1 n Variables N,S,I nombres Entrée Lire la valeur de N Traitement S

TP 10 : Estimation du nombre π
On s'intéresse au quart quart « supérieur droit » du cercle centré en l'origine, de rayon 1.
On se propose d'approcher l'aire de cette zone en y inscrivant n rectangles de largeur
1
n
.
Le schéma correspond au cas n=10.
Partie A : Mise en place de l'approximation.
1. Calculer l'aire du quart de cercle considéré.
2. Expliquer pourquoi l'équation
y=
√
1−x2
avec
x∈[0;1]
décrit l'arc de cercle AB.
3. On note
Sn
l'aire cumulée des rectangles inscrits dans le cercle.
a) Écrire la somme
S10
en extension, puis à l'aide d'un signe somme.
b) Écrire la somme générale
Sn
à l'aide d'un signe somme.
4. Donner une règle de calcul permettant de calculer
Sn+1
en fonction de
Sn
.
Partie B : Algorithme d'approximation.
1. Complétez l'algorithme suivant afin qu'il calcule l'aire cumulée des rectangles.
2. Entrer l'algorithme dans SciLab et testez avec n=10 et n=1000.
3. En déduire une valeur approchée de
π
, avec une précision de 8 décimales.
Vérifier les premières décimales avec la commande %pi
Variables N,S,I nombres
Entrée Lire la valeur de N
Traitement S prend la valeur ...
Pour I allant de ... à ... faire
S prend la valeur ...
Fin Pour
Sortie Afficher ...

Partie C : Comparaison avec la méthode d'Archimède.
Trois siècles avant J-C, Archimède eut l'idée suivante :
« En inscrivant ce cercle entre deux polygones réguliers, on obtient un encadrement de son périmètre et donc de π »
(Voir Schéma)
Dans ce cas de figure, on admet que :
• Le carré inscrit dans le cercle a une circonférence de
4
√
2
• L'hexagone inscrit dans le cercle a un périmètre de 6.
• Le carré circonscrit au cercle a une circonférence de 8 • L'hexagone circonscrit a un périmètre de
4
√
3
.
1. a) Encadrer le périmètre du cercle avec ces données, et en déduire deux encadrements de π.
b) Comparer les précisions obtenues avec celle de la partie B.
2. On généralise la méthode d'Archimède la façon suivante :
« On inscrit le cercle entre deux polygones réguliers à n cotés, afin d'obtenir un encadrement de son périmètre et donc de π »
On notera
pn
la circonférence du polygone inscrit, et
qn
la circonférence du polygone circonscrit,
donc
p4=4
√
2
,
q4=4
,
p6=6
et
q6=4
√
3
, et on admet que pour tout
n≥3
,
q2n=2pnqn
pn+qn
et
p2n=
√
pn×q2n
a) Calculer
p8
et
q8
, puis interpréter ces résultats.
b) Créez un programme Scilab qui prend en entrée un nombre n, et qui calcule
p4×2n
et
q4×2n
.
c) Testez l'algorithme pour n=10 et n=1000, et comparer sa précision avec celle obtenue à la partie A.
3. Quel est l'encadrement de π obtenu lorsqu'on encadre le cercle entre deux polygones réguliers de 128 cotés ?