Observateurs asymptotiques et symétries

PolyEthylène-TOTAL Réacteur chimique et symétries Observateurs et symétries Cas d’un groupe de Lie Exemples : Navigation
Observateurs asymptotiques et symétries :
théorie et exemples
Silvère Bonnabel
Directeur de Thèse : Pierre Rouchon
Ecole des Mines de Paris
Centre Automatique et Systèmes
TOTAL
ENSMP, Paris, 27 septembre 2007
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Plan
1
PolyEthylène-TOTAL
2
Réacteur chimique et symétries
3
Observateurs et symétries
4
Cas d’un groupe de Lie
5
Exemples : Navigation inertielle, Nudging-assimilation de
données
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Travail mené en collaboration avec
Gwenvaël LE SEAC’H (Site Mont)
Philippe CANIN (Site Carling)
Jacqueline JEANJEAN (Site Carling)
Bertrand LEROUX (Site Mont)
Marc SOUCHE (CTL Lyon)
Thomas ROUSSEL (GRL Lacq)
Pascal SCHAEFER! (CTL Lyon)
ayant fait l’objet de nombreuses visites sur site.
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Chimie
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Process
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Réacteur PE EDA ligne 41
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Mesures (pour chaque zone):
Débits
→ (Fe )
Températures
→ (Te , T )
Pressions
But : Estimer
Compositions internes
→ (XE , XC , XT )
Composition du polymère formé
Nous faisons un observateur asymptotique, à partir d’un
modèle de la réaction, et des mesures.
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Exemple : Quantité d’acrylate incorporée au polymère sur site
TOTAL (Carling) : Estimation, et mesures labo.
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Observateur : Cas copolymère
Bilan de masse pour une zone
d
XE = Fe (t)(Xm,E,e − XE ) − R1,m
dt
d
M XC = Fe (t)(Xm,C,e − XC ) − R2,m
dt
M
Bilan d’énergie+ température de la zone supposée stable
∆HE R1,m + ∆HC R2,m = Fe (t)Cp (T − Te )
Modèle cinétique:
R1,m
XE ME (re XE + XC )
=
R2,m
XC MC (XE + rC XC )
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En utilisant
Bilan de masse pour une zone
d
XE = Fe (t)(Xm,E,e − XE ) − R1,m
dt
d
M XC = Fe (t)(Xm,C,e − XC ) − R2,m
dt
M
Bilan d’énergie+ température de la zone supposée stable
∆HE R1,m + ∆HC R2,m = Fe (t)Cp (T − Te )
M
d
(∆HE XE + ∆HC XC ) = Fe (t)(∆HE Xm,E,e + ∆HC Xm,C,e
dt
− (∆HE XE + ∆HC XC ))
− Fe (t)Cp (T − Te )
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Propriétés de structure du modèle
Soit
η = ∆HE XE + ∆HC XC
µ = ∆HE XE − ∆HC XC
On a la structure triangulaire
d
Fe (t)
η=−
η + g(t)
dt
M
et
d
µ = h(µ, η, t)
dt
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η oublie sa condition initiale : On a
d
Fe (t)
η=−
η + g(t)
dt
M
(1)
Soient a, b > 0. Soient η1 (t) et η2 (t) deux solutions de (1) avec
η1 (0) = a
et η2 (0) = b
On pose ∆η = η2 − η1 et alors
d
Fe (t)
∆η = −
∆η
dt
M
Donc
∆η(t) −→ 0
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Illustration
Pour la variable η, les trajectoires convergent entre elles, et η
oublie sa condition initiale. Dessin illustratif:
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Le système s’écrit
d
η = f (η, t)
dt
et
d
µ = h(µ, η, t)
dt
avec h bornée et UC/η et
∂h
≤ −K (t) ≤ α < 0
∂µ
Soient deux trajectoires (η1 (t), µ1 (t)) et (η2 (t), µ2 (t))
η2 − η1 −→ 0 puis
∆µ = µ2 (t) − µ1 (t) −→ 0.
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Conclusion - Observateur asymptotique
Donc, on a (vrai système selon modèle et mesures)
d
XE = F1 (XE , XC , T (t), W (t))
dt
d
X = F2 (XE , XC , T (t), W (t))
dt C
qui oublie sa condition initiale.
Calculons (Observateur-filtre stable)
d ˆ
XE = F1 (XˆE , XˆC , T (t), W (t))
dt
d ˆ
X = F2 (XˆE , XˆC , T (t), W (t))
dt C
Avec XˆE (0) et XˆC (0) quelconques, l’erreur tend vers 0!
∆XE = XˆE − XE −→ 0
∆XC = XˆC − XC −→ 0
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TOTAL - Bilan (comparaison avec une résolution
algébrique basée sur le modèle cinétique)
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Un exemple un peu plus académique de réacteur
chimique
On considère le réacteur chimique exothermique (Aris et
Amundson 1958)
E
d
in
x = D(t)(x − x) − k exp −
x
dt
RT
d
E
T = D(t)(T in (t) − T ) + c exp −
x + u(t)
dt
RT
(2)
(3)
(E, R, k , c) sont des paramètres connus positifs et
constants
D(t), T in (t) et u(t) sont des fonctions du temps connues
Mesure en ligne T , la température interne.
x in > 0, la composition d’entrée inconnue
La compostion du réacteur x est inconnue
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L’observateur asymptotique de Luenberger classique s’écrit
d in
x̂ = 0 + K1 (T̂ − T )
dt
d
E
in
x̂ = D(t)(x̂ − x̂) − k exp −
x̂ + K2 (T̂ − T )
dt
R T̂
E
d
in
T̂ = D(t)(T (t) − T̂ ) + c exp −
x̂ + u(t) + K3 (T̂ − T )
dt
R T̂
C’est une copie de la dynamique + termes de corrections. Ils
modifient la dynamique du système pour avoir
∆x in = x̂ in − x in −→ 0
∆x = x̂ − x −→ 0
∆T = T̂ − T −→ 0
voire accélérer la convergence.
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Symétries
On considère le changement de variables mol/l → kg/l


x in
Mx in
 x 


 7  Mx
 T →
 T
c
c/M


X in
  X  =
 = ϕM (x in , x, T ), ψM (c)) .
  T 
C


L’observateur de Luenberger (et ses propriétés de
convergence) s’en trouvent modifiés!
d in
X̂ = 0 + MK1 (T̂ − T )
dt
d
E
in
X̂ = D(t)(X̂ − X̂ ) − k exp −
X + MK2 (T̂ − T )
dt
R T̂
d
E
in
T̂ = D(t)(T (t) − T̂ ) + c exp −
X̂ + u(t) + K3 (T̂ − T )
dt
R T̂
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L’observateur invariant par changement d’unités s’écrit
d in
X̂ = A
dt
X̂
X̂ in
!
, c X̂ , T̂ , T̂ − T
X̂ in
!
E
X̂
d
in
X̂ = D(t)(X̂ − X̂ ) − k exp −
X̂ + B
, c X̂ , T̂ , T̂ − T X̂
dt
R T̂
X̂ in
!
d
E
X̂
in
T̂ = D(t)(T (t) − T̂ ) + c exp −
X̂ + u(t) + C
, c X̂ , T̂ , T̂ − T
dt
R T̂
X̂ in
où A, B et C sont des fonctions régulières qui vérifient
!
!
!
X̂
X̂
X̂
, c X̂ , T̂ , 0 = B
, c X̂ , T̂ , 0 = C
, c X̂ , T̂ , 0 = 0.
A
X̂ in
X̂ in
X̂ in
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Nous obtenons un observateur asymptotique dont la
convergence est indépendante des unités choisies par
l’ingénieur :
E
d in
X̂ = −β exp −
(T̂ − T (t)) c X̂ X̂ in
dt
RT (t)
d
E
)(k + β(T̂ − T (t))c X̂ ) X̂
X̂ = D(t)X̂ in − D(t) + exp(−
dt
RT (t)
d
E
1 − γ(T̂ − T (t)) c X̂ + D(t)(T in (t) − T (t)) +
T̂ = exp −
dt
RT (t)
Les termes de correction s’interprètent physiquement comme
des flux.
La structure implique qu’automatiquement X̂ in et X̂ restent
positifs!
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Cadre général : Système invariant + h équivariante
(A paraître dans IEEE AC). Soit le système
d
x = f (x, u)
dt
y = h(x, u)
avec x ∈ X ⊂ Rn , u ∈ U ⊂ Rm et y ∈ Y ⊂ Rp , p ≤ n.
u(t) entrées connues (paramètres constants, perturbation
mesurée, contrôle, t...)
Soit G un groupe de Lie qui agit localement sur X , sur U, et sur Y:
A chaque g ∈ G est associé
ϕg difféomorphisme de X
ψg difféomorphisme de U
ρg difféomorphisme de Y
avec ϕg1 ◦ ϕg2 = ϕg1 ·g2 , ψg1 ◦ ψg2 = ψg1 ·g2 , ρg1 ◦ ρg2 = ρg1 ·g2
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Système invariant - suite
Le système est invariant avec sortie équivariante si:
pour tout g ∈ G, on considère le changement de variables
(X , U, Y ) = (ϕg (x), ψg (u), %g (y ))
La dynamique est inchangée :
d
X = f (X , U)
dt
Y = h(X , U)
Système invariant
Sortie équivariante
G est alors bien un groupe de symétrie pour le système.
Rq : La sortie est équivariante veut dire
∀x, u ∈ X × U,
h(ϕg (x), ψg (u)) = %g (h(x, u))
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Observateur invariant
d
Le système dt
x̂ = F (x̂, u, y ) est un observateur invariant si
pour tout g, x̂, u, y
F x, u, h(x, u) = f (x, u)
d
=⇒ dt
x̂ = f (x̂, u) + terme de correction.
La transformation
(X̂ , U, Y ) = (ϕg (x̂), ψg (u), %g (y ))
laisse le système inchangé :
d
X̂ = F (X̂ , U, Y )
dt
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Retour sur le réacteur chimique
La transformation
 in 

x
Mx in
 x 
 Mx



 T  7→  T
c
c/M

X in
  X  =
 = ϕM (x in , x, T ), ψM (c)) .
  T 
C


laissait les équations du réacteur inchangées. On avait
y = T =⇒ ρM = Id
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Nous avons (voir Symmetry-preserving observers à paraître
IEEE AC)
une méthode de construction précise qui permet d’obtenir
des candidats pour des observateurs invariants (hyp
régularité).
Elle repose sur la notion de repère invariant et d’erreur de
sortie invariante.
On construit cette denière grâce à la méthode du repère
mobile de Cartan.
un théorème de caractérisation des observateurs
invariants
une définition de l’erreur d’état invariante ∆x6= x̂ − x basée
sur les symétries utile pour l’analyse de la convergence
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Cas groupe de Lie : suite papier IEEE
On considère une dynamique invariante à gauche sur un
groupe de Lie G
d
g = f (g, t)
dt
On note
Lg1 : G 7→ G, Lg1 (g2 ) = g1 g2
la multiplication à gauche, DLg sa différentielle, l’invariance
implique pour tous g1 , g2 ∈ G
f (g1 g2 , t) = DLg1 f (g2 , t)
Et comme dans Arnold [Méthodes mathématiques], on note
ωs = DLg −1 (dg/dt)
∈ g = TG|e
ωs est indépendant de g et la dynamique s’écrit
d
g = DLg ωs (t)
dt
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On considère donc le système
d
g = DLg ωs (t)
dt
y = h(g)
avec h G-équivariante : pour tout g1 ∈ G il existe ρg1 tel que
g2 ∈ G:
h(g1 g2 ) = ρg1 (h(g2 ))
avec ρg1 ◦ ρg2 = ρg1 g2 .
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Tout observateur invariant s’écrit
d
ĝ = DLĝ ωs (t) + DLĝ
dt
n
X
!
Li (ρĝ −1 (y ))Wi
i=1
avec (W1 , ..Wn ) base de l’algèbre de Lie et Li (h(e))) = 0
L’erreur de sortie invariante vérifie bien
ρĝ −1 (y ) = ρĝ −1 (h(g)) = 0 quand ĝ = g
L’’erreur d’état invariante est
∆g = η = g −1 ĝ
et non pas
∆g = ĝ − g
qui ici n’a pas de sens...
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On a pour l’erreur l’équation (indépendante de la trajectoire
g(t))
n
X
d
η = DLη ωs − DRη ωs + DLη
Li ◦ h(η −1 ) Wi
dt
i=1
et son approximation linéaire s’écrit avec η = exp(ξ) et ξ un
élément de l’algèbre de Lie
n
X
d
ξ = [ξ, ωs ] −
DLi |h(e) Dh|e ξ Wi
dt
i=1
lié à la structure du groupe par [,] crochet de Lie.
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Filtre de Kalman Etendu et symétries (CDC 07)
On ajoute au système un bruit d’état (et un bruit de sortie) et on
a le système non défini intrinséquement
d
g = DLg ωs + Mw
dt
(4)
avec w bruit blanc gaussien. On a
DLg −1
d
g = ωs + DLg −1 Mw
dt
Quel est le sens d’un bruit blanc gaussien additif sur un
groupe??
Le modèle bruité suivant respecte l’invariance à gauche
d
g = DLg ωs + DLg Mw
dt
(5)
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Remarque (CIFA 06)
Dans le cas où la sortie est équivariante pour la multiplication à
droite
h(Rg1 (g2 )) = ρg1 (h(g2 ))
on peut même définir l’observateur invariant à droite
!
n
X
d
Li ◦ρĝ −1 (y )Wi
ĝ = DLĝ ωs (t) + DRĝ
dt
i=1
avec (W1 , ..Wn ) base de l’algèbre de Lie.
Pour cet observateur l’équation d’erreur est entièrement
autonome...
n
X
d
η = DRη
Li ◦ h(η −1 )Wi
dt
i=1
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Exemple (ACC06)
Nous allons directement appliquer cette remarque - exemple
emprunté à la problématique du drône : Navigation inertielle
assistée par mesure de vitesse. (Symétries et nav inertielle...)
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Navigation inertielle assistée par mesure de vitesse quaternions
q = (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) ∈ R4 avec la multiplication de groupe ∗
Tout vecteur ~p ∈ R3 peut s’identifier au quaternion (0, p1 , p2 , p3 )
On peut associer à q quand k q k= 1 une matrice de rotation
Rq ∈ SO(3) avec la relation:
q −1 ∗ ~p ∗ q = Rq ~p
pour tout ~p
Le produit vectoriel v × ω des vecteurs de R3 correspond alors
au commutateur (v ∗ ω − ω ∗ v )/2.
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Navigation inertielle assistée par mesure de vitesse
Mouvement d’un solide (avion etc..):
1
d
q = q∗ω
dt
2
d
~ ∗q+a
v = v × ω + q −1 ∗ G
dt
~ ∗ q)
y = (yv , yb ) = (v , q −1 ∗ B
où u = (ω, a) sont les entrées. On veut estimer (q, v ).
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Le groupe de symétries est SE(3) : rotations-translations dans
le mobile.
q ∗ q0
q
q0
·
=
ϕ(q0 ,v0 ) (q, v ) =
v0
v
q0−1 ∗ v ∗ q0 + v0
avec u =
a
ω
. Pour tout (q0 , v0 ) ∈ G, on prend
ψ(q0 ,v0 ) (a, ω) =
q0−1 ∗ a ∗ q0 − v0 × (q0−1 ∗ ω ∗ q0 )
q0−1 ∗ ω ∗ q0
~ ∗ q) et
y = (yv , yb ) = (v , q −1 ∗ B
−1
%(q0 ,v0 ) (yv , yb ) = (q0 ∗ yv ∗ q0 + v0 , q0−1 ∗ yb ∗ q0 )
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Prenons
ϕ(q0 ,v0 ) (q, v ) = (Q, V ),
ψ(q0 ,v0 ) (a, ω) = (A, Ω)
On a
1
d
Q = Q∗Ω
dt
2
d
~ ∗Q+A
V = V × Ω + Q −1 ∗ G
dt
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L’observateur invariant non-linéaire
1
d
q̂ = q̂ ∗ ω(t) + (L̄qv Ev + L̄qb Eb ) ∗ q̂
dt
2
d
~ ∗ q̂ + a(t) + q̂ −1 ∗ (L̄v Ev + L̄v Eb ) ∗ q̂
v̂ = v̂ × ω(t) + q̂ −1 ∗ G
v
b
dt
avec
Ev = q̂ ∗ (v̂ − yv (t)) ∗ q̂ −1 ,
~ − q̂ ∗ yb (t) ∗ q̂ −1
Eb = B
et L̄qv , L̄vv , L̄qb et L̄vb sont des matrices constantes
converge localement et exponentiellement autour de toute
trajectoire du système.
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La convergence est totalement indépendante de la trajectoire
du système car l’équation d’erreur est autonome.
Nous espérons la convergence presque globale.
On préserve k q k= 1.
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Problématique du Nudging pour l’assimilation de
données en océanographie
On mesure la hauteur de l’océan et l’on veut estimer les
courants marins.
On utilise des modèles type eau peu profondes (shallow water).
Considérons un cas simple : système de Saint-Venant.
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Système de Saint-Venant
∂
h = −∇ · (hv )
∂t
avec ∇ =
∂
∂x
∂
∂y
!
∂
v = −(v · ∇)v − g∇h
∂t
Invariance par changement de repère ( SE(2) invariance) Soit Rθ
rotation d’angle θ, soit la transformation
(X , Y ) = Rθ (x, y ) + (x0 , y0 )
H(X , Y ) = h(x, y )
V (X , Y ) = Rθ v (x, y )
Puisque∇h(x, y ) = Rθ ∇H(X , Y )...
∂
H = −∇ · (HV )
∂t
∂
V = −(V · ∇)V − g∇H
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Observateur invariant simple (avec termes de correction
intégraux):
Z Z
∂
ĥ = −∇ · (ĥv̂ ) +
φh (ξ 2 + ζ 2 )(h − ĥ)(x−ξ,y −ζ,t) dξdζ
dt
= −∇ · (ĥv̂ ) + φh ∗ (h − ĥ)
Z Z
∂
v̂ = −(v̂ · ∇)v̂ − g∇ĥ +
φv (ξ 2 + ζ 2 )∇(h − ĥ)(x−ξ,y −ζ,t) dξdζ
dt
= −(v̂ · ∇)v̂ − g∇ĥ + φv ∗ ∇(h − ĥ)
avec φh et φv de manière à avoir la convergence.
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Choix heuristique des gains φh and φv
On suppose que φh et φv sont des noyaux proches de Kh δ0 et
Kv δ0 avec Kh , Kv > 0. Approximativement le système est :
∂
ĥ = −∇ · (ĥv̂ ) + Kh (h − ĥ)
∂t
∂
v̂ = −(v̂ · ∇)v̂ − g∇ĥ + Kv ∇(h − ĥ)
∂t
Approximation linéaire autour de l’équilibre h = h̄ et v = 0:
∂
h̃ = −h̄∇ · ṽ − Kh h̃,
dt
∂
ṽ = −g∇h̃ − Kv ∇h̃
dt
où
h̃ = ∆h = ĥ − h
ṽ = ∆v = v̂ − v sont les erreurs d’estimation.
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Réglage des gains
∂
∂
h̃ = −h̄∇ · ṽ − Kh h̃,
ṽ = −g∇h̃ − Kv ∇h̃
dt
dt
L’élimination de ṽ conduit à l’équation des ondes amortie par
viscosité externe :
∂
∂2
h̃ = (g h̄ + Kv )∆h̃ − Kh h̃.
2
∂t
∂t
Une analyse dimensionnelle conduit au choix des gains:
Kh = ω0 ,
Kv = max(0, (L0 ω0 )2 − g h̄)
avec ω0 et L0 pulsation et longueurs caractéristiques .
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Conclusion
Une expérience industrielle.
Une théorie (méthode de construction) des observateurs
invariants.
Utilisation de la structure non-linéaire : Réglage des gains
sur le tangent et extension par les symétries.
Idée qui permet d’aborder de nombreux cas (équations de
la physique invariantes par changement repère etc..)
Voiture non-holonome avec mesure de position
estimation de paramètres pour un système quantique
fusion de données avec video