1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen

1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen 1
Rappel : dynamique : étude du mouvement en liaison avec ses causes, les actions mécaniques (forces).
Avant d’étudier le mouvement d’un point matériel dans un référentiel non galiléen, nous allons revenir
sur son étude dans un référentiel galiléen
I. Retour sur l’étude dans un référentiel galiléen
1. Référentiel galiléen
C’est un référentiel dans lequel le mouvement de tout point matériel isolé ou pseudo-isolé est
rectiligne uniforme.
Rappel : isolé (aucune action mécanique), pseudo-isolé (les actions se compensent).
Exemple : le meilleur : réf de Copernic (lié à 3 axes se coupant au centre d’inertie du système solaire
et dirigés vers trois étoiles fixes). Pour des points matériels mobiles dans le système solaire, ce
référentiel est galiléen avec une excellente précision.
Principe de Galilée : Tout référentiel animé par rapport à un référentiel R galiléen d’un mouvement de
translation rectiligne et uniforme est lui-même galiléen. Ou encore : deux référentiels galiléens sont
forcément en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre.
Cas du référentiel terrestre (lié à la surface de la terre) : il n’est pas rigoureusement galiléen (il est
animé d’un mouvement composé de translation elliptique et rotation par rapport au référentiel de
Copernic. Pour l’étude d’un système de durée brève à l’échelle de la journée, ce mouvement peut être
considéré comme de translation rectiligne et uniforme, on peut considérer le référentiel terrestre
comme galiléen :
Pour la majorité des expériences courantes, le référentiel terrestre est une approximation convenable
d’un référentiel galiléen.
Dans ce chapitre, nous reviendrons au III sur cette approximation et nous verrons que l’étude de
certains systèmes met en évidence le caractère non strictement galiléen du référentiel terrestre.
2. Principe d’inertie (1
ère
loi de Newton « principia » 1687)
Il existe des référentiels galiléens (appelés inertiels par Newton). Ou encore :
Il existe une classe de référentiels, dits galiléens, tels que tout point matériel isolé soit en mouvement
rectiligne uniforme dans ces référentiels.
DYNAMIQUE DU POINT
EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN

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3. Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) ou loi de la
quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un point
matériel est égale à la résultante des forces qu’il subit (les véritables actions s’exerçant sur M, pour
lesquelles on peut définir un auteur : force exercée sur M par …).
Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel galiléen, ℜ
gal
,
F
dt
pd
r
r
= résultante des forces exercées sur M
rappel vmp
r
r
=
remarque cette loi s’écrit aussi :
Fam
r
r
=
où a
r
est l’accélération du point matériel dans le référentiel
galiléen d’étude. Cette formulation s’appelle plutôt principe fondamental de la dynamique).
4. Principe des actions réciproques (3ème loi de Newton)
Soit deux points A et B en interaction,
f
r
A/B
la force exercée par A sur B,
f
r
B/A
la force exercée par B
sur A.
Dans un référentiel galiléen, ces deux forces sont opposées et elles ont la même droite d’action AB.
Rappel la droite d’action d’une force est la droite de direction cette force et passant par son point
d’application.
Expression mathématique du principe
r
r
r
r
r
f f et AB f
A B B A A B→ → →
= − ∧ = 0
II. Loi de la dynamique du point en référentiel non galiléen
1. Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen
Soit ℜ
ng
un référentiel non galiléen en mouvement par rapport au référentiel galiléen ℜ
gal
.
Utilisons la loi de composition des accélérations )M(a)M(a)M(a)M(a
ce//
nggal
r
r
r
r
++=
ℜℜ
dans la loi de
la quantité de mouvement exprimée dans le référentiel galiléen ℜ
gal
:
43421
r
43421
r
43421
rr
r
r
rr
r
ce
ng
/
nggal
gal
F
c
F
e
dt
pd
//
/
)M(am)M(am)M(am)M(am
dt
pd
F
−−
ℜℜ
ℜ
++== =
ℜ
Le premier terme représente le produit de la masse par l’accélération de M dans le référentiel non
galiléen ℜ
ng
. Mais il n’est pas seul. Les deux autres termes ont même dimension, ils s’expriment en
Newton, sont homogènes à des forces, on les regroupe avec la résultante des vraies forces mais il ne

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s’agit pas de véritables « actions » exercées sur M : elles ne correspondent pas à une action exercée par
quelque chose sur M. On utilise quand même le mot « force » et on parle de forces d’inertie :
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit donc dans un référentiel non galiléen :
ce/
FFF)M(am
ng
r
r
r
r
++=
ℜ
avec
−= −= Coriolisde inertie'dforce)M(amF
ntentraîneme'd inertie'dforce)M(amF
"forcesvraies"desrésultanteF
cc
ee
r
r
r
r
r
Conclusion : dans un référentiel non galiléen, la loi de la quantité de mouvement prend presque le
même forme que dans un référentiel galiléen : il faut cependant rajouter aux « vraies forces », les deux
« pseudo forces » que sont la force d’inertie d’entraînement et la force d’inertie de Coriolis.
2. Force d’inertie d’entraînement
Examinons la forme de cette « pseudo force » dans les deux cas de mouvement du référentiel non
galiléen d’étude qui sont au programme. Soit ℜ
gal
un référentiel galiléen connu et ℜ
ng
le référentiel
d’étude non galiléen dans lequel on souhaite étudier le mouvement du point matériel M.
a) ℜ
ℜℜ
ℜ
ng
est en translation par rapport à ℜ
ℜℜ
ℜ
gal
Considérons l’exemple où ℜ
gal
est le référentiel terrestre et ℜ
ng
le référentiel d’un wagon en
translation sur des rails rectilignes de direction Ox (orienté dans le sens du mouvement du wagon). On
suppose le mouvement du wagon non uniforme bien sûr (sinon le référentiel qu’il constitue serait
également galiléen‼!). Tous les points liés au wagon ont même accélération par rapport au référentiel
terrestre puisque le wagon est en translation; soit
γ
r
=
x
u
r
γ cette accélération : c’est l’accélération de
l’un quelconque des points liés au wagon, c’est ce qu’on a appelé accélération d’entraînement.
Soit M le point matériel dont on étudie le mouvement (bille accrochée à un fil dont l’autre extrémité
est fixée au plafond du wagon par exemple).
)àlié'O(amamF
ngee
R
r
r
r
−=−=
avec ici
xexng
ummFdoncu)àlié'O(a
r
r
r
r
r
r
γ−=γ−=γ=γ=R
Cette « pseudo force » est colinéaire au mouvement du wagon.
• La force d’entraînement est nulle bien sûr si le mouvement du wagon est uniforme (γ=0).
• Si le mouvement du wagon est uniformément accéléré (γ=cst>0), la force d’entraînement est
dirigée « vers l’arrière », elle est de sens « -
x
u
r
» : par rapport au wagon (ou encore « pour un
observateur lié au wagon »), tout se passe comme si, en plus des « vraies forces » (tension du fil et
poids de M), le point matériel était « poussé » dans le sens « -
x
u
r
», ou encore « retenu à l’arrière ».
S’il s’agit d’un objet posé sur un siège et pouvant glisser, il va se retrouver « plaqué contre le
dossier ». Cet effet n’existe que « pour un observateur lié au wagon », ce n’est pas une « vraie
force »; cet effet est du au fait que le wagon n’est pas un référentiel galiléen, il est accéléré.
• Inversement, si le mouvement du wagon est uniformément décéléré (γ=cst<0), la force
d’entraînement est dirigée « vers l’avant », elle est de sens « +
x
u
r
» : par rapport au wagon (ou
encore « pour un observateur lié au wagon »), tout se passe comme si, en plus des « vraies forces »
(tension du fil et poids de M), le point matériel était « poussé » dans le sens « +
x
u
r
». S’il s’agit

1.1b.dynamique du point en référentiel non galiléen 4
d’un objet pouvant glisser, il va se retrouver « projeté à l’avant». Cet effet n’existe que « pour un
observateur lié au wagon », ce n’est pas une « vraie force »; cet effet est du au fait que le wagon
n’est pas un référentiel galiléen, il est décéléré.
b) ℜ
ℜℜ
ℜ
ng
est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de ℜ
ℜℜ
ℜ
gal
Considérons l’exemple où ℜ
gal
est le référentiel terrestre et ℜ
ng
le référentiel du plateau d’un manège
en rotation uniforme à la vitesse angulaire constante
z
u
r
r
ω=ω ,
z
u
r
étant la verticale ascendante.
On a vu que l’accélération d’entraînement du point M est HMa
2
e
ω−=
r
.
On déduit que la force d’inertie d’entraînement s’écrit :
HMmamF
2
ee
ω=−=
r
r
où H est le projeté de M sur l’axe de rotation.
• Cette force est selon le rayon HM, sa droite d’action coupe l’axe de rotation Oz; elle est orientée
de H vers M : elle est centrifuge (axifuge?). Pour un observateur lié au manège, le point M semble
poussé vers l’extérieur. Il ne s’agit pas d’une vraie force. Cet effet est lié au fait que le manège
tourne et constitue donc un référentiel non galiléen.
• La norme de la force d’inertie d’entraînement
 Est proportionnelle à la masse du point matériel
 Est proportionnelle à la distance HM du point matériel à l’axe
 Croît en ω
2
3. Force d’inertie de Coriolis
ng
/
cc
)M(vm2amF
R
∧ω−=−=
r
r
r
où
ω
r
est le vecteur rotation de ℜ
ng
par rapport de ℜ
gal
a) ℜ
ℜℜ
ℜ
ng
est en translation par rapport à ℜ
ℜℜ
ℜ
gal 0F
c
r
r
= car
ω
r
= 0
r
0F
c
r
r
=
car
ω
r
= 0
r
Quelque soit la position et le mouvement du point matériel M, la force de Coriolis est nulle puisque le
vecteur rotation
ω
r
est nul.
Si on reprend l’exemple d’un objet dans un wagon en translation rectiligne par rapport au sol, il ne
ressent « rien » en plus de l’effet « force d’inertie d’entraînement ». La force de Coriolis est nulle.
b) ℜ
ℜℜ
ℜ
ng
est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de ℜ
ℜℜ
ℜ
gal
Reprenons l’exemple où ℜ
gal
est le référentiel terrestre et ℜ
ng
le référentiel du plateau d’un manège en
rotation uniforme à la vitesse angulaire constante
z
u
r
r
ω=ω ,
z
u
r
étant la verticale ascendante.
D’après l’expression rappelée ci-dessus, la force de Coriolis fait intervenir la vitesse du point matériel
étudié, vitesse par rapport au référentiel non galiléen, souvent appelée vitesse relative. On déduit une
conséquence immédiate :
Pour un point matériel en équilibre dans un référentiel non galiléen, la force de Coriolis est nulle.

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En dehors de ce cas, elle se calcule par :
ng
/
cc
)M(vm2amF
R
∧ω−=−=
r
r
r
.
La force de Coriolis sur un point matériel est :
• Normale au vecteur
ω
r
• Normale à la vitesse du point dans le référentiel non galiléen
ng
/
)M(v
R
• De norme proportionnelle à la masse du point matériel, proportionnelle à la vitesse relative du
point, proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du référentiel non galiléen.
Étudions quelques exemples :
• Le point M se déplace radialement à vitesse constante selon le rayon HM : la force de Coriolis est
alors orthoradiale, de sens -
θ
u
r
:
θ
ω−=∧ω−= uvm2uvum2F
0r0zc
r
r
r
r
.
• Le point M se déplace orthoradialement à vitesse constante dans le sens + (même sens que la
rotation du manège) : la force de Coriolis est cette fois radiale, de sens centrifuge :
r00zc
uvm2uvum2F
r
r
r
r
ω=∧ω−=
θ
.
4. Théorème de l’énergie cinétique (TEC)
a) Rappel : TEC appliqué à un point matériel M dans le référentiel galiléen ℜ
ℜℜ
ℜ
gal
* entre l’instant t et l’instant t+dt (sur un intervalle de temps élémentaire dt) :
WdE
c
δ=
Où )M(mv
2
1
E
2
c
=est l’énergie cinétique du point matériel M (dans le référentiel ℜ
gal
), dE
c
sa
variation élémentaire sur dt
Et
∑
∑
∑
==δ=δ
ktype k ktype k ktype k
dt)M(v.fld.fWW
r
r
r
r
est le travail élémentaire résultant de toutes les forces
s’exerçant sur M
Ce théorème se démontre simplement à partir de la relation fondamentale de la dynamique (on
multiplie scalairement membre à membre par dt)M(v
r
.
* sur un intervalle de temps fini, entre les instants t
A
et t
B
où le point matériel M occupe
respectivement les positions A et B
W)t(E)t(E
AcBc
=−
Où )t(E
Ac
(resp. )t(E
Bc
) est l’énergie cinétique dans ℜ
gal
du point matériel M à l’instant t
A
(resp. à
l’instant t
B
).
Et W est le travail de toutes les forces s’exerçant sur M, calculé sur son déplacement de A à B :
∑∫ ∑∫ ∑
= ==
ktype
t
tk
ktype
B
Ak
ktype k
B
A
dt)M(v.fld.fWW r
rrr
On obtient cette formulation à partir de la précédente en intégrant entre les instants t
A
et t
B
.