DS N 4 : Électrostatique

DS N
◦
4
: Électrostatique
PSI* 3 h 10 Décembre 2016
- Ce devoir comporte deux problèmes totalement indépendants Formulaire d'analyse vectorielle
coordonnées cylindro-polaires :
−−→
∂f
1 ∂f
∂f
gradf =
u~r +
u~θ +
u~z
∂r
r ∂θ
∂z
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
divA
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
−
u~r +
−
u~θ +
(rAθ ) −
u~z
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
∂f
1 ∂2f
∂2f
1 ∂
r
+ 2 2 + 2
∆f =
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
Coordonnées sphériques :
−−→
1 ∂f
1 ∂f
∂f
gradf =
u~r +
u~θ +
u~ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aϕ
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
(sin θAϕ ) −
u~r +
−
(rAϕ ) u~θ +
(rAθ ) −
u~ϕ
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r ∂r
∂θ
1 ∂
1
∂
∂f
1
∂2f
2 ∂f
∆f = 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
~=
divA
1
1
Champ électrostatique associé à l'atome d'hydrogène
L'atome d'hydrogène comporte un proton de charge +e et un électron de charge −e.
La masse du proton étant très grande devant celle de l'électron 1 , on supposera qu'il
est xe au point O et que seul l'électron se déplace.
Dans la représentation quantique, le mouvement de l'électron est tel qu'on ne peut le
localiser. Tout se passe comme si sa charge était répartie statistiquement, comme un
nuage électronique, autour du proton avec une probabilité de présence qui ne dépend
que de sa distance r à celui-ci. On admet ainsi que le champ électrostatique moyen
créé par l'électron est identique à celui créé par une distribution de charge de densité
volumique :
ρe = α exp [−β r]
1. Quel est le système de coordonnées approprié pour ce problème ?
2. Rappeler la dénition du potentiel électrostatique.
~ M) et le potentiel V (M) engendré
3. On souhaite déterminer le champ électrostatique E(
par l'atome d'hydrogène dans son environnement.
(a) Quelle est la distribution de charge à prendre en compte ?
~ M).
(b) Analyser les symétries de cette distribution et en déduire la direction de E(
(c) Analyser les invariances du problème. Que peut-on en déduire pour le champ
~ M) et le potentiel V (M) ?
électrostatique E(
4. On considère d'abord le proton seul, considéré comme une charge ponctuelle. Donner
~ + (M) et du potentiel V + (M)
sans calcul les expressions du champ électrostatique E
associés au proton en tout point de l'espace.
On s'intéresse maintenant aux eets du nuage électronique seul (sans le
proton).
5. Donner le signe et les dimensions des constantes α et β .
6. Exprimer la charge élémentaire dq contenue entre deux sphères de centre O inniment
voisines, de rayon r et r + dr, en fonction de α, β , r et dr.
7. On dénit la densité radiale de charge électronique λ(r) par la relation :
dq = λ(r) dr
Pour quelle distance r = r0 cette densité est-elle maximale ? On appelle r0 le rayon
de Bohr de l'atome.
8. Quelle est la charge totale du nuage électronique ?
1. environ 1800 fois plus grande
2
9. En déduire 2 une relation entre e, α et β .
10. Réécrire l'expression de ρ(r) en fonction de e et r0 et montrer que :
e
λ(r) = −
r0
2r
r0
2
2r
exp −
r0
11. Tracer le graphe de la fonction λ : r → λ(r) en s'attachant particulièrement au
voisinage de r = 0, r = r0 et r → ∞.
~ − (M) créé par le nuage électronique lorsque
12. Que peut-on dire du champ électrique E
r r0 et lorsque r r0 ?
13. On appelle Q(r) la charge électronique contenue à l'intérieur d'une sphère de centre
O et de rayon r. On peut montrer (et on l'admettra) que :
Q(r = r0 ) = (−e) [1 − 5 exp(−2)]
~ − (r = r0 ).
En déduire l'expression de E
14. Application numérique : e = 1, 6.10−19 C, r0 = 0, 53.10−10 m,
1
ε0
= 36π.109 SI.
~ − (r = r0 ) k.
Calculer k E
On prend maintenant en compte les contributions simultanées du proton
et de l'électron.
~ M) et de V (M)
15. Par application du principe de superposition, que peut-on dire de E(
pour r → 0 et r → ∞ ?
On s'intéresse au champ électrostatique et au potentiel créés en tout point de l'espace.
Pour éviter des calculs longs et fastidieux, on simplie le problème précédent
en remplaçant la distribution volumique de charge du nuage électronique
par une distribution surfacique, de densité uniforme σ0 répartie sur la sphère de
16.
17.
18.
19.
20.
centre O et de rayon r0 , le proton ponctuel restant placé en O.
Donner l'expression de σ0 .
~ M) et de V (M) pour r > r0 ?
Que peut-on dire de E(
~ M) pour 0 < r < r0 en fonction de e, r et ε0 .
Établir l'expression de E(
Que remarque-t-on en r = r0 ? Était-ce prévisible ?
Le potentiel électrostatique satisfait à l'équation de Poisson :
∆V = −
ρ
ε0
Que vaut ρ pour 0 < r < r0 ?
21. Intégrer l'équation de Poisson dans la région 0 < r < r0 . On notera a et b les deux
constantes d'intégration.
2. On donne :
R +∞
0
rn exp [−β r] dr =
n!
β n+1
3
22. En examinant le cas r → r0 , quelle relation peut-on établir entre ces constantes ?
23. En déduire l'expression de V (M) pour 0 < r < r0 en fonction de e, r, r0 et ε0 .
24. Tracer en fonction de r l'allure du potentiel électrostatique V et du module du champ
~ k.
électrostatique k E
25. Commenter l'allure de ces courbes , notamment au voisinage de r = 0, de r = r0 et
de r → ∞.
2
Autour des diodes
Les données numériques se trouvent en n d'énoncé de cette partie.
2.1
Diodes à vide
Les diodes à vide ont été les premières diodes réalisées au début du XXe siècle. Elles
commandent un ux d'électrons, à l'origine du mot électronique .
Figure 1 Diode à vide
Une diode à vide est formée de deux électrodes planes parallèles, la cathode C et
l'anode A, de surface S et séparées d'une distance d. La cathode est maintenue à un
potentiel nul (Uc = 0) mais elle est chauée par un dispositif non représenté sur la
gure 1. Par eet thermoélectronique, celle-ci libère des électrons ayant une vitesse
faible (considérée comme nulle dans la suite). Ces électrons sont dirigés vers l'anode
qui est portée au potentiel VA > 0. On admet que les lignes de courant ainsi créées
sont perpendiculaires aux deux plaques. La zone située entre les électrodes contient
donc des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale par la cathode.
On néglige tout eet de bord et on ne s'intéresse qu'à l'espace inter-électrodes dans
lequel on considère que la charge volumique ρ, le potentiel V , la vitesse des électrons
v et l'intensité électrique I traversant une surface parallèle aux électrodes ne sont des
fonctions que de la seule variable x indiquant la distance à la cathode. L'ensemble
est sous vide dans une ampoule de verre non représentée sur la gure 1.
26. Écrire l'équation liant le potentiel V (x) et la densité de charge ρ(x) dans l'espace
inter-électrodes.
4
27. Par des arguments numériques, montrer que le poids des électrons peut en général
être négligé devant la force électrostatique.
28.
29.
30.
31.
32.
Dans la suite, le poids des électrons sera négligé devant la force électrostatique. Les
chocs entre électrons seront également négligés.
Rappeler, en la justiant, l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une
particule ponctuelle de charge q située dans une zone de potentiel électrostatique V .
Par un raisonnement énergétique, établir l'expression de la vitesse v(x) des électrons
dans la zone inter-électrodes. On donnera le résultat en fonction du potentiel V (x)
et des caractéristiques de l'électron.
Déterminer l'expression de l'intensité électrique I(x) traversant une surface d'aire S
située à une distance x < d de la cathode et parallèle à celle-ci. I sera algébrisée de
façon à être positive pour des électrons allant de C vers A. On exprimera le résultat
en fonction de la densité de charge ρ(x), de la norme de la vitesse des électrons v(x)
et de S .
L'intensité I dépend-elle de x ? On justiera sa réponse.
En utilisant les résultats précédents, déterminer l'équation diérentielle du second
ordre vériée par le potentiel V dans la zone inter-électrodes. On fera apparaître le
paramètre positif
r
a=
I
Sε0
me
2e
33. Intégrer cette équation diérentielle pour montrer que :
V (x) =
4
3
3√
ax
2
On pourra dans un premier temps multiplier l'équation par dV
dx pour la ramener, après
intégration, à une équation diérentielle du premier ordre à variables séparables. On
supposera que le potentiel et le champ électrique sont nuls en x = 0.
34. En déduire la relation entre l'intensité I et le potentiel VA de l'anode. Cette relation
est connue sous le nom de loi de Child-Langmuir à une dimension.
35. Cette relation est-elle valable quel que soit le signe de VA ? Expliquer qualitativement
ce qui se passe lorsque cette relation n'est pas valable. Que vaut I dans ce cas ?
36. Tracer l'allure de la caractéristique I = f (VA ) de la diode (pour VA variant sur un
intervalle centré sur 0).
Une diode à vide a pour caractéristiques d = 3, 00 mm et S = 3, 00 cm2 .
37. Indiquer l'ordonnée du point d'abscisse VA = 10, 0 volts sur le graphe.
38. Dans cette partie, les interactions entre électrons ont-elles été :
• omises, alors qu'il faudrait les prendre en compte ?
• prises en compte, mais de manière partielle ?
5
• prises en compte de manière exacte ?
Indiquer, en la justiant, la réponse correcte.
Notations et valeurs numériques
•
•
•
•
Permitivité électrique du vide : ε0 ∼ 8, 85.10−12 F.m−1 ;
Permitivité diélectrique relative du silicium : εr ∼ 11, 8 ;
Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4π.10−7 H.m−1 ;
Masse d'un électron : me ∼ 9, 11.10−31 kg ;
6