π = 3,14159265.... un nombre surprenant

Π = 3, 14159265.... UN NOMBRE SURPRENANT
π=
p
Par définition, le nombre π est le rapport entre la circonférence P d’un cercle et la longueur de son diamètre
D.
Considérons deux cercles concentriques C et
C de rayons respectifs r < R et de périmètres
respectifs p et P . Dans chaque cercle nous inscrivons un polygone régulier à n côtés. Ces polygones peuvent être vus comme approchant les
cercles.
′
Le périmètre Pn du grand polygone vaut n fois la longueur AB et celle pn du petit polygone vaut n fois la longueur
ab.
A
B
a
n×AB
n×ab
AB
.
ab
Le rapport
de ces périmètres vaut donc
=
Rapport
qui, d’après le théorème de Thalès, est égal à R
.
En
multipliant
de
chaque
r
n
= p2nr . Lorsque n devient très grand les
côté par 2pnR , nous obtenons 2PR
polygones se “confondent” avec les cercles, et donc l’équation précédente
devient :
p
P
=
= π.
2R
2r
b
O
À l’origine des recherches sur π : Archimède
Archimède
π=
Aire
(rayon)2
D
Mais pourquoi la valeur de ce rapport ne
dépend pas du cercle choisi ?
Pn
pn
Tous les écoliers apprennent : “L’aire du disque vaut pi-erre-deux.” Ce qui se traduit par :
La première réponse rigoureuse connue à cette question est due
à Archimède (287-212 avant J.-C.). Il est l’un des savants les plus
illustres de l’antiquité, connu pour ses travaux théoriques en mathématiques et en physique, mais aussi pour ses réalisations d’ingénieur.
Parmi ses travaux citons la détermination des centres de
gravité des solides, les calculs rigoureux des volumes des solides de révolution : cône, cylindres, paraboloïde . . . Nous
lui devons une étude de la vis infinie dite aussi “vis d’Archimède” et qui sert toujours pour l’extraction de l’eau,
ainsi que les lois du levier et de la balance. Il a également étudié la densité des objets et découvert la poussée d’Archimède, qui explique par exemple pourquoi des
bateaux en fer peuvent flotter. Il fut tué lors du siège
de Syracuse par les troupes du général romain Marcellus.
Pourquoi retrouve-t-on encore ce même nombre π ?
C’est encore Archimède qui a fourni la première réponse connue. Comme précédemment, inscrivons un
polygone régulier à n côtés dans le cercle.
Découpons le disque en n secteurs angulaires correspondant aux côtés du polygone et déplions-les de telle sorte que les
1. Coupons la tarte
côtés du polygone finissent alignés. L’aire
n’a pas changé.
Doublons la figure pour la rendre sy2. Doublons la tarte
métrique. Nous obtenons un “parallélogramme ondulé”. L’aire de cette dernière
surface vaut exactement deux fois l’aire du
disque et la longueur de sa base ondulée
vaut le périmètre du disque. Quand n granLorsque n devient infini
dit, le “parallélogramme ondulé” tend vers
un parallélogramme dont la longueur de
la base vaut toujours le périmètre et dont
la hauteur est égale au rayon du cercle.
Comme l’aire d’un parallélogramme est donnée par la formule : Apara = base × hauteur, nous obtenons :
Apara = 2πr × r = 2πr2 = 2Adisque
donc
Adisque = πr2 .
La quadrature du cercle
Quelle est la place de π parmi les nombres ? Est-ce un entier, un rationnel, un réel ? Cette question remonte au moins à l’antiquité grecque ; elle est liée au fameux problème de la quadrature du cercle : construire
à la règle et au compas un carré d’aire égale à l’aire d’un disque donné.
Cette question à irrigué les mathématiques de l’Antiquité à la fin du
XIXe siècle, et certains problèmes qui lui sont liés font toujours l’objet de
recherches. Que π ne soit pas entier a été admis dès l’Antiquité. La première
preuve rigoureuse est d’Archimède. Il a fallu attendre la deuxième moitié du
XVIIIe siècle pour montrer que π n’est pas quotient de deux entiers (Lambert, 1761). Enfin, en 1882 Lindemann prouve que π est transcendant : il
n’annule aucun polynôme à coefficients entiers. Cette propriété implique que
la quadrature du cercle est impossible. Il faudra encore attendre la fin du XXe
siècle pour trouver un moyen de calculer n’importe quelle décimale de π sans
passer par le calcul des précédentes.
Lindemann
Université de Genève - Section de mathématiques