Affinités et transvections

AD - AFFINITES ET TRANSVECTIONS
Dans ce qui suit, Edésigne un espace vectoriel de dimension nsur un corps commutatif Ket E∗son
dual. On notera Il’application identique de E. On s’intéresse aux éléments ude L(E)laissant fixes
tous les vecteurs d’un hyperplan H, c’est-à-dire tels que
H⊂Ker(u−I).
Théorème 1 Un endomorphisme ude Elaisse fixes tous les vecteurs d’un hyperplan Hde Esi
et seulement si il existe une forme linéaire e∗sur Eet un vecteur fde Etel que, pour tout xde E,
on ait
(1) u(x) = x+e∗(x)f .
Alors, si uest distinct de I, on a
H= Ker(u−I) = Ker e∗et Im(u−I) = Kf .
Si (e∗, f)est un couple de E∗×Evérifiant la relation (1), l’ensemble des couples vérifiant (1) est
{(µe∗, µ−1f)|µ∈K∗}.
Pour ffixé non nul dans Im(u−I), la forme linéaire e∗est unique, et pour e∗fixée telle que
Ker e∗=H
le vecteur fest unique. De plus e∗(f)ne dépend pas de e∗et fmais uniquement de u, et nous
poserons
λ= 1 + e∗(f).
•Soit uun endomorphisme de Eayant la forme donnée dans (1).
Si e∗ou fest nul, alors uest l’application identique. Dans le cas contraire un’est pas I. Alors, si H
est le noyau de e∗, on a, pour tout xde l’hyperplan H,
u(x) = x ,
et donc ulaisse fixes les vecteurs de H.
•Réciproquement, si ulaisse fixes les vecteurs d’un hyperplan H, ou bien uest l’identité et il suffit de
prendre e∗ou fnuls, ou bien un’est pas l’identité, alors
H= Ker(u−I).

AD 2
Dans ce cas Im(u−I)est une droite D. Désignons par fun vecteur non nul de D. Alors, pour tout x
de E, il existe e∗(x)unique dans Ktel que
u(x)−x=e∗(x)f .
On vérifie immédiatement que e∗est alors une forme linéaire non nulle.
•Si un’est pas l’identité et si l’on a la relation (1), alors fn’est pas nul, et il en résulte que
u(x) = x
si et seulement si e∗(x)est nul. Donc on a bien
H= Ker(u−I) = Ker e∗.
Par ailleurs, fest un vecteur de la droite Im(u−I).
•Si l’on a les deux décompositions
u=I+e∗f=I+e′∗ f′,
les vecteurs fet f′sont deux vecteurs non nuls de la droite Im(u−I). Il existe donc µdans Ktel que
f=µf′.
Alors,
e′∗ =µe∗.
•Réciproquement, si (e∗, f)est un couple donnant la décomposition de u, il en est de même pour tout
couple (µe∗, µ−1f). Il résulte de ceci que si l’on fixe un élément du couple, l’autre est déterminé de
manière unique.
•Enfin
e∗(f) = µ−1e′∗ (µf′) = e′∗ (f′),
ne dépend que de u.
Propriétés
a) La restriction de uàDest une homothétie de rapport λ(dégénérée si λest nul), et Dest incluse
dans Ker(u−λI).
b) Si µest un nombre distinct de 1, on a
Ker(u−µI)⊂D .
c) On a l’inclusion
Im(u−λI)⊂H .
d) Les seules valeurs propres de usont λet 1, et uest trigonalisable.
e) Le déterminant de uvaut λ.
f) Si λest nul, l’endomorphisme uest la projection sur Hparallèlement à D.

AD 3
a) On a
u(f) = f+e∗(f)f=λf .
Donc la restriction de uàDest une homothétie de rapport λ.
b) Si µest distinct de 1, on a, pour tout xde E,
(u−µI)(x) = (1 −µ)x+e∗(x)f .
Donc, si xest dans Ker(u−µI), on a
x= (µ−1)−1e∗(x)f ,
et xest dans D.
c) En calculant e∗◦(u−λI)on trouve
e∗◦(u−λI) = (1 −λ)e∗+e∗(f)e∗= 0 .
Donc Im(u−λI)est inclus dans H.
d) Il résulte de la définition de uque
H⊂Ker(u−I).
Donc 1est une valeur propre de u.
D’après a)
D⊂Ker(u−λI),
et si λest différent de 1, on a d’après b)
Ker(u−λI)⊂D .
On aura alors égalité. Il en résulte que uadmet 1comme valeur propre d’ordre n−1et λcomme valeur
propre d’ordre 1. Dans ce cas uest diagonalisable.
Si λvaut 1, on a
(u−I)2=e∗(f)e∗= 0 .
Donc
E= Ker(u−I)2
et uest trigonalisable. Sa valeur propre unique est 1à l’orde n.
e) Le déterminant étant le produit des valeurs propres, il résulte de d) que
det u=λ .

AD 4
f) Si λest nul, un’est pas inversible et on obtient alors
u2=u ,
et uest une projection de Esur Im uparallèlement à Ker u. D’autre part, d’après a) et b)
D= Ker u .
Donc Im uest un hyperplan. Mais d’après c)
Im u⊂H .
Il en résulte que
Im u=H
et donc uest la projection sur Hparallèlement à D.
Définition On dira que uest une transvection d’hyperplan Het de droite Dsi
det u=λ= 1 ,
et que uest une affinité d’hyperplan H, de droite Det de rapport λ, si λest différent de 1et 0.
On peut compléter les propriétés vues plus haut en faisant le tableau suivant, dont les colonnes 1
à 3 résultent des définitions et de la propriété e). Les colonnes 4 et 5 résultent de la démonstration
faite dans d). Les colonnes 7 et 8 résultent de b) et c), et la colonne 6 est une conséquence de la colonne 1.
1 2 3 4 5 6 7 8
u e∗(u) det u=λinversible val. propres diagonalisable Im(u−λI) Ker(u−λI)
Transvection 0 1 oui 1d’ordre nnon D⊂H D H
H,D
Affinité 6= 0,−16= 0,1oui 1ordre n−1oui E=D⊕H H D
H,D,λλordre 1
Projection −1 0 non 1ordre n−1oui E=D⊕H H D
sur H// à D0ordre 1
Remarques
1) Si Eest de dimension 1, le sous-espace Hest réduit à {0}, et D=E. D’après 6 il n’existe pas de
transvection, et d’après a), une affinité de rapport λest une homothétie de même rapport.
2) Si Kest un corps à deux éléments, il n’y a pas d’affinité, car 0et −1sont les seuls éléments de K.

AD 5
Donnons l’interprétation géométrique dans R2.
1) Transvection d’hyperplan Het de droite D
On a ici H=D. Soit fune base de Det gn’appartenant pas à D. Soit (α, β)les coordonnées de x
dans la base (f, g). On a
u(x)−x=βe∗(g)f ,
et cette expression ne dépend que de la coordonnée de xsur g. Dans la base (f, g), le vecteur u(x)a
pour coordonnées (α+βe∗(g), β), et ua pour matrice 1e∗(g)
0 1 .
-
f0D=H
g
y u(y)x u(x)
u(x)−xu(y)−y
z u(z)
α
β
On peut construire facilement l’image d’un vecteur zquelconque par uconnaissant l’image u(x)d’un
vecteur x. L’intersection yde la droite x u(x)avec 0za pour image u(y)tel que
u(y)−y=u(x)−x ,
Alors u(z)est l’intersection de la droite 0u(y)avec la parallèle à x u(x)passant par z.
2) Affinité d’hyperplan H, de droite Det de rapport λ
Ici Det Hsont des droites et
D⊕H=R2.
Soit fune base de Det gune base de H. Soit (α, β)les coordonnées de xdans la base (f, g). On a
u(x)−x=αe∗(f)f ,
et cette expression ne dépend que de la coordonnée de xsur f. Dans la base (f, g), le vecteur u(x)a
pour coordonnées (λα, β), et ua pour matrice λ0
0 1.