Partiel - Physique 2 - e

Partiel - Physique 2
CPI-Chemist 1.
NOM : . . . . . . . . . . .
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Durée : 1 Heure 20 min.
Enseignant : J.Geandrot, J.Roussel
1
Passage de témoin lors d’un relais
On étudie dans cet exercice le passage de témoin entre deux relayeurs qui participent à un 4
× 100 m.
On nomme C1 le coureur qui possède le témoin, il se déplace à une vitesse constante
v1 = 10 m.s−1 .
Le relayeur C2 attend le témoin. Il est donc positionné au niveau de sa ligne de départ notée
O.
Pour que le passage se passe dans des conditions idéales, il faut que C2 commence à courir avant
l’arrivée de son coéquipier : ainsi, C2 démarre avec une accélération constante a2 = 2,0 m.s−2
lorsque C1 se trouve à la distance d de la ligne O.
Pour repérer la position des coureurs, on utilisera un axe des abscisses Ox horizontal dirigé
vers la droite.
C1
C2
x
O
d
1. Exprimer les équations horaires représentant le mouvement x1 (t) de C1 et le mouvement
x2 (t) de C2 en fonction du temps t.
2. Déterminer une relation entre v1 , a2 et d, pour que le passage entre C1 et C2 soit
possible.
3. Les règles du relais imposent que le passage soit effectué au plus tard à une distance
` = 20 m de la ligne O.
Déterminer la distance d qui permet de respecter cette contrainte.
2
Le piqué du faucon pèlerin
Le faucon pèlerin est l’animal le plus rapide au monde. Alors qu’il est en vol stationnaire, il
est capable de piquer verticalement vers le sol pour atteindre sa proie. Alors, au bout de 25
secondes de chute, il atteint pratiquement sa vitesse maximale de 382 km.h−1 , qui est une
vitesse limite du fait des frottements de l’air.
→
−
−
Ces frottements sont quadratiques, on note k le coefficient de frottement : f = −k v →
v.
On considère que la vitesse verticale initiale du faucon est nulle au moment où il commence
son piqué.
On donne g = 9,81 m.s−2 .
1. Expliquer physiquement pourquoi le faucon atteint une vitesse limite lors de sa chute
en piqué.
2. Etudier la chute du faucon et trouver l’équation différentielle qui décrit l’évolution de
sa vitesse en fonction du temps. Soigner la rédaction.
3. En déduire l’expression de la vitesse limite atteinte par le faucon, en fonction de k, m
la masse du faucon et g l’intensité de la pesanteur.
4. Montrer que l’équation différentielle de la question 2 peut s’écrire sous la forme :
dv
= A v2 + B
dt
(1)
Donner les expressions littérales de A et B ainsi que leur valeur numérique (on ne
s’occupera pas de leur unité).
5. Appliquer la méthode d’Euler à ce problème et trouver les 4 premières vitesses non
nulles du faucon lors de son piqué. On prendra un pas de δt = 2 s.
6. On donne ci-contre la courbe v = f (t) obtenue grâce à la méthode d’Euler. Placer les
vitesses trouvées précédemment sur cette courbe.
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100
v(m.s−1 )
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
t(s)
7. Trouver graphiquement le temps τ caractéristique de l’évolution de la vitesse du faucon
lors de son piqué et en déduire la durée du régime transitoire.
3
Le skieur qui allait plus vite que son ombre
En ski, la discipline du kilomètre lancé consiste à atteindre la plus grande vitesse possible. Le
record du monde actuel est de 252 km.h−1 .
Un skieur se trouve au sommet d’une piste faisant un angle α = 45◦ avec l’horizontale et de
dénivelée (différence de hauteur entre son point de départ et son point d’arrivée) h = 400 m.
A t = 0, il part sans vitesse initiale.
La masse du skieur est de 80 kg.
On donne g = 9,81 m.s−2 .
3.1
Cas des frottements solides
Le skieur est soumis, en plus des forces qui s’exercent habituellement sur lui, à une force de
frottement solide. Le coefficient de frottement solide vaut µ = 0,04.
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Physique 2
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1. Après avoir posé les bases du problème (système, référentiel, ...), faire un bilan de forces
sur le skieur.
2. A l’aide du principe fondamental de la dynamique (PFD), calculer la vitesse atteinte
en bas de la pente. Ce modèle est-il réaliste ?
3.2
Cas des frottements fluides
On considère que les frottements solides sont négligeables. Il s’exerce par contre une force de
frottement fluide linéaire sur le skieur.
1. Poser les bases du problème, faire un bilan des forces puis à l’aide du principe fondamental de la dynamique (PFD), établir l’équation différentielle qui régit l’évolution de
la vitesse v du skieur.
2. La résoudre complètement.
3. Le coefficient de frottement fluide est k = 6 SI. Ce modèle est-il réaliste ? Commenter ?
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CORRECTION
1
Passage de témoin lors d’un relais
1. Equations horaires :
On a v1 = cste = 10 donc x1 (t) = v1 t + cste1 .
Or à t = 0, x1 (t = 0) = −d ⇐= x1 (t) = v1 t − d.
—On a a2 = cste = 2 donc v2 (t) = a2 t + cste2 .
Or à t = 0, v2 (t = 0) = 0 = cste2 =⇒ v2 (t) = a2 t.
a2 t2
+ cste3
Et x2 (t) =
2
a2
Or à t = 0, x2 (t = 0) = 0 = cste3 =⇒ x2 (t) = t2 .
2
2. Pour que le passage de relais soit possible, il faut que C1 et C2 se rencontrent, soit
a2 2
x1 (t) = x2 (t) =⇒ v1 t − d =
t .
2
C’est donc possible s’il existe un t > 0 tel que cette relation est valable.
a2 2
t < 20.
3. De plus, pour que la contrainte soit respectée, il faut que
2
Cette dernière équation nous donne le temps t` limite égal à 4,47 s.
D’où une distance d de :
d = v1 t −
a2
× t2
2
(2)
avec t = 4,47 s, d’où d = 24,7 m.
Cette distance est la distance maximale pour que le passage se fasse dans les 20 m de la limite,
si cette distance est plus courte, le passage se fera avant.
2
Faucon pèlerin
1. Le faucon est soumis à son poids force, vertical vers le bas et aux forces de frottements
fluides, force verticale vers le haut.
Au début du piqué, la vitesse du faucon est faible, le poids l’emporte sur les forces de
frottements et le faucon accélère.
Il arrive à un moment où les forces du poids et des frottements sont de même norme et se
compensent. A ce moment là le faucon est en mouvement rectiligne uniforme à sa vitesse
limite.
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2. Système : le faucon ;
Référentiel : le sol de la Terre référentiel terrestre supposé galiléen ;
Base de projection : axe Oz vertical descendant, l’origine étant le point de départ du
piqué du faucon ;
Forces : poids et force de frottements ;
−
− →
P −−→ →
−
PFD : Fext = P + f = m →
a ;
Projection sur l’axe Oz :
m g − k v 2 = m a ⇐⇒
dv
k
+ v2 = g
dt
m
(3)
3. La vitesse limite est constante, on la note vlim et on l’injecte dans l’équation différentielle :
dvlim
k 2
= g =⇒ vlim =
+ vlim
dt
m
…
mg
k
(4)
4. On peut écrire l’équation différentielle (3) de la façon suivante :
dv
= A v2 + B
dt
avec
A=−
k
m
et B = g
(5)
Pour calculer A, on est obligé de passer par la vitesse limite puisque nous ne connaissons
pas la valeur de k le coefficient de frottement. Ainsi :
…
vlim =
mg
k
g
9,81
=⇒ −A =
=
=
=⇒ A = −8,71 × 10−4 SI
2
k
m
vlim
(382/3,6)2
(6)
On a B = 9,81 SI
5. Si on prend un intervalle de temps suffisamment petit, on peut écrire :
δv
= A v 2 + B ⇐⇒ δv = (A v 2 + B) × δt
δt
(7)
vi+1 = vi + δv
(8)
d’où :
v1
v2
v3
v4
= v0 + (A v02 + B) × δt = 19,6 m.s−1
= 38,6 m.s−1
= 55,6 m.s−1
= 69,8 m.s−1
6. Courbe :
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100
v(m.s−1 )
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
t(s)
7. On trouve le tempsn caractéristiques τ en traçant la tangente à l’origine à la courbe
v = f (t) en en regardant quel est son point d’intersection avec l’asymptote v = vlim
On trouve τ = 10 s.
3
Le skieur
3.1
Soumis à des frottements solides
1. Le système étudié est le skieur avec son matériel, dans le référentiel lié à la piste, référentiel
terrestre considéré galiléen le temps du mouvement.
On choisit une base cartésienne à une dimension, l’axe Ox est parallèle à la ligne de plus
grande pente.
Les forces qui s’exercent sur le skieur sont le poids et la réaction du support qui se décom→
−
pose, comme il y a des frottements solides, en une réaction normale N perpendiculaire à
→
−
la pente et une réaction tangentielle T colinéaire à celle-ci.
→
− →
− →
−
−
2. On projette alors la deuxième loi de Newton sur l’axe Ox : N + T + P = m →
a devient
m ẍ = −T + m g sin α.
Or il y a frottements avec glissement donc T = µ N . Mais µ est petit si bien que le terme
de frottement est négligeable. On peut donc écrire :
Partiel
Physique 2
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ẍ = g sin α d’où :
ẋ = g sin α t + cste1
Or à t = 0 ẋ = 0 donc cste1 = 0.
g sin α 2
x=
t + cste2
2
Or à t = 0, x = 0 donc cste2 = 0.
Avec la dernière relation,
on calcule le temps correspondant à l’arrivée du skieur en bas
2L
100
de la pente : t =
avec L la longueur de la piste : L =
.
g sin α
sin α
On injecte alors ce temps dans l’expression de la vitesse, on trouve une vitesse de
88,5 m.s−1 = 318 km.h−1 . Cette vitesse n’est pas réaliste pour un skieur.
3.2
Soumis à des frottements fluides
3. On garde le même système, le même référentiel, la même base, seul le bilan des forces est
−
modifié : il s’exerce une force de frottement fluide linéaire en k →
v sur le skieur.
dv
k
Le PFD projeté donne donc : m ẍ = −k v + m g sin α =⇒
+ v = g sin α
dt
m
4. Cette équation est du premier ordre avec second membre, on recherche donc la solution
t
−
de l’équation homogène et une solution particulière, on trouve : v(t) = A e τ + g sin α τ
m
si on a posé τ = .
k
La vitesse initiale
è on a A = −g sin α τ d’où :
Öétant nulle,
t
−
v(t) = g sin α τ 1 − e τ .
5. On sait qu’avec les frottements fluides, le skieur va atteindre une vitesse limite égale à la
vitesse maximale atteinte.
Cette vitesse est obtenue en l’injectant dans l’équation différentielle, sachant qu’elle est
constante :
dvlim
k
m g sin α
+ vlim = g =⇒ vlim =
dt
m
k
On trouve 92.5 m.s−1 = 333 km.h−1 .
Cette vitesse n’est pas réaliste, ce sont des frottements fluides quadratiques qui s’exercent
sur une tel skieur.
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