Définition du corps des nombres complexes. Forme algébrique

DOCUMENT 9
Définition du corps des nombres complexes. Forme algébrique,
conjugaison, module.
Les algébristes italiens du XVIe siècle, et en particulier Girolamo Cardano
(1501-1576) et ses
√
élèves, ont été les premiers à introduire dans leurs calculs le symbole −a, a > 0, dans le but
de résoudre toutes les équations du troisième degré. Ces nouveaux nombres vont être de plus
en plus utilisés (Leibniz, Euler, de Moivre ...) mais ce n’est qu’au début du XIXe siécle qu’ils
seront définis rigoureusement grâce en particulier aux travaux de Gauss, Cauchy et Hamilton.
Dès leur introduction, ces nombres reçurent une interprétation géométrique intéressante (Wessel,
Argand,. . . ).
Tous les corps considérés sont commutatifs.
Rappelons qu’un corps K 0 est une extension d’un corps K si K possède un sous corps
isomorphe à K 0 . Par exemple, R est une extension de Q.
1. Le corps des réels
Les constructions de Z à partir de N et de Q à partir de Z ne sont pas très difficiles. Pour
obtenir R à partir de Q il y a différentes méthodes (les suites de Cauchy de rationnels, les
coupures, les développements décimaux,...) mais toutes les méthodes demandent des calculs
fastidieux et on préfère, en général, introduire ce corps de manière axiomatique grâce à la
définition suivante :
Définition 9.1. Un corps commutatif R est un corps de nombres réels s’il existe une relation
binaire ≤ sur R telle que
(1) (R, ≤) est un corps totalement ordonné :
• 0 ≤ x et 0 ≤ y impliquent 0 ≤ x + y ;
• 0 ≤ x et 0 ≤ y impliquent 0 ≤ xy.
(2) (R, ≤) est archimédien :
pour tout y ≥ 0 et tout x > 0 il existe n ∈ N tel que nx ≥ y.
(3) (R, ≤) vérifie l’axiome des intervalles emboités :
Si (an ) est une suite croissante de R et (bn ) une suite décroissante de R telles que,
pour tout n ∈ N, an ≤ bn alors
\
[an , bn ] 6= ∅
n∈N
(Voir en appendice d’autres axiomatiques de R.)
91
92
9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
On montre que deux corps de nombres réels sont isomorphes et que tout corps isomorphe à
un corps de nombres réels est aussi un corps de nombres reéls. On peut aussi prouver que
∀x, ∀y ∈ R, x ≤ y ⇔ il existe t ∈ R tel que y − x = t2 .
Cette équivalence entraine que tout isomorphisme entre deux corps de nombres réels est croissant.
Plan pour une construction d’un corps de nombres réels.
Soit S l’ensemble des suites de Cauchy de rationnels c’est-à-dire l’ensemble des suites (qn )
d’éléments de Q vérifiant la condition suivante :
Pour tout > 0, ∈ Q, il existe n0 ∈ N tel que m ≥ n0 et p ≥ n0 impliquent |qp − qm | < L’ensemble S est stable pour l’addition et la multiplication des suites et la relation binaire θ
définie sur S par
(qn )θ(rn ) ⇔ lim (qn − rn ) = 0
n→∞
est une relation d’équivalence compatible avec ces deux lois de composition internes. On peut
donc considérer sur S/θ les lois quotients et ensuite montrer que S/θ, muni de ces lois quotients,
est un corps de nombres réels.
Dans le document 7, on trouve une construction de R à partir des développements décimaux.
2. Construction du corps des nombres complexes : analyse du problème
Le lemme suivant va permettre de préciser l’objectif poursuivi en construisant C.
Lemme 9.1. Soit K une extension d’un corps de nombres réels R. Il y a equivalence entre :
(1) Il existe ω ∈ K tel que ω 2 = −1 (i.e. -1 possède une racine carrée dans K);
(2) Tout élément de R possède une racine carrée dans K ;
(3) Toute équation du second degré à coefficients dans R possède une solution dans K.
Preuve. Il est clair que 3. implique 2. et que 2. implique 1. Supposons 1. et soit
ax2 + bx + c = 0 une équation du second degré à coefficients dans R. Si ∆ = b2 − 4ac ≥√0 alors
cette équation a une solution dans R et donc dans K. Si ∆ = b2 − 4ac < 0 alors ∆ = (ω −∆)2
et, en utilisant la mise sous forme canonique d’un trinôme, on a :
√
√
√
ω −∆ 2
b 2
b
ω −∆
b
ω −∆
2
ax + bx + c = a (x + ) − (
) = a(x +
−
)(x +
+
).
2a
2a
2a
2a
2a
2a
√
−b + ω −∆
2
L’équation ax + bx + c = 0 possède donc les deux solutions x1 =
et x2 =
2a
√
−b − ω −∆
.
2a
Objectif : Etant donné un corps R de nombres réels, construire un corps K contenant un
sous-corps R0 isomorphe à R et dans lequel −1 possède une racine carré. Ce corps K devra aussi
être minimal dans un sens qui sera précisé.
Le lemme entraine que dans K toute équation du second degré à coefficients réels aura une
solution et, en particulier tout élément de R0 possèdera une racine carrée.
Comme pour beaucoup de problèmes de construction, supposons le problème résolu, c’est-àdire, l’existence d’un corps K contenant R et dans lequel −1 possède une racine carrée notée ω.
Le lemme suivant va montrer que K possède un sous-corps K1 qui a encore ces deux propriétés
2. CONSTRUCTION DES NOMBRES COMPLEXES : ANALYSE DU PROBLÈME.
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mais qui présente les avantages d’être minimal par rapport à ces propriétés et de pouvoir être
défini uniquement à l’aide des éléments de R.
Lemme 9.2. Soit K une extension de R dans laquelle −1 possède une racine carrée ω.
L’ensemble K1 = {a + ωb|(a, b) ∈ R2 } est le plus petit sous-corps de K contenant R et dans
lequel −1 a une racine carrée. Tout élément de K1 s’écrit de façon unique a+ωb avec (a, b) ∈ R2 .
Preuve. Il est clair que R ⊂ K1 (prendre b = 0) et que ω ∈ K1 (a = 0, b = 1). Montrons
que K1 est un sous-corps de K. Soit z1 = a1 + ωb1 , z2 = a2 + ωb2 deux éléments de K1 . Il est
clair que −z1 ∈ K1 et on a
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + ω(b1 + b2 ) ∈ K1
(1),
z1 z2 = a1 a2 − b1 b2 + ω(a1 b2 + a2 b1 ) ∈ K1
(2)
ce qui montre que K1 est un sous-anneau de K.
Soit z = a + ωb un élément non nul de K1 . On a alors a − ωb 6= 0 car sinon
0 = (a + ωb)(a − ωb) = a2 + b2
ce qui entraine a = b = 0, d’où z = 0 contrairement à l’hypothèse. On peut donc écrire
z −1 = [(a − ωb)(a − ωb)−1 ](a + ωb)−1
= (a − ωb)[(a − ωb)(a + ωb)]−1
a
b
= (a − ωb)(a2 + b2 )−1 = 2
−ω 2
.
2
a +b
a + b2
et donc z −1 ∈ K1 . Cet ensemble est donc un sous-corps de K.
Soit maintenant K 0 un sous-corps de K contenant R et dans lequel −1 possède une racine
carrée ω ∗ . Dans le corps K, on a P (X) = X 2 + 1 = (X + ω)(X − ω) d’où, comme P (ω ∗ ) = 0,
ω ∗ = ω ou ω ∗ = −ω. Il en résulte que ω ∈ K 0 et, R étant contenu dans K 0 , K1 ⊂ K 0 .
Si z ∈ K1 s’écrit z = a + ωb = a0 + ωb0 avec a, b, a0 , b0 réels alors a − a0 = ω(b0 − b). Si
a − a0
∈ R ce qui est absurde. Donc b = b0 et a = a0 .
b 6= b0 alors ω = 0
b −b
Tout corps tel que K1 va être appelé un corps de nombres complexes et de façon plus précise
:
Définition 9.2. Un corps commutatif C est appelé un corps de nombres complexes s’il existe
un corps de nombres réels R tel que :
(1) C est une extension de R ;
(2) Dans C, −1 possède une racine carrée ω ;
(3) C = R + ωR.
Remarques
1) Tout corps isomorphe à un corps de nombres complexes est aussi un corps de nombres
complexes et deux corps de nombres complexes sont isomorphes. La preuve de ce résultat
utilise le résultat analogue concernant les corps de nombres réels.
2) Si K est une extension d’un corps de nombres réels R dans laquelle −1 possède une racine
carrée ω alors K1 = {a + ωb|(a, b) ∈ R} est un corps de nombres complexes.
3) Il existe des caractérisations d’un corps de nombres complexes qui ne font pas référence
aux nombres réels. Par exemple : C est un corps de nombres complexes si C est un corps
commutatif algébriquement clos (Tout polynôme admet un zéro), de caractéristique nulle et
94
9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
ayant pour cardinal celui des parties de N.
4) La condition 3. dans la définition précédente est une façon d’exprimer la minimalité de C. Il
est difficile de l’exprimer à l’aide de l’inclusion car tout corps de nombres complexes possède un
sous-corps strict qui est aussi un corps de nombres complexes.
L’écriture unique z = a + ib, a, b ∈ R, pour tout élément de K1 montre que ce corps est
entièrement déterminé par R. Le lemme suivant va encore préciser ce point.
Lemme 9.3. Soit + et . les deux lois de composition internes sur R2 définies par
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
(a1 , b1 ).(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
L’application f de K1 dans R2 definie par f (a + ωb) = (a, b) est un isomorphisme de (K1 , +, .)
sur (R2 , +, .).
Preuve. L’écriture a + ωb avec a, b ∈ R étant unique on peut définir une application f de K1
sur R2 par par f (a + ωb) = (a, b). C’est une bijection et un homomorphisme car si z1 = a1 + ωb1
et z2 = a2 + ωb2 sont deux éléments de K1 alors :
f (z1 + z2 ) = f ((a1 + a2 ) + ω(b1 + b2 ))
= (a1 + a2 , b1 + b2 ) = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 )
= f (z1 ) + f (z2 ).
f (z1 z2 ) = f ((a1 a2 − b1 b2 ) + ω(a1 b2 + a2 b1 ))
= (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) = (a1 , b1 ).(a2 , b2 )
= f (z1 ).f (z2 ).
Conclusion de l’analyse. S’il existe une extension K de R dans laquelle −1 a une racine
carrée alors il existe un corps de nombres complexes K1 et ce corps est isomorphe a R2 muni
des deux lois de composition décrites dans le lemme 9.3. Donc il existe un corps de nombres
complexes si et seulement si (R2 , +, .) est un corps de nombres complexes. On va vérifier dans
le paragraphe suivant qu’il en est bien ainsi.
3. Une première construction du corps des complexes
Proposition 9.1. L’ensemble R2 muni des deux lois de composition
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
(a1 , b1 ).(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
est un corps de nombres complexes. Un sous-corps de R2 isomorphe à R est R × {0}, i = (0, 1)
est une racine carrée de −1 = (−1, 0) et R2 = R × {0} + i(R × {0}).
Preuve. Il est clair que les deux lois sont commutatives.
L’associativité de + résulte immédiatement de l’associativité de l’addition dans R, (0, 0)
est un élément neutre pour + et (−a, −b) est l’opposé de (a, b). Muni de la loi +, R2 est
donc un groupe commutatif. (On peut aussi dire que (R2 , +) est le groupe produit du groupe
(R, +) avec lui-même.)
3. UNE PREMIÈRE CONSTRUCTION DU CORPS DES COMPLEXES
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Associativité de la multiplication. Considérons trois éléments (a, b), (c, d) et (e, f ) de
R2 . On a :
[(a, b)(c, d)](e, f ) = (ac − bd, ad + bc)(e, f ) = ((ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e)
= (ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce)
De même, en utilisant le calcul précédent et la commutativité de . et +:
(a, b)[(c, d)(e, f )] = [(e, f )(c, d)](a, b) = (eca − f da − edb − f cb, ecb − f db + eda + f ca)
= [(a, b)(c, d)](e, f ).
Distributivité de . par rapport à +. Considérons trois éléments (a, b), (a0 , b0 ) et (c, d)
de R2 . On a :
[(a, b) + (a0 , b0 )](c, d) =
=
=
=
(a + a0 , b + b0 )(c, d) = ((a + a0 )c − (b + b0 )d, (a + a0 )d + (b + b0 )c)
(ac + a0 c − bd − b0 d, ad + a0 d + bc + b0 c)
(ac − bd, ad + bc) + (a0 c − b0 d, a0 d + b0 c)
(a, b)(c, d) + (a0 , b0 )(c, d)
Existence d’une unité. Soit (a, b) 6= (0, 0) un élément de R2 . L’équation (a, b)(x, y) =
(a, b) équivaut au système ax − by = a et bx + ay = b. Ce système, de déterminant a2 + b2 6= 0,
possède une unique solution (x, y) = (1, 0).
Existence d’un symétrique pour tout élément non nul. Soit (a, b) un élément non nul de
2
R . L’équation (a, b)(x, y) = (1, 0) équivaut au système ax − by = 1 et bx + ay = 0. Ce système,
a
−b
de déterminant a2 + b2 6= 0, possède une unique solution (x, y) = ( 2
, 2
) et (R2 , +, .)
2
a + b a + b2
est un corps commutatif.
Considérons l’application f de R dans R2 définie par f (x) = (x, 0). On a
f (x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f (x) + f (y)
et
f (x)f (y) = (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) = f (xy)
L’application f est donc un homomorphisme du corps R dans R2 . Il est clair que f est injective
et que son image est R × {0}. La partie de R2 , R × {0}, est donc un sous corps de R2 isomorphe
à R et on pourra identifier a ∈ R et (a, 0) ∈ R × {0}.
On vérifie que (0, 1)2 = −(1, 0) et que, pour tout élément (a, b) ∈ R2 , (a, b) = (a, 0) +
(0, 1)(b, 0) d’où R2 = R × {0} + i(R × {0}) avec i = (1, 0). Cela achève de prouver que R2 est
un corps de nombres complexes.
La proposition précédente entraine l’existence d’un corps de nombres complexes. Dans la
suite, on désigne par C l’un d’entre eux et par i une racine carrée de −1.
Une présentation simplifiée
Dans une présentation simplifiée du corps des nombres complexes on peut commencer par
une proposition analogue à la proposition précédente. Il est alors bon de donner auparavant
quelques arguments justifiant le choix de R2 et des lois de composition. On peut par exemple
dire :
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9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
On cherche à construire un corps commutatif contenant R et dans lequel −1 possède une
racine carrée. Supposons que K soit un tel corps et désignons par i une racine carrée de −1.
Pour des éléments a, a0 , b et b0 de R on a dans K :
(a + ib) + (a0 + ib0 ) = (a + a0 ) + i(b + b0 ) (3)
(a + ib).(a0 + ib0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b) (4).
La partie K1 = {a + ib | a, b ∈ R} de K est donc stable pour la somme et le produit. Elle
contient R et i. De plus cette partie est en bijection avec R2 par l’application f définie par
f (a + ib) = (a, b). (La définition de f n’est pas ambigüe car tout élément de K1 s’écrit de façon
unique sous la forme a + ib, a, b ∈ R.) La bijection f et les relations (3) et (4) donnent donc
l’idée de considérer sur R2 les deux lois de composition internes + et . définies par
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 )
(a, b).(a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b).
Proposition 9.2. L’ensemble R2 muni des deux lois + et . est un corps commutatif.
L’application ϕ de R dans R2 définie par ϕ(x) = (x, 0) est un isomorphisme de (R, +, .) sur
(R × {0}, +, .) qui permet d’identifier tout nombre réel x avec son image (x, 0) ∈ R × {0}.
L’élément i = (0, 1) est une racine carrée de −1 et tout élément (x, y) de R2 s’écrit de façon
unique x + iy.(Autrement dit R2 = R × {0} + i(R × {0}).)
La démonstration de cette proposition est très semblable à celle de la proposition 9.1
Remarques.
1) Dans le corps Q, 2 ne possède pas de racine carrée. Si l’on considére K =
√
{a + b 2|(a, b) ∈ Q2 } alors cet ensemble est le plus petit sous-corps de R dans lequel 2 possède
une racine carrée. On a :
√
√
√
(a + b 2) + (a0 + b0 2) = (a + a0 ) + (b + b0 ) 2
et
√
√
√
(a + b 2)(a0 + b0 2) = (aa0 + 2bb0 ) + (ab0 + a0 b) 2.
Si l’on muni Q2 des deux lois de composition + et . définies par
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 )
(a, b)(a0 , b0 ) = (aa0 + 2bb0 , ab0 + a0 b)
alors (Q2 , +, .) est un corps isomorphe à K, contenant un sous-corps isomorphe à Q (la partie
Q × {0} ) et dans lequel (0, 1)2 = (2, 0) qui est identifié à 2. On a ainsi, de façon analogue à la
construction d’un corps de nombres complexes, construit, sans utiliser R, la plus petite extension
de Q dans laquelle 2 possède une racine carrée. Il y a cependant une différence entre ces deux
constructions : dans (Q2 , +, .) tous les nombres rationnels ne possède pas une racine carrée (par
exemple, l’équation (x, y)2 = (3, 0) n’a pas de solution).
2) Dans R2 , on peut envisager la multiplication plus simple × définie par (a, b)×(c, d) = (ac, bd).
Si (R2 , +, ×) est bien un anneau commutatif unitaire, ce n’est pas un corps car (0, 1)(1, 0) = (0, 0)
et donc cet anneau n’est pas intègre.
3) Pour n > 2, il n’existe aucune multiplication qui, avec l’addition habituelle, fait de Rn un
corps commutatif. Pour n = 4, et seulement dans ce cas, on peut définir une multiplication
faisant de R4 un corps non commutatif, le corps des quaternions.
4) Le corps C n’est pas un corps ordonnable. En effet, dans un corps ordonné tout carré est
positif et x > 0 ⇔ −x < 0. Dans C, 1 et −1 étant des carrés, il n’existe pas d’ordre compatible
4. AUTRES CONSTRUCTIONS DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
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avec la structure de corps de C. En revanche, il existe sur l’ensemble C des relations d’ordre
total. Par exemple :
a + ib ≤ a0 + ib0 ⇔ a < a0 ou a = a0 et b ≤ b0 .
Cette relation prolonge à C l’ordre de R mais ne fait pas de C un corps ordonné : i2 = −1 < 0.
4. Autres constructions du corps des nombres complexes
4.1. Une construction à l’aide de polynômes. Sur l’anneau intègre R[X] des polynômes
à coefficients dans R, on définit une relation binaire θ par
P (X)θQ(X) ⇔ P (X) − Q(X) est un multiple de X 2 + 1
On montre facilement que θ est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et la
multiplication des polynômes et donc R[X]/θ, muni des lois quotients, est un anneau unitaire
commutatif.
Soit P (X) la classe du polynôme P (X). Si P (X) est un élément non nul de R[X]/θ alors
P (X) est premier avec X 2 + 1 car X 2 + 1 est irréductible (i.e. premier) et P (X) n’est pas un
multiple de X 2 + 1. Par le théorème de Bezout, il existe deux polynômes R(X) et S(X) tels que
1 = (X 2 + 1)R(X) + P (X)S(X). Dans R[X]/θ on a 1 = P (X) S(X) ce qui montre que P (X)
est inversible. Donc R[X]/θ est un corps que l’on note R[X]/X 2 + 1.
Tout élément P (X) contient un polynôme et un seul de la forme aX + b qui est le reste de
la division euclidienne de P (X) par X 2 + 1. On a donc R[X]/X 2 + 1 = {aX + b|(a, b) ∈ R2 }.
Soit R = {a|a ∈ R}. Cet ensemble est formé des classes d’équivalence des polynômes dont
le reste de la division euclidienne par X 2 + 1 est une constante. On vérifie que R est un sous
corps de R[X]/X 2 + 1 isomorphe à R. Si l’on pose i = X alors i2 + 1 = X 2 + 1 = 0 et donc
i2 = −1 qui s’identifie à -1. De plus aX + b = ai + b d’où R[X]/X 2 + 1 = R + iR ce qui achève
de prouver que R[X]/X 2 + 1 est un corps de nombres complexes. Un isomorphisme entre R2
(muni des lois définies dans la proposition 9.1) et ce corps est obtenu en faisant correspondre
(b, a) et aX + b.
Remarques. 1) Soit S(X) ∈ R[X] un polynôme du second degré irréductible (c’est-à-dire sans
zéro réel). On peut montrer que le quotient de R[X] par la relation binaire θ0 telle que :
P (X)θ0 Q(X) ⇔ P (X) − Q(X) est un multiple de S(X)
est aussi un corps de nombres complexes.
2) La méthode précédente est très générale et si S(X) est un élément irréductible de degré
n ≥ 2 d’un anneau de polynômes K[X] alors S(X)K[X] est un idéal maximal de K[X] et
K[X]/S(X)K[X] est un corps dans lequel S(X) possède au moins un zéro. Par exemple
Q[X]/X 3 − 2 est un corps dans lequel 2 possède une racine cubique.
4.2. Une construction àl’aide de
matrices. Soit E l’ensemble des matrices (2, 2) à
a −b
coefficients dans R de la forme
. On vérifie que :
b a
a1 −b1
a2 −b2
a1 − a2 −(b1 − b2 )
•
−
=
∈E
b
a1
b2 a2
b 1 − b2
a1 − a2
1
a1 −b1
a2 −b2
a1 a2 − b1 b2 −(a1 b2 + a2 b1 )
•
.
=
∈E
b
a1
b2 a2
a1 b2 + a2 b1
a1 a2 − b1 b2
1
1 0
•
∈ E.
0 1
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9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
L’ensemble E est donc un sous-anneau unitaire de M2 (R). On remarque qu’il est aussi commutatif.
a −b
Soit M =
∈ E. On a M 6= 0 si et seulement si a2 + b2 6= 0 et si cette condition
b a
1
a b
−1
est réalisée alors M est inversible avec M = 2
∈ E. L’anneau E est donc
−b a
a + b2
un corps.
a −b
2
L’application f de E dans R définie par f (
) = (a, b) est un isomorphisme de E
b a
sur le corps de nombres complexes R2 . Le corps E est donc aussi un corps de nombres complexes.
2 a 0
0 −1
−1 0
Un sous-corps de E isomorphe à R est {
|a ∈ R} et
=
qui
0 a
1 0
0 −1
est identifié à -1.
Remarque. Considérons un plan vectoriel euclidien orienté P , muni d’une base orthonormée
directe R. Les éléments non nuls de E sont exactement les matrices des similitudes directes de
P . Plus précisément, si s est la similitudedirecte de rapport k et dont une mesure de l’angle
k cos θ −k sin θ
est θ alors sa matrice par rapport à R est
.
k sin θ k cos θ
Notons S l’ensemble formé par l’application nulle de P et les similitudes directes de P et soit
f l’application de S dans E qui à un élément de S fait correspondre sa matrice. L’application
f est un isomorphisme de (S, +, ◦) sur (E, +, .) et donc (S, +, ◦) est un corps de nombres
complexes. Dans ce corps, une racine carrée de -1 (= l’opposé de l’application identique) est la
rotation dont une mesure de l’angle est π/2 et un sous-corps de nombres réels est formé par les
homothéties.
5. Forme algébrique d’un nombre complexe. Conjugaison
Si C est un corps de nombres complexes qui est l’extension d’un corps R de nombres réels
vérifiant C = R + iR alors tout élément z de C s’écrit de façon unique z = a + ib avec (a, b) ∈ R2 .
Cette écriture est appelée la forme algébrique de z, a est la partie réelle de z, notée <(z), et b
sa partie imaginaire, notée =(z). La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe
sont des nombres réels.
Supposons maintenant que C soit le corps R2 de la proposition 9.1. Tout élément (a, b) de
C s’écrit sous forme algébrique
(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0).
où (a, 0) et (b, 0) appartiennent au sous-corps de C, R × {0}, qui est isomorphe à R par
l’isomorphisme a ∈ R → (a, 0) ∈ R × {0}. En identifiant a et (a, 0) et en notant i la racine
carrée de -1 égale à (0, 1), on obtient une écriture algébrique simplifiée de z = (a, b), z = a + ib.
Remarques. 1) L’écriture algébrique d’un nombre complexe est fonction du corps de nombres
réels R tel que C = R + iR mais, comme la nature exacte de ce corps ne joue en général aucun
rôle, ce corps n’a pas besoin d’être précisé.
2) Si un corps K 0 est une extension d’un corps K alors K 0 est de façon naturelle un espace
vectoriel sur K. Si C est un corps de nombres complexes, extension d’un corps de nombres réels
R vérifiant C = R+iR alors (1, i) est une base du R-espace vectoriel C qui est donc de dimension
2 sur R. La forme algébrique d’un nombre complexe z n’est rien d’autre que sa décomposition
5. FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE. CONJUGAISON
99
sur la base (1, i).
a −b
b a
3). Si l’on construit C par la méthode matricielle alors l’écriture algébrique de
est
a −b
a 0
0 −1
b 0
=
+
.
b a
0 a
1 0
0 b
Cette écriture a une interprétation géométrique : toute similitude directe d’un plan vectoriel
euclidien orienté est de façon unique la somme d’une homothétie et du composé d’une homothétie
et de la rotation dont une mesure de l’angle est π/2.
4). Dans la construction du corps des complexes par la méthode matricielle, on remarque que la
matrice transposée d’un élément de E est encore un élément de E. Comme E est commutatif,
a −b
la transposition est donc un automorphisme du corps E. Si M ∈ E est de la forme
b a
a
b
x
0
t
alors M =
ce qui donne écrit sous forme algébrique, en identifiant
et x
−b a
0 x
0 −1
et en posant i =
, M = a + ib et M t = a − ib. Cette remarque se généralise sous la
1 0
forme de la définition suivante.
Définition 9.3. L’application de C dans C qui au nombre complexe z, écrit sous forme
algébrique z = a + ib, fait correspondre z = a − ib est appelée la conjugaison.
Proposition 9.3. La conjugaison est un automorphisme involutif du corps C. Cet automorphisme laisse R invariant et, réciproquement tout homomorphisme f de C dans C non
identiquement nul et tel que f (R) ⊂ R est l’application identique ou la conjugaison.
Preuve. Il est clair que la conjugaison est involutive (z = z) donc bijective, que c’est un
homomorphisme pour l’addition et que pour tout z ∈ R, z = z. On a
z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + a2 b1 )
= a1 a2 − b1 b2 − i(a1 b2 + a2 b1 ) = a1 a2 − (−b1 )(−b2 ) − i[a1 (−b2 ) + a2 (−b1 )]
= (a1 − ib1 )(a2 − ib2 ) = z1 z2 .
ce qui achève de prouver que la conjugaison est un automorphisme involutif du corps C laissant
R invariant.
Considérons maintenant un homomorphisme f de C dans C non identiquement nul et tel
que f (R) ⊂ R. On a f (1) = f (12 ) = f (1)2 d’où f (1) = 1 car f (1) = 0 entraine que f est
identiquement nul (f (x) = f (1.x) = f (1)f (x) = 0). Par une récurrence immédiate on a, pour
tout n ∈ N, f (nx) = nf (x) et f (−x) = −f (x) entraine que, pour tout n ∈ Z, f (nx) = nf (x).
En particulier, pour tout entier relatif n, f (n) = n. Si r = n/p est un nombre rationnel non nul
alors n = f (n) = f (p.n/p) = pf (n/p) d’où f (r) = f (n/p) = n/p = r.
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Il existe c ∈ R∗ tel que b − a = c2 d’où
f (b) − f (a) = f (b − a) = f (c2 ) = f (c)2 .
On a f (c) 6= 0 car si f (c) = 0 alors, pour tout z ∈ C, f (z) = f (zc−1 c) = f (zc−1 )f (c) = 0 ce qui
est contradictoire. La restriction de f à R, qui est par hypothèse une application de R dans R,
est donc strictement croissante (car f (c)2 > 0). Supposons qu’il existe x ∈ R tel que f (x) 6= x.
On a x 6∈ Q. Si f (x) < x alors il existe r ∈ Q tel que f (x) < r < x d’où r = f (r) < f (x) ce qui
est absurde. De même, f (x) > x conduit à une contradiction et donc f (x) = x.
100
9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
Soit z = a + ib ∈ C, a ∈ R, b ∈ R. On a f (z) = f (a) + f (i)f (b) = a + f (i)b. Mais
f (i)2 = f (i2 ) = f (−1) = −1 d’où f (i) = i ou f (i) = −i. Dans le premier cas, f est l’application
identique et dans le second c’est la conjugaison.
Remarques. 1) La conjugaison étant un homomorphisme pour la multiplication, on a
• Pour tout n ∈ N, tout z ∈ C, (z n ) = (z)n ;
1
1
• Pour tout z ∈ C∗ , ( ) = ;
z
z
z
z
• Pour tout (z, z 0 ) ∈ C × C∗ , ( 0 ) = 0 .
z
z
2) La démonstration précédente montre que les applications identiques sont les seuls automorphismes des corps Q et R. En revanche, C possède de très nombreux automorphismes (Une
démonstration difficile montre que le cardinal de leur ensemble est celui de l’ensemble des parties de C).
3) L’application identique et la conjugaison sont les seuls automorphismes de C qui sont continus pour la topologie déduite de sa structure euclidienne (la définition viendra ...). En effet,
la restriction de tout automorphisme de C à Q est l’application identique et toute application
continue laissant Q invariant laisse aussi R invariant (Tout élément de R est la limite d’une
suite d’éléments de Q.). Cette propriété de la conjugaison, qui la différencie des autres automorphismes involutifs de C, s’explique par le fait que la topologie de C est définie à partir de
cette application.
4) Soit f et g deux automorphismes de C. Si f (R) ⊂ g(R) alors g −1 ◦ f est un automorphisme
de C laissant R invariant. Cette application est donc, soit la conjugaison, soit l’application
identique d’où f = g ou f = g. Par contraposition, f 6= g et f 6= g entraine f (R) 6= g(R) et C
contient donc une infinité de sous-corps isomorphes à R. Si K est l’un de ceux obtenus par la
méthode précédente alors C = K + iK.
6. Module d’un nombre complexe.
Définitionp9.4. Pour tout nombre complexe z, écrit sous forme algébrique z = a + ib, la
quantité réelle a2 + b2 est appelé le module de z, noté |z|.
Remarque.
Dans
la méthode matricielle de construction des nombres complexes, le module de
√
a −b
M=
est det M .
b a
√
Proposition 9.4.
(1) Pour tout nombre complexe z, |z| = zz.
(2) L’application qui à z fait correspondre |z| est un homomorphisme surjectif de (C, .) sur
(R+ , .). Sa restriction à C∗ est un homomorphisme surjectif du groupe (C∗ , .) sur le
groupe (R∗+ , .).
Preuve. 1) Immédiat.
2) Soit z1 , z2 ∈ C. L’application module est un homomorphisme car :
√
√
√
√
√
|z1 z2 | = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z2 z2 = z1 z1 z2 z2 = |z1 |.|z2 |
√
(z → |z| est composé des deux homorphismes z → z et x ∈ R+ → x.)
Il est clair que cet homomorphisme est surjectif car si a ∈ R+ alors a = |a|. Sa restriction à
∗
C a pour image R∗+ car |z| ≥ 0 et |z| = 0 implique z = 0 (démonstrations immédiates).
Quelques propriétés du module.
7. APPENDICE : SUR L’AXIOMATIQUE DE R
101
• L’application z → |z| étant un homomorphisme, pour tout n ∈ N, |z n | = |z|n . Si z 6= 0,
1
1
cette propriété est encore vraie pour n < 0 et, en particulier, | | =
. Si z2 6= 0 alors
z
|z|
|z1 |
z1
| |=
.
z2
|z2 |
1
1
Notons aussi que z est de module 1 si et seulement si z = (zz = 1 ⇔ z = ).
z
z
• Si a est réel alors le module de a est sa valeur absolue. La notation utilisée est donc
sans ambiguité.
p
p
• Pour a et b réels, |a| ≤ a2 + b2 et |b| ≤ a2 + b2 ce qui s’écrit, en posant z = a + ib,
|<(z)| ≤ |z|
|=(z)| ≤ |z|.
• Pour tout nombre complexe z, |z| = |z|.
• Les nombres complexes de module 1 forment un sous-groupe U de (C∗ , .). La preuve
directe est immédiate. On peut aussi remarquer que U est le noyau de l’homomorphisme
z → |z| ce qui entraine que le groupe multiplicatif C∗ /U est isomorphe à R+∗ . Si l’on
introduit les nombres
complexes par la méthode matricielle alors U est l’ensemble des
a −b
matrices
de déterminant +1. C’est donc le groupe O+ (2, R), isomorphe au
b a
groupe des rotations vectorielles du plan euclidien R2 .
Les propriétés du module liées à la structure de plan euclidien de C seront données dans le
document suivant.
Un exemple d’intervention
Exercice : Montrer que si deux entiers sont chacun la somme de deux carrés d’entiers alors il en
est de même pour leur produit.
Solution. Supposons que pour deux entiers a et b l’on ait a = m2 +n2 et b = p2 +q 2 , m, n, p, q ∈
Z. Introduisons les deux nombres complexes z1 = m+in et z2 = p+iq. L’égalité ab = |z1 |2 |z2 |2 =
|z1 z2 |2 donne :
ab = (mp − nq)2 + (mq + np)2
et mp − nq ∈ Z, mq + np ∈ Z.
Remarque. Tout entier positif est une somme de quatre carrés. Il existe une démonstration
de ce résultat qui utilise une idée semblable mais dans laquelle C est remplacé par le corps des
quaternions.
7. Appendice : Sur l’axiomatique de R
Dans un corps totalement ordonné K, tout carré est positif et en particulier 1 > 0. Pour
tout entier positif n, (n + 1).1 − n.1 = 1 > 0 montre que la suite (n.1) est strictement croissante
et que l’application n ∈ N → n.1 ∈ K est injective. Le corps K est donc de caractéristique nulle
et contient donc un sous corps isomorphe à Q. (K contient une partie stable isomorphe à N qui
engendre un sous corps isomorphe à Q.)
Dans un corps totalement ordonné K on peut considérer les quatre propriétés :
A: La propriété d’Archimède : ∀x > 0, ∀y ≥ 0, il existe n ∈ N tel que nx ≥ y.
(Cette propriété signifie que pour tout x > 0, la suite (nx) n’est pas majorée.)
102
9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES
B: Si (an ) est une suite croissante et (bn ) une suite décroissante telle que, pour tout
n ∈ N, an ≤ bn alors
\
[an , bn ] 6= ∅.
n∈N
C: Toute partie non vide majorée de K possède une borne supérieure.
D: Toute suite croissante et majorée de K est convergente (La notion de suite convergente
est définie comme dans R.).
Proposition 9.5. Dans tout corps totalement ordonné K on a :
(1)
(2)
(3)
(4)
C⇒D;
D⇒B;
D ⇒ A;
A et B ⇒ C.
C ⇒ D. Soit (xn ) une suite croissante et majorée de K. L’ensemble des termes de (xn ), qui
est non vide et majorée, possède une borne supérieure l et (xn ) converge vers l.
D ⇒ B. Soit l la limite de la suite croissante (an ) majorée par b0 . Pour tout n ∈ N, on a
an ≤ l ≤ bn\
car l est la borne supérieure de l’ensemble des termes de (an ) et b0 ≤ bn . Il en
résulte que
[an , bn ] 6= ∅.
n∈N
D ⇒ A. Si x > 0, (n + 1)x − nx = x > 0 montre que la suite (nx) est croissante et n’est pas
une suite de Cauchy. Elle n’est donc pas majorée (car sinon elle converge et est donc une suite
de Cauchy) d’où A.
A et B ⇒ C. Soit X une partie non vide majorée de K et M l’ensemble de ses majorants.
m
Soit a ∈ X, b ∈ M . Pour tout n ∈ N, il existe m ∈ N tel que b − a ≤ n (prendre
2
m
pn
y = (b − a)2n , x = 1 dans A), c’est-à-dire b ≤ a + n . Soit pn le plus petit entier tel que a + n
2
2
pn − 1
pn
soit un majorant de X. Posons bn = a + n , an = a +
, In = [an , bn ] et remarquons que
2
2n
an n’est pas un majorant de X par définition de pn .
pn
2pn
2pn
pn − 1
2pn − 2
On a n = n+1 donc n+1 est un majorant de X. De même,
=
et donc
n
2
2
2
2
2n+1
2pn − 2
a+
n’est pas un majorant de X. Par définition de pn+1 , on a donc pn+1 = 2pn ou
2n+1
1
pn+1 = 2pn − 1. Il en résulte que la suite (bn ) est décroissante car bn+1 − bn vaut 0 ou − n+1 .
\ 2
1
De même an+1 −an vaut 0 ou n+1 et la suite (an ) est croissante. En utilisant B, J =
In 6= ∅.
2
n∈N
1
1
Si J contient deux éléments distinct α et β, α < β, alors β − α ≤ n ≤
pour tout entier
2
n
1
n 6= 0. Cela entraine n ≤
d’où une contradiction avec la propriété d’Archimède (x = 1,
β−α
1
y=
+ 1). On a donc J = {S}.
β−α
7. APPENDICE : SUR L’AXIOMATIQUE DE R
103
pn − 1
pn
Si S n’est pas un majorant de x, il existe c ∈ X tel que S < c. De a +
≤ S et c ≤ n
n
2
2
1
1
on déduit 0 < c − S ≤ n ≤ pour tout n > 0. On a donc n ≤ c − S d’où une contradiction
2
n
avec A (x = 1, y = c − S + 1). Donc S est un majorant de X.
Soit m un majorant de X. Par une preuve analogue on montre que m < S contredit A.
Finalement S = sup X et C est prouvé.
Conclusion On peut donc définir un corps de nombres réels comme étant un corps totalement
ordonné vérifiant l’une des propriétés équivalentes suivantes:
(1) A et B
(2) C
(3) D.
104
9. DÉFINITION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES