Terminale STSS B – Devoir de maths – Vendredi 25 mai 2012 Exercice 1. sur 4 points La suite (un) est une suite géométrique de premier terme u1= 1500 et de raison 0.97. 1°) Exprimer un en fonction de n. 2°) Déterminer la plus petite valeur de n telle que un < 21. Justifier soigneusement. Exercice 2 sur 7 points En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie électronique d’un particulier est de 76%. Le logiciel StopoSpam supprime 95% des messages indésirables mais aussi 3% des messages acceptés (c’est-à-dire « non indésirables »). On prend au hasard un message de cette boite et on note A l’événement « le message est accepté » et S l’événement « le message est supprimé » 1°) a) Donner p( A), p( A), pA (S ), pA (S ) b) Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe et qui sera rendu avec la copie.. 2°) Cette question est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Justifier soigneusement la réponse. a. La probabilité qu’un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à : 0,03 0,0072 0,2328 0,1824 b. La probabilité qu’un message pris au hasard soit supprimé est égale à : 0,7292 0,19 0,98 0,722 c. La probabilité qu’un message pris au hasard soit indésirable sachant qu’il est supprimé est, à 0,01 près, égale à : 0,95 0,722 0,99 0,19 Exercice 3 sur 9 points Avant de lancer une nouvelle campagne de sensibilisation, une association humanitaire a étudié comment se sont répartis, en fonction de leur âge, les 400 donneurs de la campagne précédente, ceux-ci étant soit des donneurs occasionnels, soit des donneurs réguliers. – On compte 70% de donneurs occasionnels. – Parmi les donneurs occasionnels, 30% ont entre 20 et 34 ans. – Un tiers des donneurs réguliers a entre 35 et 59 ans. – Parmi les 198 donneurs âgés de plus de 60 ans, 26,3% sont des donneurs réguliers. 1. Compléter le tableau situé en annexe. On arrondira les résultats à l’entier le plus proche. 2. L’association a établi un fichier de ses donneurs. On prélève au hasard une de ces fiches. On notera : R l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur régulier » et R l’évènement contraire. A l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de 20 à 34 ans » B l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de 35 à 59 ans » C l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de plus de 60 ans ». a. Calculer P(B). b. On considère l’événement D : « la fiche choisie est celle d’un donneur occasionnel âgé de 20 à 34 ans ». Exprimer cet événement à l’aide des événements définis dans le texte ci-dessus puis calculer sa probabilité. 3. On considère PC (R) . a. Exprimer cette probabilité par une phrase. b. La calculer, au millième près. c. Les évènements C et R sont-ils indépendants ? NOM : Exercice 2 S A S S A S Exercice 3 Donneurs occasionnels Donneurs réguliers Total de 20 à 34 ans de 35 à 59 ans 60 ans et plus Total 400 Exercice 1 1°) un = u1 × qn – 1 = 1500×0.97n – 1 2 un 21 1500 0.97 n 1 21 21 0.97 n 1 1500 n 1 0.97 0.14 2°) log(0.97 n 1 ) log(0.14) (n 1) log(0.97) log(0.14) log(0.14) n 1 car on divise par un nombre négatif log(0.97) log(0.14) n 1 141.14 log(0.97) Le plus petit entier supérieur à 141.14 est 142 : la valeur de n cherchée est donc 142. Remarque : on peut aussi entrer la formule du 1° dans le tableau de valeurs de la calculatrice. On obtient : u141 21.092 et u142 20.46 : la valeur de n cherchée est bien 142. 2 Exercice 2 p( A) 76% 0.76 , p( A) 1 p( A) 0.24, 1°) D’après le texte : p ( S ) 3% 0.03 , p ( S ) 95% 0.95 A A 1 S 0,03 A 0,97 0,24 S 1 0,76 S 0,95 A 0,05 S 2°) a. On cherche p(AS). D’après l’arbre, p(AS) = 0.24×0.03=0.0072 p( A S ) = 0.76×0.95 =0.722 b. On calcule D’où p(S) = 0.0072 + 0.722 = 0.7292 c. On calcule pS ( A) p( S A) 0.722 = 0.99 à 0.01 près p( S ) 0.7292 1,5 1,5 2 Exercice 3 1. Donneurs occasionnels Donneurs réguliers Total de 20 à 34 ans 84 28 112 de 35 à 59 ans 50 40 90 60 ans et plus 146 52 198 Total 280 120 400 2 Calculs : 70 30 1 26.3 400 280 ; 280 84 ; 120 40 ; 198 52 100 100 3 100 nombre de cas favorables à E 2. On est en situation d’équiprobabilité et on a p( E ) nombre total de cas 90 a. P(B) = 0.225 400 b. On considère l’événement D : « la fiche choisie est celle d’un donneur occasionnel âgé de 20 à 34 ans ». D RA 84 p ( D) 0.21 400 3. a. PC (R) : probabilité que la fiche soit celle d’un donneur occasionnel sachant que c’est celle d’un donneur de plus de 60 ans.. 146 = 0.737 au millième près 198 52 198 c. On a : pR (C ) 0.433 et p(C ) 0.495 : ces deux probabilités sont différentes donc C et 120 400 R ne sont pas indépendants. b. pC ( R ) 1 1 1 1 1,5 1.5