donne le temps de désintégration d’un noyau d’iode 131.
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 8,0207 jours ? P(X>8,0207) = avant 8,0207 jours ? P(X68,0207) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 16,0414 jours ? P(X>16,0414) = avant 16,0414 jours ?P(X616,0414) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après 24,0612 jours ? P(X>24,0612) = avant 24,0612 jours ? P(X624,0612) =
@Quelle est la probabilité que le noyau d’iode se désintègre :
après n×8,0207 jours ? P(X>n×8,0207) = avant n×8,0207 jours ? P(X6n×8,0207) =
Bien sûr, la désintégration est un phénomène continue dans le temps. On doit donc pouvoir calculer ces probabilités
à l’aide d’une densité de probabilité.
151

152 CHAPITRE 14. UNE LOI DE PROBABILITÉ SANS MÉMOIRE.
Appelons fla densité de probabilité cherchée sur l’intervalle [0; +∞[.
@On doit avoir P(X68,0207) = Z8,0207
0
f(t)dt =······
@On doit avoir P(X616,0414) = Z16,0414
0
f(t)dt =······
@On doit avoir P(X6n×8,0207) = Zn×8,0207
0
f(t)dt =············
On va écrire le 1
2n
à l’aide de la fonction exponentielle,
plus précisément sous la forme e−λt où test le temps et λ
un réel strictement positif.
@On doit avoir :
P(X68,0207) = 1 −e−λ×8,0207 =1
2
Calculons le nombre λ.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
−0.1
10 20 30 40 50 60 70
A
B
C
DEFGHI
Par analogie avec cette dernière formule, on doit avoir
@P(X6x) = 1 −e−0,0824×x=Zx
0
f(t)dt.
Autrement dit la fonction x7−→ 1−e−0,0824×xest une ··························· de la fonction f.
@Ainsi, f(x) =
On peut maintenant calculer la probabilité que le noyau d’Iode 131 se désintègre la première journée.

II. DÉFINITION ET CALCULS DE PROBABILITÉ. 153
@P(X61) =
II Définition et calculs de probabilité.
♠Propriété kest un nombre réel strictement positif. La fonction f:t7−→ ke−kt est une densité de probabilité sur
[0; +∞[.
Preuve: On voit tout de suite que fest une fonction positive et continue sur [0; +∞[.
•Pour tout réel x,Zx
0
ke−kt dt =−e−ktx
0= 1 −e−kx.
•lim
x→+∞Zx
0
ke−kt dt = 1.
fest donc bien une densité de probabilité.
Définition La loi de probabilité qui a pour densité la fonction f:t7−→ ke−kt est appelée loi exponentielle de
paramètre k.
Cette loi a de nombreuses applications pratiques :
welle régit la durée de vie des composants d’une machine (un transistor par exemple) ;
welle permet de donner la loi de décroissance radioactive comme on l’a vu en introduction.
⋆Remarque Si Xest une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre k, alors :
si 0≤x1≤x2:
P(x1< X 6x2) = Zx2
x1
ke−kt dt =−e−ktx2
x1=−e−k x2+e−k x1
0.5
−0.5
1 2 3 4 5 6−1
y=1
2e−1
2x
P(2 < X 64) = Z4
2
1
2e−1
2tdt =h−e−1 2ti4
2=−e−2+e−1≈0,50
On a alors, en utilisant le fait que (x1< X)a pour évènement contraire (0 6X6x1),
P(x1< X) = 1 −P(0 6X6x1) = 1 −Zx1
0
ke−kt dt = 1 −−e−ktx1
0= 1 −
−e−k x1+e−k×0
|{z }
=1
=e−k x1

154 CHAPITRE 14. UNE LOI DE PROBABILITÉ SANS MÉMOIRE.
0.5
−0.5
1 2 3 4 5 6−1
y=1
2e−1
2x
P(X > 2) = lim
x→+∞Zx
2
1
2e−1
2tdt = lim
x→+∞h−e−1
2tix
2= lim
x→+∞(−e−x+e−1) = e−1≈0,37
Exercices sur le livre : faire les exercices n◦13, n◦14 et n◦15 page 418.
III Espérance mathématique.
♠Propriété Si la variable aléatoire Xsuit une loi exponentielle de paramètre k, alors E(X) = X=1
k.
Preuve:
On sait que E(X) = lim
x→+∞Zx
0
t ke−kt dt.
Montrons que la fonction F:t7−→ − t+1
ke−kt est une primitive de f:t7−→ t ke−kt.
−t+1
ke−kt′
=−e−kt +kt+1
ke−kt =−e−kt +kte−kt +e−kt =kte−kt
Ainsi Rx
0t ke−kt dt =F(x)−F(0) = −x+1
ke−kx +1 k
E(X) = lim
x→+∞
−x+1
ke−kx
|{z }
limite nulle par
croissance comparée
+1
k=1 k
Ainsi, quand on connait l’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, on connait
toute la loi, il suffit de calculer le paramètre kpuis de donner la densité.
Exercices sur le livre : faire les exercices n◦17 et n◦18 page 418.
IV Une loi sans mémoire.
♠Propriété La loi exponentielle de paramètre kest une loi sans mémoire, c’est à dire que, si xest une variable
aléatoire qui suit la loi exponentielle, alors :
P(X>a)(X > a +h) = P(X > h)

IV. UNE LOI SANS MÉMOIRE. 155
Preuve:
P(X>a)(X > a +h) = P((X > a)∩(X > a +h))
P(X > a)
=P(X > a +h)
P(X > a)
=e−k(a+h)
e−ka
=e−kh
Exercice sur le livre : faire l’exercice n◦19 page 419.
Définition Xest une variable aléatoire sans mémoire. On appelle demi-vie de X(ou médiane) le nombre xtel
que P(X < x) = 1
2. C’est ce que nous avons utilisé dans l’introduction du chapitre.
Dans le cas particulier d’une variable qui suit la loi exponentielle de paramètre k, on obtient :
P(X < x) = 1
2⇐⇒ 1−e−kx =1 2
⇐⇒ e−kx =1
2
⇐⇒ −kx =−ln 2
⇐⇒ x=ln 2
k
Exercice sur le livre : faire l’exercice n◦16 page 418.