Interrogation de trigonométrie : La méthode d`Archimède

Nom:...............................................Prénom:.........................................Date :.....................Classe:..........
Interrogation de trigonométrie :
La méthode d'Archimède
1) Résume en quelques phrases le principe de la méthode d'approximation utilisée par Archimède.
Assure-toi que tous les éléments essentiels y apparaissent. (C1 /3)
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2) Montre que si l'on emploie un polygone à 8 côtés, on peut en déduire que
8sin 22,5°<π<8 tan 22,5 °
Utilise le schéma ci-dessous pour illustrer ton raisonnement. Ajoutes-y tous éléments nécessaires
à la compréhension de ta démarche (dénomination des points et angles utilisés, etc.). (C1 /3)
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Interrogation de trigonométrie – Archimède - 27/11/11 1
C1 : /6

Corrigé
Question 1
Les 3 éléments essentiels attendus sont :
•Le fait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 vaut 2π, et que connaître la circonférence,
permet de connaître π.
•Le fait que le périmètre d'un polygone inscrit au cercle et le périmètre d'un polygone circonscrit au
cercle constituent un encadrement de la circonférence du cercle.
•Le fait que la précision est d'autant plus grande que le nombre de côtés des polygones est grand.
Question 2
•Identifier les angles. L'angle au centre dessiné vaut
360°
8et α= 360 ° 16 =22,5 °
•Remarquer que dans le triangle OAH
∣ AH ∣ =sin α
dans le triangle OAH'
∣ AH ' ∣ =tan α
et que
dès lors, le périmètre de l'octogone inscrit vaut
16 ∣ AH ∣ =16 sin 22,5°
et le périmètre de
l'octogone circonscrit vaut
16 ∣ AH ' ∣ =16 tan 22,5 °.
•Ils encadrent la circonférence du cercle donc :
16 sin 22,5 °<2π<16 tan 22,5°
8 sin 22,5 °<π<8 tan 22,5 °
Interrogation de trigonométrie – Archimède - 27/11/11 2
O
Rayon = 1
A
H'
α
H