1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen

DYNAMIQUE DU POINT
EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN
Rappel : dynamique : étude du mouvement en liaison avec ses causes, les actions mécaniques (forces).
Avant d’étudier le mouvement d’un point matériel dans un référentiel non galiléen, nous allons revenir
sur son étude dans un référentiel galiléen
I.
Retour sur l’étude dans un référentiel galiléen
1.
Référentiel galiléen
C’est un référentiel dans lequel le mouvement de tout point matériel isolé ou pseudo-isolé est
rectiligne uniforme.
Rappel : isolé (aucune action mécanique), pseudo-isolé (les actions se compensent).
Exemple : le meilleur : réf de Copernic (lié à 3 axes se coupant au centre d’inertie du système solaire
et dirigés vers trois étoiles fixes). Pour des points matériels mobiles dans le système solaire, ce
référentiel est galiléen avec une excellente précision.
Principe de Galilée : Tout référentiel animé par rapport à un référentiel R galiléen d’un mouvement de
translation rectiligne et uniforme est lui-même galiléen. Ou encore : deux référentiels galiléens sont
forcément en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre.
Cas du référentiel terrestre (lié à la surface de la terre) : il n’est pas rigoureusement galiléen (il est
animé d’un mouvement composé de translation elliptique et rotation par rapport au référentiel de
Copernic. Pour l’étude d’un système de durée brève à l’échelle de la journée, ce mouvement peut être
considéré comme de translation rectiligne et uniforme, on peut considérer le référentiel terrestre
comme galiléen :
Pour la majorité des expériences courantes, le référentiel terrestre est une approximation convenable
d’un référentiel galiléen.
Dans ce chapitre, nous reviendrons au III sur cette approximation et nous verrons que l’étude de
certains systèmes met en évidence le caractère non strictement galiléen du référentiel terrestre.
2.
Principe d’inertie (1ère loi de Newton « principia » 1687)
Il existe des référentiels galiléens (appelés inertiels par Newton). Ou encore :
Il existe une classe de référentiels, dits galiléens, tels que tout point matériel isolé soit en mouvement
rectiligne uniforme dans ces référentiels.
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
1
3.
Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) ou loi de la
quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un point
matériel est égale à la résultante des forces qu’il subit (les véritables actions s’exerçant sur M, pour
lesquelles on peut définir un auteur : force exercée sur M par …).
Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel galiléen, ℜgal,
r
dp r
= F résultante des forces exercées sur M
dt
r
r
rappel p = mv
r r
r
remarque cette loi s’écrit aussi : ma = F où a est l’accélération du point matériel dans le référentiel
galiléen d’étude. Cette formulation s’appelle plutôt principe fondamental de la dynamique).
4.
Principe des actions réciproques (3ème loi de Newton)
r
Soit deux points A et B en interaction, f
sur A.
r
A/B
la force exercée par A sur B, f
B/A
la force exercée par B
Dans un référentiel galiléen, ces deux forces sont opposées et elles ont la même droite d’action AB.
Rappel la droite d’action d’une force est la droite de direction cette force et passant par son point
d’application.
Expression mathématique du principe
r
r
f A→ B = − f B → A
II.
et
r r
r
AB ∧ f A→ B = 0
Loi de la dynamique du point en référentiel non galiléen
1.
Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen
Soit ℜng un référentiel non galiléen en mouvement par rapport au référentiel galiléen ℜgal.
r
r
r
r
Utilisons la loi de composition des accélérations a (M ) / ℜgal = a (M ) / ℜng + a e (M) + a c (M ) dans la loi de
la quantité de mouvement exprimée dans le référentiel galiléen ℜgal :
r  dpr 
r
r
r
r
F= 
= ma (M ) / ℜgal = ma (M ) / ℜng + ma e (M ) + ma c (M )
42
4
3 1
42
4
3
14r243 1
r
r
 dt  / ℜgal
 dp 
 
 dt  / ℜ ng
− Fe
− Fc
Le premier terme représente le produit de la masse par l’accélération de M dans le référentiel non
galiléen ℜng. Mais il n’est pas seul. Les deux autres termes ont même dimension, ils s’expriment en
Newton, sont homogènes à des forces, on les regroupe avec la résultante des vraies forces mais il ne
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
2
s’agit pas de véritables « actions » exercées sur M : elles ne correspondent pas à une action exercée par
quelque chose sur M. On utilise quand même le mot « force » et on parle de forces d’inertie :
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit donc dans un référentiel non galiléen :
r
ma (M ) / ℜng
r
F résultante des " vraies forces"
r r r
 r
r
= F + Fe + Fc avec Fe = −ma e (M ) force d ' inertie d ' entraînement
r
r
Fc = −ma c (M ) force d ' inertie de Coriolis
Conclusion : dans un référentiel non galiléen, la loi de la quantité de mouvement prend presque le
même forme que dans un référentiel galiléen : il faut cependant rajouter aux « vraies forces », les deux
« pseudo forces » que sont la force d’inertie d’entraînement et la force d’inertie de Coriolis.
2.
Force d’inertie d’entraînement
Examinons la forme de cette « pseudo force » dans les deux cas de mouvement du référentiel non
galiléen d’étude qui sont au programme. Soit ℜgal un référentiel galiléen connu et ℜng le référentiel
d’étude non galiléen dans lequel on souhaite étudier le mouvement du point matériel M.
a)
ℜng est en translation par rapport à ℜgal
Considérons l’exemple où ℜgal est le référentiel terrestre et ℜng le référentiel d’un wagon en
translation sur des rails rectilignes de direction Ox (orienté dans le sens du mouvement du wagon). On
suppose le mouvement du wagon non uniforme bien sûr (sinon le référentiel qu’il constitue serait
également galiléen‼!). Tous les points liés au wagon ont même accélération par rapport au référentiel
r r
terrestre puisque le wagon est en translation; soit γ = γu x cette accélération : c’est l’accélération de
l’un quelconque des points liés au wagon, c’est ce qu’on a appelé accélération d’entraînement.
Soit M le point matériel dont on étudie le mouvement (bille accrochée à un fil dont l’autre extrémité
est fixée au plafond du wagon par exemple).
r
r
r
Fe = −ma e = −ma (O' lié à Rng )
r
r
r
r
r
r
avec ici a (O' lié à Rng ) = γ = γu x donc Fe = −mγ = −mγu x
Cette « pseudo force » est colinéaire au mouvement du wagon.
•
La force d’entraînement est nulle bien sûr si le mouvement du wagon est uniforme (γ=0).
•
Si le mouvement du wagon est uniformément accéléré (γ=cst>0), la force d’entraînement est
r
dirigée « vers l’arrière », elle est de sens « - u x » : par rapport au wagon (ou encore « pour un
observateur lié au wagon »), tout se passe comme si, en plus des « vraies forces » (tension du fil et
r
poids de M), le point matériel était « poussé » dans le sens « - u x », ou encore « retenu à l’arrière ».
S’il s’agit d’un objet posé sur un siège et pouvant glisser, il va se retrouver « plaqué contre le
dossier ». Cet effet n’existe que « pour un observateur lié au wagon », ce n’est pas une « vraie
force »; cet effet est du au fait que le wagon n’est pas un référentiel galiléen, il est accéléré.
•
Inversement, si le mouvement du wagon est uniformément décéléré (γ=cst<0), la force
r
d’entraînement est dirigée « vers l’avant », elle est de sens « + u x » : par rapport au wagon (ou
encore « pour un observateur lié au wagon »), tout se passe comme si, en plus des « vraies forces »
r
(tension du fil et poids de M), le point matériel était « poussé » dans le sens « + u x ». S’il s’agit
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
3
d’un objet pouvant glisser, il va se retrouver « projeté à l’avant». Cet effet n’existe que « pour un
observateur lié au wagon », ce n’est pas une « vraie force »; cet effet est du au fait que le wagon
n’est pas un référentiel galiléen, il est décéléré.
ℜng est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de ℜgal
b)
Considérons l’exemple où ℜgal est le référentiel terrestre et ℜng le référentiel du plateau d’un manège
r
r r
en rotation uniforme à la vitesse angulaire constante ω = ωu z , u z étant la verticale ascendante.
r
On a vu que l’accélération d’entraînement du point M est a e = − ω2 HM .
On déduit que la force d’inertie d’entraînement s’écrit :
r
r
Fe = − ma e = mω2 HM où H est le projeté de M sur l’axe de rotation.
•
Cette force est selon le rayon HM, sa droite d’action coupe l’axe de rotation Oz; elle est orientée
de H vers M : elle est centrifuge (axifuge?). Pour un observateur lié au manège, le point M semble
poussé vers l’extérieur. Il ne s’agit pas d’une vraie force. Cet effet est lié au fait que le manège
tourne et constitue donc un référentiel non galiléen.
•
La norme de la force d’inertie d’entraînement
Est proportionnelle à la masse du point matériel
Est proportionnelle à la distance HM du point matériel à l’axe
Croît en ω2
3.
Force d’inertie de Coriolis
r
r
r
r
Fc = −ma c = − 2mω ∧ v(M ) / Rng où ω est le vecteur rotation de ℜng par rapport de ℜgal
a)
ℜng est en translation par rapport à ℜgal
r r
r r
Fc = 0 car ω = 0
r r
r r
Fc = 0 car ω = 0
Quelque soit la position et le mouvement du point matériel M, la force de Coriolis est nulle puisque le
r
vecteur rotation ω est nul.
Si on reprend l’exemple d’un objet dans un wagon en translation rectiligne par rapport au sol, il ne
ressent « rien » en plus de l’effet « force d’inertie d’entraînement ». La force de Coriolis est nulle.
b)
ℜng est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de ℜgal
Reprenons l’exemple où ℜgal est le référentiel terrestre et ℜng le référentiel du plateau d’un manège en
r
r r
rotation uniforme à la vitesse angulaire constante ω = ωu z , u z étant la verticale ascendante.
D’après l’expression rappelée ci-dessus, la force de Coriolis fait intervenir la vitesse du point matériel
étudié, vitesse par rapport au référentiel non galiléen, souvent appelée vitesse relative. On déduit une
conséquence immédiate :
Pour un point matériel en équilibre dans un référentiel non galiléen, la force de Coriolis est nulle.
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4
r
r
r
En dehors de ce cas, elle se calcule par : Fc = − ma c = − 2mω ∧ v(M ) / Rng .
La force de Coriolis sur un point matériel est :
r
• Normale au vecteur ω
•
Normale à la vitesse du point dans le référentiel non galiléen v(M ) / Rng
•
De norme proportionnelle à la masse du point matériel, proportionnelle à la vitesse relative du
point, proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du référentiel non galiléen.
Étudions quelques exemples :
•
Le point M se déplace radialement à vitesse constante selon le rayon HM : la force de Coriolis est
r r
r
r
r
alors orthoradiale, de sens - u θ : Fc = −2mωu z ∧ v 0 u r = −2mωv 0 u θ .
•
Le point M se déplace orthoradialement à vitesse constante dans le sens + (même sens que la
rotation du manège) : la force de Coriolis est cette fois radiale, de sens centrifuge :
r
r
r
r
Fc = −2mωu z ∧ v 0 u θ = 2mωv 0 u r .
4.
a)
Théorème de l’énergie cinétique (TEC)
Rappel : TEC appliqué à un point matériel M dans le référentiel galiléen ℜgal
* entre l’instant t et l’instant t+dt (sur un intervalle de temps élémentaire dt) :
dE c = δW
1
Où E c = mv 2 (M ) est l’énergie cinétique du point matériel M (dans le référentiel ℜgal), dEc sa
2
variation élémentaire sur dt
Et δW =
∑ δWk =
r r
f
∑ k .d l =
r r
f
∑ k .v(M)dt est le travail élémentaire résultant de toutes les forces
type k
type k
type k
s’exerçant sur M
Ce théorème se démontre simplement à partir de la relation fondamentale de la dynamique (on
r
multiplie scalairement membre à membre par v(M )dt .
* sur un intervalle de temps fini, entre les instants tA et tB où le point matériel M occupe
respectivement les positions A et B
E c (t B ) − E c (t A ) = W
Où E c ( t A ) (resp. E c ( t B ) ) est l’énergie cinétique dans ℜgal du point matériel M à l’instant tA (resp. à
l’instant tB).
Et W est le travail de toutes les forces s’exerçant sur M, calculé sur son déplacement de A à B :
W=
∑ Wk =
type k
 t B r r

B r r 
f
.
d
l
=
f
.
v
(
M
)
dt

∑ ∫ k  type
∑k  ∫ k

type k A

t A
On obtient cette formulation à partir de la précédente en intégrant entre les instants tA et tB.
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
5
TEC appliqué à un point matériel M dans un référentiel non galiléen ℜng
b)
On l’obtient encore à partir de la relation fondamentale de la dynamique, en multipliant scalairement
r
membre à membre par v(M )dt (vitesse dans ℜng bien sûr). Il apparaît en plus du travail de toutes les
« vraies forces », le travail des forces d’inertie.
Le travail de la force d’inertie de Coriolis est nul (la force de Coriolis ne travaille pas).
[
]
r r
r
r
r
En effet δWic = f c .v(M ) Rng dt = − 2mωRng / R gal ∧ v(M ) Rng .v(M ) Rng dt = 0 puisque les deux vecteurs dont
on fait le produit scalaire sont orthogonaux.
Le TEC s’énonce comme dans un référentiel galiléen, mais il faut rajouter le travail de la force
d’inertie d’entraînement :
* entre l’instant t et l’instant t+dt (sur un intervalle de temps élémentaire dt) :
dE c = δW + δWie
[
1 r
Où E c = m v(M ) / Rng
2
δW =
] = 12 mv (M)
2
2
/ Rng
est l’énergie cinétique du point matériel M dans le référentiel
non galiléen ℜng, dEc sa variation élémentaire sur dt
∑ δWk =
r r
f
∑ k .d l =
r r
f
∑ k .v(M) / Rng dt est le travail élémentaire résultant dans le référentiel
type k
type k
type k
non galiléen ℜng, des « vraies » forces s’exerçant sur M
r r
Et δWie = f e .v(M ) / Rng dt est le travail élémentaire de la force d’inertie d’entraînement
* sur un intervalle de temps fini, entre les instants tA et tB où le point matériel M occupe
respectivement les positions A et B :
E c ( t B ) − E c ( t A ) = W + Wie
Où E c ( t A ) (resp. E c ( t B ) ) est l’énergie cinétique dans ℜng du point matériel M à l’instant tA (resp. à
l’instant tB).
W est le travail des « vraies » forces s’exerçant sur M, calculé dans le référentiel non galiléen ℜng,sur
son déplacement de A à B :
 t B r r

B r r 
W = ∑ Wk = ∑ ∫ f k .d l/ Rng  = ∑  ∫ f k .v(M ) / Rng dt 

type k
type k A
 type k t A
tB
r r
Et Wie = ∫ f e .v(M ) / Rng dt est le travail de la force d’inertie d’entraînement
tA
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6
III.
Caractère galiléen approché de quelques référentiels
1.
Référentiel de Copernic ℜC
Le référentiel de Copernic est défini par 3 axes passant par le centre de masse du système solaire et
pointant vers des étoiles lointaines fixes.
Il constitue la meilleure approximation d’un référentiel galiléen : pour des points matériels mobiles
dans le système solaire, ce référentiel est galiléen avec une excellente précision.
On ne l’utilise que pour le mouvement d’objets à l’échelle du système solaire (planètes, comètes…).
2.
Référentiel géocentrique ℜG
Le référentiel géocentrique est défini par 3 axes issus du centre de masse de la Terre et dirigés vers
des étoiles lointaines fixes.
Le référentiel géocentrique est en translation quasi circulaire (en fait elliptique) par rapport à celui de
Copernic.
D’après le principe de Galilée il n’est pas galiléen (il devrait être en translation rectiligne uniforme par
rapport à ℜC.
Le considérer comme galiléen revient à assimiler son mouvement dans ℜC comme « de translation
rectiligne uniforme », donc à négliger l’action du soleil et des autres astres.
Cette approximation s’avère satisfaisante dans l’étude de phénomènes sur des durées courtes devant
une année (on peut alors assimiler la portion d’ellipse décrite par le centre de la Terre à un segment
décrit à vitesse constante).
On l’utilise pour l’étude de mouvements au voisinage de la Terre (satellites…), sur une échelle de
temps de quelques heures ou jours.
3.
Référentiel terrestre ℜT
Il est défini par 3 axes rigidement liés à la Terre. Plusieurs repères (plusieurs repères cartésiens
peuvent être utilisés).
ℜT est en rotation quasi-uniforme autour de l’axe des pôles (quasiment) fixe dans le référentiel
géocentrique ℜG
Si l’on suppose ℜG galiléen, d’après le principe de Galilée, du fait que ℜT est en rotation autour de
l’axe des pôles, ℜT n’est pas galiléen.
Le considérer comme galiléen revient à négliger la rotation de la Terre.
Cette approximation s’avère satisfaisante dans l’étude de nombreux phénomènes sur Terre au
voisinage de la Terre, pour des applications de la vie courante. Nous l’avons toujours faite jusque là.
Evaluons la vitesse de rotation autour de l’axe des pôles :
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
7
ω≈
2π
≈ 7,3.10 −5 rad / s
Tsol
Où Tsol est la durée moyenne du jour solaire.
http://www.jf-noblet.fr/mouve2/ref.htm#
http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/referentiels.swf
Prise en compte du caractère non galiléen de ℜT, ℜG étant supposé
galiléen
IV.
Soit M un point matériel de masse m.
1.
RFD dans ℜT
r r
a et v étant l’accélération et la vitesse de M dans ℜT, la RFD dans ℜT, s’écrit, ℜG étant le référentiel
galiléen servant d’intermédiaire pour calculer les forces d’inertie :
r
r r
r r
ma = f grav + f autres + f e + f c
avec :
•
r
f grav force de gravitation terrestre, exercée par la Terre sur le point matériel. Si l’on suppose que la
Terre est une distribution de masse à symétrie sphérique, cette force s’exprime :
r
r
GM T m r
r
TM
et r = TM
f grav = −
u r avec u r =
r2
TM
où G est la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
et MT la masse de la Terre : MT = 5,98.1024 kg
•
•
r
f autres désigne la résultante des autres vraies forces (forces naturelles) exercées sur M (tension d’un
ressort, force électromagnétiques, réaction d’un support...).
r
f e est la force d’inertie d’entraînement axifuge due à la rotation de la Terre par rapport à ℜG :
r
r
r
r
f e = − ma e = mω 2 HM = mω 2 r cos λu ρ
•
r
f c est la force d’inertie de Coriolis :
r
r r
r
f c = − ma c = −2mω ∧ v
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
8
2.
Effet de la force d’entraînement
a)
Définition du poids
Le poids est une force « bâtarde », somme d’une force naturelle (force de gravitation terrestre) et d’une
pseudo-force (force d’inertie axifuge) :
r
r r
P = f grav + f e
r
GM T m r
r
P=−
u r + mω 2 r cos λu ρ
2
244
3
r243 144
r
14
r
f terme
e
f grav terme
gravitationel
axifuge
axe des pôles
M
fe
H
fgrav
α
P
ur
λ
plan de l’équateur
T
M’
uρ
schéma dans le plan méridien de M
b)
Champ de gravitation et champ de pesanteur
Dans le poids du point matériel, chacun des termes est le produit de la masse du point matériel par un
vecteur qui ne dépend pas du point matériel mais uniquement du lieu considéré.
Par définition, le quotient de la force gravitationnelle s’exerçant sur le point matériel par sa masse est
le champ de gravitation au lieu où est situé le point matériel.
Par définition, le quotient du poids du point matériel par sa masse est le champ de pesanteur au lieu où
est situé le point matériel.
On a donc, en divisant membre à membre la relation de définition du poids par m :
r
r r
P f grav f e
=
+
m
m m
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
9
r
GM r
r
P
=
− 2 T ur
+
ω2 r cos λu ρ
14243
m
14r2
3
r{
r 4
champ
d'inertie axifuge
g
G
champ de pesanteur champ de gravitation
axe des pôles
M
H
α
Ggrav
fe/m
λ
α
g
ur
λ
plan de l’équateur
T
M’
uρ
schéma dans le plan méridien de M
Le champ de pesanteur est donc lui aussi la somme :
• d’un terme gravitationnel
• d’un terme axifuge
c)
Ordres de grandeur
Évaluons le rapport du terme axifuge au terme gravitationnel, en un lieu situé au voisinage du sol,
toujours en supposant la Terre à symétrie sphérique.
Pour r = R T = 6,38.10 6 m ≈ 6380km
r
fe
ω 2 R T cos λ 3,39.10 −2 cos λ
=
=
= 3,5.10 −3 cos λ
r
G
M
9
,
80
T
f grav
2
RT
Le terme prépondérant est bien sûr le terme gravitationnel : le rapport du terme axifuge au terme
gravitationnel est très faible, même dans le plan de l’équateur où il prend sa valeur maximale :
3,5.10-3.
d)
Verticale d’un lieu
C’est par définition, la direction du champ de pesanteur en ce lieu, ou encore, la direction du poids
d’un point matériel placé en ce lieu.
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
10
D’après la définition du poids, on voit qu’elle fait, en général, un angle non nul mais très petit avec le
rayon TM.
Remarque : on peut également définir la verticale d’un lieu comme la direction du fil à plomb, c’est-àdire la direction d’un fil dont une extrémité est fixe dans ℜT et l’autre accroché à un point matériel en
équilibre dans ℜT. Cette définition est équivalente à la précédente. En effet, la RFD appliquée au
« plomb » en équilibre dans ℜT (force de Coriolis donc nulle) s’écrit :
r
r r
r
r r r
r
r
0 = f grav + f e + T ⇔ 0 = P + T ⇔ T = − P
e)
Conclusion
Les effets de la force d’inertie d’entraînement axifuge sont minimes car son intensité est en ω2 avec ω
très faible.
Dans une étude statique (force de Coriolis nulle), considérer ℜT comme galiléen équivaut à négliger la
force d’inertie d’entraînement, c’est-à-dire à :
• confondre le poids et la force gravitationnelle
• confondre le champ de pesanteur et le champ de gravitation
• confondre la verticale d’un lieu A et le rayon TA.
3.
Effets de la force de Coriolis
Lorsqu’un point matériel est immobile dans le référentiel terrestre, la force de Coriolis est nulle, et le
seul effet de la rotation de la Terre sur elle-même est celui de la force axifuge qui se manifeste par la
différence entre la force gravitationnelle et le poids. Cet effet est en ω2.
Lorsqu’un point matériel est en mouvement dans ℜT, l’effet précédent est du second ordre devant
l’effet de la force de Coriolis qui est en ω; nous allons donc le négliger dans cette étude, ce qui revient
à confondre poids et force de gravitation, ou encore, champ de pesanteur et champ de gravitation.
r r
r r
r r
Hypothèse du IV.3. f e ≈ 0 , i.e. g ≈ G et P = f grav
Soit O un point de la surface de la Terre, supposée à symétrie sphérique, situé à la latitude λ.
Considérons le repère cartésien Oxyz de ℜT (donc lié à ℜT) suivant :
• Oz est un axe vertical ascendant
• Ox est un axe tangent en O au méridien de O, orienté vers le sud.
• Oy est un axe tangent en O au parallèle de O, orienté vers l’est.
r r r
Soit (u x , u y , u z ) la base cartésienne associée à ce repère.
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
11
axe des pôles
z
y
O
λ
T
x
équateur
ω
ωh
λ
z
ωv
axe des pôles
O
λ
T
plan de l’équateur
x
Le vecteur rotation de ℜT par rapport à ℜG a pour composantes :
ω h = −ω cos λ
r
ω0
:
ω v = ω sin λ
a)
r
ω=
r
ωh +
{r
− ω cos λu x
composante
horizontal e
Ordres de grandeur
Évaluons le rapport maximum de la force de Coriolis au poids :
r
 fc

 r
f
 grav

2ω v

−5
 = g = 1,5.10 .v (avec v en USI, i.e. en m/s)
 max
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
12
r
ωv
{r
ω sin λu z
composante
verticale
Exemples :
r
 fc

pour v=100km/h= 27,8m/s, on a  r
 f grav

r
 fc

Pour v=360km/h=100m/s  r
 f grav

b)


−4
 = 4,2.10
 max


−3
 = 1,5.10 = 0,0015 : de l’ordre du millième
 max
Effet sur un mouvement dans le plan horizontal
La force de Coriolis s’écrit, le vecteur vitesse n’ayant alors pas de composante sur la verticale :
r
r r
r
r
r
r r
r r
f c = −2mω ∧ v = 2mv ∧ (ω v + ω h ) = 2mv ∧ ω v + 2mv ∧ ω h
142
r 43 142
r 43
f ch
f cv
Dans le cas où le mobile est astreint à se déplacer dans un plan horizontal, la partie verticale de cette
force n’a pas d’effet sur le mouvement.
On s’intéresse donc à la partie horizontale de la force de Coriolis :
r
r r
r r
f ch = 2mv ∧ ω v = 2mω sin λv ∧ u z
Cette force orthogonale au vecteur vitesse est donc normale à la trajectoire, elle tend à incurver la
trajectoire :
• dans l’hémisphère Nord (sinλ>0), elle est orientée vers la droite du mouvement. Elle a tendance à
dévier le mobile sur sa droite.
axe des pôles
ω
ωv
v
z
O
T
λ
y vers l’est
O
y
fch
x
M
x : vers le sud
équateur
dans l’hémisphère Nord
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
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• dans l’hémisphère Sud (sinλ<0), elle est orientée vers la gauche du mouvement. Elle a tendance à
dévier le mobile sur sa gauche.
axe des pôles
ωv
v
O
équateur
ω
T
y vers l’est
fch
M
λ
y
O
x : vers le sud
z
x
dans l’hémisphère Sud
Ordre de grandeur : soit une automobile de masse m = 1000 kg, se déplaçant sur une route horizontale,
à la vitesse v = 100 km/h, à la latitude λ = 45°. On calcule fch = 2,86 N soit environ 0,03% de son
poids. L’effet est faible et souvent négligeable.
Remarque : La force de Coriolis est responsable du sens de rotation différents des vents
atmosphériques (et des courants marins) dans les deux hémisphères.
exemple : sens d’enroulement des dépressions. Supposons qu’en un point de l’atmosphère prenne
naissance une dépression. En l’absence de la force de Coriolis, le vent soufflerait depuis les zones de
pression plus élevée vers le centre de la dépression. La force de Coriolis entraîne une déviation du
vent vers la droite dans l’hémisphère Nord, vers la gauche dans l’hémisphère Sud. La composition des
différents mouvements entraîne un tourbillon s’enroulant dans le SCAM (sens contraire des aiguilles
d’une montre) dans l’hémisphère Nord, dans le SAM (sens des aiguilles d’une montre) dans
l’hémisphère Sud. (En chaque point des lignes de courant, la force principale donnerait une vitesse
vers le centre de la dépression, la force de Coriolis donne une déviation vers la droite ou vers la
gauche selon l’hémisphère).
1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen
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