π = 3,14159265.... un nombre surprenant

Π = 3,14159265.... UN NOMBRE SURPRENANT
D
p
π=
Par définition, le nombre πest le rapport entre la cir-
conférence Pd’un cercle et la longueur de son diamètre
D.
Mais pourquoi la valeur de ce rapport ne
dépend pas du cercle choisi?
Considérons deux cercles concentriques Cet
C′de rayons respectifs r < R et de périmètres
respectifs pet P. Dans chaque cercle nous ins-
crivons un polygone régulier à ncôtés. Ces po-
lygones peuvent être vus comme approchant les
cercles.
B
A
a
b
O
Le périmètre Pndu grand polygone vaut nfois la lon-
gueur AB et celle pndu petit polygone vaut nfois la longueur
ab.
Le rapport Pn
pnde ces périmètres vaut donc n×AB n×ab =AB ab . Rapport
qui, d’après le théorème de Thalès, est égal à R
r. En multipliant de chaque
côté par pn
2R, nous obtenons Pn 2R=pn 2r.Lorsque ndevient très grand les
polygones se “confondent” avec les cercles, et donc l’équation précédente
devient : P
2R=p 2r=π.
À l’origine des recherches sur π: Archimède
Archimède
La première réponse rigoureuse connue à cette question est due
à Archimède (287-212 avant J.-C.). Il est l’un des savants les plus
illustres de l’antiquité, connu pour ses travaux théoriques en ma-
thématiques et en physique, mais aussi pour ses réalisations d’ingé-
nieur.
Parmi ses travaux citons la détermination des centres de
gravité des solides, les calculs rigoureux des volumes des so-
lides de révolution : cône, cylindres, paraboloïde ... Nous
lui devons une étude de la vis infinie dite aussi “vis d’Ar-
chimède” et qui sert toujours pour l’extraction de l’eau,
ainsi que les lois du levier et de la balance. Il a éga-
lement étudié la densité des objets et découvert la pous-
sée d’Archimède, qui explique par exemple pourquoi des
bateaux en fer peuvent flotter. Il fut tué lors du siège
de Syracuse par les troupes du général romain Marcel-
lus.
Tous les écoliers apprennent : “L’aire du disque vaut pi-erre-deux.” Ce qui se traduit par :
π=Aire
(rayon)2
Pourquoi retrouve-t-on encore ce même nombre π?
C’est encore Archimède qui a fourni la première réponse connue. Comme précédemment, inscrivons un
polygone régulier à ncôtés dans le cercle.
2. Doublons la tarte
1. Coupons la tarte
Lorsque n devient infini
Découpons le disque en nsecteurs an-
gulaires correspondant aux côtés du poly-
gone et déplions-les de telle sorte que les
côtés du polygone finissent alignés. L’aire
n’a pas changé.
Doublons la figure pour la rendre sy-
métrique. Nous obtenons un “parallélo-
gramme ondulé”. L’aire de cette dernière
surface vaut exactement deux fois l’aire du
disque et la longueur de sa base ondulée
vaut le périmètre du disque. Quand ngran-
dit, le “parallélogramme ondulé” tend vers
un parallélogramme dont la longueur de
la base vaut toujours le périmètre et dont
la hauteur est égale au rayon du cercle.
Comme l’aire d’un parallélogramme est donnée par la formule : Apara = base ×hauteur,nous obtenons :
Apara = 2πr ×r= 2πr2= 2Adisque donc Adisque =πr2.
La quadrature du cercle
Quelle est la place de πparmi les nombres? Est-ce un entier, un rationnel, un réel? Cette question re-
monte au moins à l’antiquité grecque; elle est liée au fameux problème de la quadrature du cercle : construire
à la règle et au compas un carré d’aire égale à l’aire d’un disque donné.
Lindemann
Cette question à irrigué les mathématiques de l’Antiquité à la fin du
XIXesiècle, et certains problèmes qui lui sont liés font toujours l’objet de
recherches. Que πne soit pas entier a été admis dès l’Antiquité. La première
preuve rigoureuse est d’Archimède. Il a fallu attendre la deuxième moitié du
XVIIIesiècle pour montrer que πn’est pas quotient de deux entiers (Lam-
bert, 1761). Enfin, en 1882 Lindemann prouve que πest transcendant : il
n’annule aucun polynôme à coefficients entiers. Cette propriété implique que
la quadrature du cercle est impossible. Il faudra encore attendre la fin du XXe
siècle pour trouver un moyen de calculer n’importe quelle décimale de πsans
passer par le calcul des précédentes.
Université de Genève - Section de mathématiques